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6: Valor absoluto


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2. usando la variable [latex] p [/ latex] para pasar, [latex] | p - 80 | le 20 [/ latex]

4. [látex] x = -1 [/ látex] o [látex] x = 2 [/ látex]

5. [látex] f left (0 right) = 1 [/ látex], por lo que el gráfico se cruza con el eje vertical en [látex] left (0,1 right) [/ látex]. [látex] f left (x right) = 0 [/ látex] cuando [látex] x = -5 [/ látex] y [látex] x = 1 [/ látex] por lo que el gráfico se cruza con el eje horizontal en [látex ] left (-5,0 right) [/ latex] y [latex] left (1,0 right) [/ latex].

7. [látex] k le 1 [/ látex] o [látex] k ge 7 [/ látex] en notación de intervalo, esto sería [látex] left (- infty, 1 right] cup left [7, infty right) [/ latex]

Soluciones para ejercicios con números impares

1. Aísle el término de valor absoluto para que la ecuación tenga la forma [látex] | A | = B [/ látex]. Forme una ecuación colocando la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, [látex] A [/ látex], igual a la expresión en el otro lado de la ecuación, [látex] B [/ látex]. Forme una segunda ecuación estableciendo [látex] A [/ látex] igual al opuesto de la expresión en el otro lado de la ecuación, -B. Resuelve cada ecuación para la variable.

3. La gráfica de la función de valor absoluto no cruza el eje [látex] x [/ látex], por lo que la gráfica está completamente por encima o completamente por debajo del eje [látex] x [/ látex].

5. Primero, determine los puntos de la frontera hallando la (s) solución (es) de la ecuación. Utilice los puntos límite para formar posibles intervalos de solución. Elija un valor de prueba en cada intervalo para determinar qué valores satisfacen la desigualdad.

27. [latex] left (0, -7 right) [/ latex] no [latex] x [/ latex] -intercepciones

29. [látex] left (- infty, -8 right) cup left (12, infty right) [/ látex]

31. [látex] frac <-4> <3> le x le 4 [/ látex]

33. [látex] left (- infty, - frac <8> <3> right] cup left [6, infty right) [/ látex]

35. [látex] left (- infty, - frac <8> <3> right] cup left [16, infty right) [/ látex]

37.

39.

41.

43.

45.

47.

49.

51.

53. rango: [latex] left [0,20 right] [/ latex]

55. [latex] x text <-> [/ latex] intercepta:

57. [látex] left (- infty, infty right) [/ látex]

59. No existe una solución para [látex] a [/ látex] que impida que la función tenga una intercepción [látex] y [/ látex]. La función de valor absoluto siempre cruza la intersección de [látex] y [/ látex] cuando [látex] x = 0 [/ látex].


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Última respuesta de: Sena Kucukcolak
15 de enero de 2017 a las 16:57

Publicado por Peter Ke el 10 de octubre de 2015

Para el último ejemplo, entiendo cómo lo resuelve, pero no entiendo por qué lo resuelve de esa manera, como por qué hizo 96 + 84/2 y 96-84 / 2. Por favor explique.

Valor absoluto en el SAT

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  • Introducción 0:00
  • Cómo se prueba el valor absoluto en el SAT 0:11
  • Aprender con el ejemplo: valor absoluto 3:07
  • Aprenda con el ejemplo: valor absoluto y desigualdades 7:09

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¿Cómo grafica # f (x) = abs (x-6) #?

Escribamos dos funciones por partes, una para el área de la función donde # y # está disminuyendo, otra para la parte donde # y # está aumentando.

La función cambiará de una disminución a un aumento en el vértice. Cuando se le da una función de valor absoluto de la forma #y = a | x - p | + q #, el vértice está en # (p, q) #.

Dado que #p = 6 # y # q = 0 #, #f (x) = | x - 6 | # tiene su vértice en # (6, 0) #.

El siguiente paso es determinar el rango. Esto estará determinado por dos elementos:

a) La coordenada y del vértice
b) La dirección de apertura

En la función #y = | x - 6 | #, el vértice tiene una coordenada y de # 0 # y la función se abre hacia arriba (ya que el parámetro # a # es positivo).

Por tanto, el rango de esta función es #y ≥ 0 #.

Ahora que conocemos el vértice, podemos encontrar otro punto en la gráfica y luego encontrar la ecuación de ambas funciones por partes. Creo que puede ser más sencillo encontrar la intersección con el eje y de la función.

Por lo tanto, la intersección con el eje y está en # (0, 6) #. Empiece por encontrar la pendiente entre los dos puntos que encontramos.

Necesitamos encontrar la ecuación usando la forma de pendiente puntual ahora.

Esta es la ecuación del lado izquierdo, ya que # y # está disminuyendo debido a la pendiente negativa. Graficará esta línea prestando atención al rango, #y ≥ 0 # (debe detener la línea una vez que llegue a la línea y = 0 #).

En cuanto a la ecuación por partes del lado derecho, esto se puede obtener multiplicando el lado #mx + b # de la función por partes de la izquierda por # -1 #.

En resumen, nuestras ecuaciones por partes para graficar son #y = x - 6, x ≥ 6 # y #y = -x + 6, x & lt 6 #.


Contenido

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo, significado unidad de medida en francés, específicamente para el complejo valor absoluto, [1] [2] y fue tomado prestado al inglés en 1866 como el equivalente latino módulo. [1] El término valor absoluto se ha utilizado en este sentido desde al menos 1806 en francés [3] y 1857 en inglés. [4] La notación | X | , con una barra vertical a cada lado, fue introducido por Karl Weierstrass en 1841. [5] Otros nombres para valor absoluto incluir valor numérico [1] y magnitud. [1] En lenguajes de programación y paquetes de software computacional, el valor absoluto de X generalmente está representado por abs (X) o una expresión similar.

La notación de barra vertical también aparece en varios otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, denota su cardinalidad cuando se aplica a una matriz, denota su determinante. Las barras verticales denotan el valor absoluto solo para los objetos algebraicos para los que se define la noción de un valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normalizada, por ejemplo, un número real, un número complejo o un cuaternión. Una notación estrechamente relacionada pero distinta es el uso de barras verticales para la norma euclidiana [6] o la norma sup [7] de un vector en R n < displaystyle mathbb ^>, aunque barras verticales dobles con subíndices (‖ ⋅ ‖ 2 < displaystyle | cdot | _ <2>> y ‖ ⋅ ‖ ∞ < displaystyle | cdot | _ < infty >>, respectivamente) son una notación más común y menos ambigua.

Números reales Editar

Para cualquier número real x, el valor absoluto o módulo de x se denota por | X | (una barra vertical a cada lado de la cantidad) y se define como [8]

Por tanto, el valor absoluto de x es siempre positivo o cero, pero nunca negativo: cuando x es negativo ( X & lt 0), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo (| X | = −X & gt 0).

Desde el punto de vista de la geometría analítica, el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número desde cero a lo largo de la recta numérica real y, de manera más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. La noción de una función de distancia abstracta en matemáticas puede verse como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" más abajo).

Dado que el símbolo de la raíz cuadrada representa el único positivo raíz cuadrada (cuando se aplica a un número positivo), se sigue que

es equivalente a la definición anterior y puede usarse como una definición alternativa del valor absoluto de los números reales. [9]

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales (a, B son números reales), que se utilizan para generalizar esta noción a otros dominios:

| a | ≥ 0 No negatividad
| a | = 0 ⟺ a = 0 Definición positiva
| a b | = | a | | b | Multiplicatividad
| a + b | ≤ | a | + | b | Subaditividad, específicamente la desigualdad del triángulo

A continuación se dan algunas propiedades útiles adicionales. Estas son consecuencias inmediatas de la definición o están implícitas en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

| | a | | = | a | < Displaystyle < bigl |> left | a right | < bigr |> = | a |> Idempotencia (el valor absoluto del valor absoluto es el valor absoluto)
| - a | = | a | Uniformidad (simetría de reflexión del gráfico)
| a - b | = 0 ⟺ a = b Identidad de indiscernibles (equivalente a definición positiva)
| a - b | ≤ | a - c | + | c - b | Desigualdad triangular (equivalente a subaditividad)
| a b | = | a | | b | < Displaystyle left | < frac > right | = < frac <| a |> <| b | >> > (si b ≠ 0 < displaystyle b neq 0>) Preservación de la división (equivalente a multiplicatividad)
| a - b | ≥ | | a | - | b | | < Displaystyle | a-b | geq < bigl |> left | a right | - left | b right | < bigr | >> Desigualdad del triángulo inverso (equivalente a la subaditividad)

Otras dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son:

Estas relaciones pueden usarse para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar de los números reales.

Números complejos Editar

Dado que los números complejos no están ordenados, la definición dada en la parte superior del valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia de 0 se puede generalizar. El valor absoluto de un número complejo se define por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen. Esto se puede calcular usando el teorema de Pitágoras: para cualquier número complejo

donde xey son números reales, el valor absoluto o módulo de z se denota | z | y está definido por [10]

donde Re (z) = X y yo soy(z) = y denotar las partes reales e imaginarias de z, respectivamente. Cuando la parte imaginaria y es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real x.

Cuando un número complejo z se expresa en su forma polar como

Esto generaliza la definición alternativa de reales: | x | = x ⋅ x < estilo de texto | x | = < sqrt >> .

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real.

En el lenguaje de la teoría de grupos, la propiedad multiplicativa puede reformularse de la siguiente manera: el valor absoluto es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de los números complejos al grupo bajo la multiplicación de números reales positivos. [11]

Es importante destacar que la propiedad de la subaditividad ("desigualdad triangular") se extiende a cualquier colección finita de n números complejos (z k) k = 1 n < textstyle (z_)_^> como

Esta desigualdad también se aplica a familias infinitas, siempre que la serie infinita ∑ k = 1 ∞ z k < textstyle sum _^ < infty> z_> es absolutamente convergente. Si la integración de Lebesgue se ve como el análogo continuo de la suma, entonces esta desigualdad es obedecida de manera análoga por funciones medibles de valores complejos f: R → C < displaystyle f: mathbb a mathbb > cuando se integra sobre un subconjunto medible E < displaystyle E>:

(Esto incluye funciones integrables de Riemann sobre un intervalo acotado [a, b] < displaystyle [a, b]> como un caso especial).

Prueba de la desigualdad del triángulo complejo Editar

La desigualdad del triángulo, dada por (), se puede demostrar aplicando tres propiedades fácilmente verificadas de los números complejos: a saber, para cada número complejo z ∈ C < displaystyle z in mathbb > ,

La función de valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en X = 0. Disminuye monótonamente en el intervalo (−∞, 0] y aumenta monótonamente en el intervalo [0, + ∞). Dado que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par y, por lo tanto, no es invertible. La función de valor absoluto real es una función convexa lineal por partes.

Tanto la función real como la compleja son idempotentes.

Relación con la función de señal Editar

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

Edición derivada

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada X ≠ 0, pero no es diferenciable en X = 0. Su derivada para X ≠ 0 viene dado por la función escalonada: [13] [14]

La función de valor absoluto real es un ejemplo de una función continua que logra un mínimo global donde la derivada no existe.

El subdiferencial de | X | a X = 0 es el intervalo [−1, 1]. [15]

La función de valor absoluto complejo es continua en todas partes pero diferenciable compleja en ningún lugar porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann. [13]

La segunda derivada de | X | con respecto a x es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como función generalizada, la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac.

Antiderivada Editar

La antiderivada (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

donde C es una constante arbitraria de integración. Esta no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones diferenciables complejas (holomórficas), que no es la función de valor absoluto complejo.

El valor absoluto está íntimamente relacionado con la idea de distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número al origen, a lo largo de la recta numérica real, para números reales, o en el plano complejo, para números complejos, y más generalmente, el valor absoluto. de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos

Lo anterior muestra que la distancia de "valor absoluto", para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, la cual heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos unidimensionales y bidimensionales, respectivamente.

Se puede ver que las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, identidad de indiscernibles, simetría y la desigualdad triangular dadas anteriormente, motivan la noción más general de una función de distancia de la siguiente manera:

Una función d con valor real en un conjunto X × X se llama métrica (o función de distancia) sobre X, si satisface los siguientes cuatro axiomas: [16]

Anillos ordenados Editar

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales puede extenderse a cualquier anillo ordenado. Es decir, si a es un elemento de un anillo ordenado R, entonces el valor absoluto de a, denotado por | a | , se define como: [17]

donde -a es el aditivo inverso de a, 0 es la identidad aditiva, y & lt y ≥ tienen el significado habitual con respecto al orden en el anillo.

Campos Editar

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto para números reales se pueden usar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, como sigue.

Una función de valor real v en un campo F se llama valor absoluto (también una módulo, magnitud, valor, o valuación) [18] si satisface los siguientes cuatro axiomas:

Dónde 0 denota la identidad aditiva de F. De la definicin positiva y la multiplicatividad se sigue que v(1) = 1, donde 1 denota la identidad multiplicativa de F. Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en F, entonces la función d en F × F , definido por D(a, B) = v(aB), es una métrica y las siguientes son equivalentes:

  • d satisface la desigualdad ultramétrica d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)) < displaystyle d (x, y) leq max (d (x, z), d (y, z))> para todo x, y, z en F.
  • < estilo de texto izquierda ^ mathbf <1> right): n in mathbb right >> está acotado en R.
  • v (∑ k = 1 norte 1) ≤ 1 < Displaystyle v left (< textstyle sum _^> mathbf <1> right) leq 1 > para cada n ∈ N < displaystyle n in mathbb > .
  • v (a) ≤ 1 ⇒ v (1 + a) ≤ 1 < displaystyle v (a) leq 1 Rightarrow v (1 + a) leq 1 > para todo a ∈ F.
  • v (a + b) ≤ max < Displaystyle v (a + b) leq max > para todo a, b ∈ F < displaystyle a, b in F>.

Un valor absoluto que satisface cualquiera (por lo tanto, todas) de las condiciones anteriores se dice que es no arquimediano, de lo contrario se dice que es Arquímedes. [19]

Espacios vectoriales Editar

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto para números reales pueden usarse, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial V sobre un campo F, representada como || · || , se llama valor absoluto, pero más usualmente un norma, si satisface los siguientes axiomas:

Para todo a en F, y v , tu en V,

La norma de un vector también se llama su largo o magnitud.

El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio de producto interno, que es idéntico a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica como el plano euclidiano R 2 < displaystyle mathbb ^<2>> .

Álgebras de composición Editar

Cada álgebra de composición A tiene una involución XX* llamado su conjugación. El producto en A de un elemento X y su conjugado X* está escrito norte(X) = x x* y llamó al norma de x.

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos. Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento X tiene una norma distinta de cero, entonces X tiene un inverso multiplicativo dado por X*/norte(X).


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Última respuesta de: Sena Kucukcolak
15 de enero de 2017 a las 16:57

Publicado por Peter Ke el 10 de octubre de 2015

Para el último ejemplo, entiendo cómo lo resuelve, pero no entiendo por qué lo resuelve de esa manera, como por qué hizo 96 + 84/2 y 96-84 / 2. Por favor explique.

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Resumen rápido:

  • Para la mayoría de las ecuaciones de valor absoluto, escribe dos ecuaciones diferentes resolver. El valor dentro del valor absoluto puede ser positivo o negativo.
  • Si el la respuesta a una ecuación de valor absoluto es negativa, entonces la respuesta es la conjunto vacio. Ningún valor absoluto puede ser un número negativo.

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6: Valor absoluto

El valor absoluto de cualquier número se define como la distancia de cero a ese número, sin importar la dirección.

El tamaño de un número en sí mismo es independiente del valor absoluto del número. A medida que los números positivos aumentan, el valor absoluto del número aumenta. A medida que los números negativos se hacen más pequeños, el valor absoluto del número aumenta. Los valores positivos y negativos de cualquier número tienen el mismo valor absoluto.

Estas propiedades de los números positivos y negativos se ilustran en una recta numérica. En los problemas que siguen, los estudiantes reciben dos números y deben determinar cuál es el número mayor o menor y cuál tiene el valor absoluto mayor o menor.

El opuesto de un número se define como el número que tiene el mismo valor absoluto que el número original, pero el signo opuesto. Si el número original es positivo, el opuesto es negativo. Si el número original es negativo, el opuesto es positivo.

Esto se ilustra en una recta numérica como un rayo cuya longitud representa el valor absoluto que gira alrededor del punto cero.

En los problemas de esta lección, los estudiantes reciben números positivos y negativos y deben dar el opuesto de ese número.


Interpretación de los resultados de ANC

Es posible que su recuento total de leucocitos sea normal, pero su recuento de neutrófilos es bajo. Sin embargo, dado que los neutrófilos normalmente tienen la porción más grande del pastel en términos de glóbulos blancos totales, el recuento de glóbulos blancos también suele ser bajo cuando el recuento de neutrófilos es bajo.

Los neutrófilos son los glóbulos blancos más numerosos en el torrente sanguíneo de las personas sanas, por lo general constituyen más del 50% del recuento de glóbulos blancos. Son los glóbulos blancos más importantes en la lucha contra las infecciones.

La presencia de cantidades anormalmente pequeñas de neutrófilos en la sangre circulante se denomina neutropenia. Existen diferentes grados de neutropenia, dependiendo de qué tan bajo sea su ANC.

Según la Sociedad Estadounidense del Cáncer, una persona sana tiene un ANC entre 2.500 y 6.000. Cuando el ANC desciende por debajo de 1.000, puede haber un mayor riesgo de infección, por lo que su médico controlará sus recuentos muy de cerca. Tiene un riesgo mucho mayor de infección cuando el ANC está por debajo de 500.

La médula ósea normalmente produce las células sanguíneas, incluidos los neutrófilos. Las terapias contra el cáncer que salvan vidas, incluidas la quimioterapia y la radiación, pueden dirigirse a las células de crecimiento rápido y afectar negativamente la producción de neutrófilos, por lo que una disminución del ANC es a veces un efecto secundario esperado.

En algunos casos, cuando se espera que el ANC sea bajo, o cuando ya esté bajo, se pueden administrar antibióticos para prevenir infecciones. Otro medicamento que se puede administrar es un factor de crecimiento, un medicamento que ayuda a estimular la producción de neutrófilos.


Lección 6

En varias lecciones pasadas, los estudiantes han razonado sobre la estructura de los números racionales trazándolos en una recta numérica y anotando sus posiciones relativas y distancias desde cero. Aprendieron que los números opuestos tienen la misma distancia del cero. Los estudiantes ahora formalizan el concepto de magnitud de un número con el término valor absoluto. Aprenden que el valor absoluto de un número es su distancia desde cero, lo que significa que los números opuestos tienen el mismo valor absoluto. Los estudiantes razonan de manera abstracta sobre los contextos familiares de temperatura y elevación utilizando el concepto y la notación de valor absoluto (MP2).

Metas de aprendizaje

Exploremos las distancias desde cero más de cerca.

Objetivos de aprendizaje

Estándares CCSS

Entradas del glosario

El valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica.

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El valor absoluto de -7 es 7, porque está a 7 unidades de 0. El valor absoluto de 5 es 5, porque está a 5 unidades de 0.

Un número negativo es un número menor que cero. En una recta numérica horizontal, los números negativos generalmente se muestran a la izquierda del 0.

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Dos números son opuestos si están a la misma distancia del 0 y en lados diferentes de la recta numérica.

Por ejemplo, 4 es el opuesto de -4 y -4 es el opuesto de 4. Ambos están a la misma distancia de 0. Uno es negativo y el otro es positivo.

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Un número positivo es un número mayor que cero. En una recta numérica horizontal, los números positivos generalmente se muestran a la derecha del 0.

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Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción.

For example, 8 and -8 are rational numbers because they can be written as (frac81) and ( ext-frac81) .

Also, 0.75 and -0.75 are rational numbers because they can be written as (frac<75><100>) and ( ext-frac<75><100>) .

The sign of any number other than 0 is either positive or negative.

For example, the sign of 6 is positive. The sign of -6 is negative. Zero does not have a sign, because it is not positive or negative.

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