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2.7: Comprensión de la pendiente de una línea - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Al final de esta sección, podrá:
  • Use geoboards para modelar la pendiente
  • Usa (m = frac { text {subida}} { text {run}} ) para encontrar la pendiente de una línea a partir de su gráfica
  • Encuentra la pendiente de las líneas horizontales y verticales.
  • Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos
  • Grafica una recta dado un punto y la pendiente
  • Resolver aplicaciones de pendientes

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ( frac {1 - 4} {8 - 2} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 1.6.31
  2. Dividir: ( frac {0} {4}, frac {4} {0} ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.10.16.
  3. Simplifica: ( frac {15} {- 3}, frac {-15} {3}, frac {-15} {- 3} ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.6.4.

Cuando grafica ecuaciones lineales, es posible que notes que algunas líneas se inclinan hacia arriba a medida que van de izquierda a derecha y algunas líneas se inclinan hacia abajo. ¿Qué determina si una línea se inclina hacia arriba o hacia abajo o si es empinada o plana?

En matemáticas, la "inclinación" de una línea se llama Pendiente de la línea. El concepto de pendiente tiene muchas aplicaciones en el mundo real. La inclinación de un techo, la pendiente de una carretera y una rampa para una silla de ruedas son algunos ejemplos en los que literalmente se ven pendientes. Y cuando andas en bicicleta, sientes la pendiente a medida que subes o desciendes.

En esta sección, exploraremos el concepto de pendiente.

Use geoboards para modelar la pendiente

A geoboard es una tabla con una cuadrícula de clavijas. El uso de bandas elásticas en un geoboard nos brinda una forma concreta de modelar líneas en una cuadrícula de coordenadas. Al estirar una banda elástica entre dos clavijas en un geoboard, podemos descubrir cómo encontrar la pendiente de una línea.

Realizar la actividad de Matemáticas manipuladoras “Explorando la pendiente” le ayudará a desarrollar una mejor comprensión de la pendiente de una línea. (Se puede usar papel cuadriculado en lugar de un tablero geográfico, si es necesario).

Comenzaremos estirando una banda elástica entre dos clavijas como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

¿No parece una línea?

Ahora estiramos una parte de la banda elástica hacia arriba desde la clavija izquierda y alrededor de una tercera clavija para formar los lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} )

Formamos con cuidado un ángulo de 90º alrededor de la tercera clavija, de modo que una de las líneas recién formadas sea vertical y la otra horizontal.

Para encontrar la pendiente de la línea, medimos la distancia a lo largo de los lados vertical y horizontal del triángulo. La distancia vertical se llama subir y la distancia horizontal se llama correr, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

Si nuestro geoboard y la goma elástica se ve como la que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), la subida es 2. La goma sube 2 unidades. (Cada espacio es una unidad).

La subida en este geoboard es 2, ya que la goma sube dos unidades.

¿Qué es la carrera?

La goma elástica atraviesa 3 unidades. La carrera es 3 (vea la Figura ( PageIndex {4} )).

La pendiente de una línea es la relación entre la subida y la carrera. En matemáticas, siempre se hace referencia a ella con la letra m.

PENDIENTE DE UNA LINEA

El pendiente de una línea de una línea es (m = frac { text {subida}} { text {correr}} ).

El subir mide el cambio vertical y el correr mide el cambio horizontal entre dos puntos de la línea.

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano en la Figura ( PageIndex {4} )?

[ begin {alineado} m & = frac { text {subida}} { text {correr}} m & = frac {2} {3} end {alineado} ]

La recta tiene pendiente ( frac {2} {3} ). Esto significa que la línea sube 2 unidades por cada 3 unidades de corrida.

Cuando trabajamos con geoboards, es una buena idea adquirir el hábito de comenzar en una clavija de la izquierda y conectar con una clavija de la derecha. Si la subida sube es positiva y si baja es negativa. La carrera irá de izquierda a derecha y será positiva.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano que se muestra?

Respuesta

Usa la definición de pendiente: (m = frac { text {subida}} { text {correr}} ).

Comience en la clavija izquierda y cuente los espacios hacia arriba y hacia la derecha para llegar a la segunda clavija.

[ begin {array} {ll} { text {La subida es} 3.} & {m = frac {3} { operatorname {rnn}}} { text {La carrera es 4.} } & {m = frac {3} {4}} {} & { text {La pendiente es} frac {3} {4} text {. }} end {matriz} ]

Esto significa que la línea sube 3 unidades por cada 4 unidades de corrida.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano que se muestra?

Respuesta

( frac {4} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano que se muestra?

Respuesta

( frac {1} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano que se muestra?

Respuesta

Usa la definición de pendiente: (m = frac { text {subida}} { text {correr}} ).

Comience en la clavija izquierda y cuente las unidades hacia abajo y hacia la derecha para llegar a la segunda clavija.

[ begin {array} {ll} { text {La subida es} -1.} & {m = frac {-1} { operatorname {run}}} { text {La carrera es} 3.} & {M = frac {-1} {3}} {} & {m = - frac {1} {3}} {} & { text {La pendiente es} - frac {1} {3}} end {matriz} ]

Esto significa que la línea cae 1 unidad por cada 3 unidades de ejecución.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano?

Respuesta

(- frac {2} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

¿Cuál es la pendiente de la línea en el geoplano?

Respuesta

(- frac {4} {3} )

Observe que en el ejercicio ( PageIndex {1} ) la pendiente es positiva y en el ejercicio ( PageIndex {4} ) la pendiente es negativa. ¿Observa alguna diferencia en las dos líneas que se muestran en Figura(a) y Figura(B)?

"Leemos" una línea de izquierda a derecha al igual que leemos palabras en inglés. A medida que lee de izquierda a derecha, la línea en Figura(a) está subiendo; Tiene pendiente positiva. La línea en Figura(b) está bajando; Tiene pendiente negativa.

PENDIENTES POSITIVOS Y NEGATIVOS

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Usa un geoplano para modelar una línea con pendiente ( frac {1} {2} ).

Respuesta

Para modelar una línea en un geoboard, necesitamos la subida y la carrera.

( begin {array} {ll} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {m = frac { text {subida}} { text {run}}} { text {Reemplazar} m text {con} frac {1} {2} text {.}} & { frac {1} {2} = frac { text {subida}} { text {correr}}} { text {Entonces, la subida es} 1 text {y la carrera es} 2 text {.}} { text {Comienza en una clavija en la parte inferior izquierda del geoboard.}} { text {Estire la goma elástica hacia arriba} 1 text {unidad, y luego a la derecha} 2 text {unidades.}} end {matriz} )

La hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la goma elástica representa una línea cuya pendiente es ( frac {1} {2} ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Modele la pendiente (m = frac {1} {3} ). Haz un dibujo para mostrar tus resultados.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Modele la pendiente (m = frac {3} {2} ). Haz un dibujo para mostrar tus resultados.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Usa un geoboard para modelar una línea con pendiente ( frac {-1} {4} ).

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {m = frac { text {subida}} { text {run}}} { text {Reemplazar} m text {con} frac {-1} {4} text {.}} & { frac {-1} {4} = frac { text {subida}} { text {correr}}} { text {Entonces, la subida es} -1 text {y la carrera es} 4 text {.}} { text {Dado que la subida es negativa, elegimos una clavija de inicio en la parte superior izquierda eso nos dará espacio para la cuenta regresiva.}} { text {Estiramos la goma elástica hacia abajo} 1 text {unidad, y luego a la derecha} 4 text {unidades.}} end {matriz} )

La hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la goma elástica representa una línea cuya pendiente es ( frac {-1} {4} ).

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Modele la pendiente (m = frac {-2} {3} ). Haz un dibujo para mostrar tus resultados.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Modele la pendiente (m = frac {-1} {3} ). Haz un dibujo para mostrar tus resultados.

Respuesta

Usa (m = frac { text {subida}} { text {run}} ) para encontrar la pendiente de una línea a partir de su gráfico

Ahora, veremos algunas gráficas en el plano de coordenadas xy y veremos cómo encontrar sus pendientes. El método será muy similar al que acabamos de modelar en nuestros geoboards.

Para encontrar la pendiente, debemos contar la subida y la carrera. Pero donde empezamos?

Ubicamos dos puntos en la línea cuyas coordenadas son números enteros. Luego comenzamos con el punto de la izquierda y dibujamos un triángulo rectángulo, para que podamos contar el ascenso y la carrera.

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

( frac {2} {5} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

( frac {3} {4} )

ENCUENTRA LA PENDIENTE DE UNA LÍNEA DE SU GRÁFICO

  1. Ubica dos puntos en la línea cuyas coordenadas son números enteros.
  2. Comenzando con el punto de la izquierda, dibuje un triángulo rectángulo, yendo del primer punto al segundo punto.
  3. Cuenta la subida y la carrera en los catetos del triángulo.
  4. Calcula la relación entre la subida y la carrera para encontrar la pendiente, (m = frac { text {subida}} { text {run}} ).

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta
Ubique dos puntos en el gráfico cuyas coordenadas sean números enteros.(0,5) y (3,3)
¿Qué punto está a la izquierda?(0,5)
Comenzando en (0,5), dibuje un triángulo rectángulo hasta (3,3).
Cuente el aumento, es negativo.El aumento es -2.
Cuente la carrera.La carrera es 3.
Usa la fórmula de la pendiente. (m = frac { text {subida}} { text {correr}} )
Sustituye los valores de subida y bajada. (m = frac {-2} {3} )
Simplificar. (m = - frac {2} {3} )
La pendiente de la línea es (- frac {2} {3} ).

Entonces y aumenta en 3 unidades mientras xx disminuye en 2 unidades.

¿Qué pasa si usamos los puntos (−3,7) y (6,1) para encontrar la pendiente de la línea?

La subida sería −6 y la carrera sería 9. Entonces (m = frac {-6} {9} ), y eso se simplifica a (m = - frac {2} {3} ). Recuerde, no importa qué puntos use, la pendiente de la línea es siempre la misma.

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

(- frac {4} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

(- frac {3} {5} )

En los dos últimos ejemplos, las líneas tenían y-intercepta con valores enteros, por lo que era conveniente utilizar la y-interceptar como uno de los puntos para encontrar la pendiente. En el siguiente ejemplo, el y-intercepto es una fracción. En lugar de usar ese punto, buscaremos otros dos puntos cuyas coordenadas sean números enteros. Esto facilitará los cálculos de pendiente.

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta
Ubique dos puntos en el gráfico cuyas coordenadas sean números enteros.(2,3) y (7,6)
¿Qué punto está a la izquierda?(2,3)
Comenzando en (2,3), dibuje un triángulo rectángulo hasta (7,6).
Cuente la subida.El aumento es 3.
Cuente la carrera.La carrera es 5.
Usa la fórmula de la pendiente. (m = frac { text {subida}} { text {correr}} )
Sustituye los valores de subida y bajada. (m = frac {3} {5} )
La pendiente de la línea es ( frac {3} {5} ).

Esto significa que y aumenta 5 unidades cuando x aumenta 3 unidades.

Cuando usamos geoboards para introducir el concepto de pendiente, dijimos que siempre comenzaríamos con el punto de la izquierda y contaríamos la subida y la carrera para llegar al punto de la derecha. De esa forma la carrera siempre era positiva y la subida determinaba si la pendiente era positiva o negativa.

¿Qué pasaría si empezáramos con el punto de la derecha?

Usemos los puntos (2,3) y (7,6) de nuevo, pero ahora comenzaremos en (7,6).

( begin {array} {ll} { text {Cuenta la subida.}} & { text {La subida es −3.}} { text {Cuenta la carrera. Va de derecha a izquierda, entonces}} & { text {La carrera es − 5.}} { text {es negativa.}} & {} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {m = frac { text {subida}} { text {correr}}} { text {Sustituye los valores de subida y bajada.}} & {m = frac {-3} {- 5}} { } & { text {La pendiente de la línea es} frac {3} {5}} end {array} )
No importa por dónde empiece, la pendiente de la línea es siempre la misma.

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

( frac {5} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

Respuesta

( frac {3} {2} )

Hallar la pendiente de las líneas horizontales y verticales

¿Recuerdas qué tenían de especial las líneas horizontales y verticales? Sus ecuaciones tenían solo una variable.

[ begin {array} {ll} { textbf {Línea horizontal} y = b} & { textbf {Línea vertical} x = a} {y text {-las coordenadas son las mismas. }} & {x text {-coordenadas son iguales. }} end {matriz} ]

Entonces, ¿cómo encontramos la pendiente de la línea horizontal y = 4y = 4? Un enfoque sería graficar la línea horizontal, encontrar dos puntos en ella y contar la subida y la carrera. Veamos qué sucede cuando hacemos esto.

( begin {array} {ll} { text {¿Cuál es la subida?}} & { text {La subida es 0.}} { text {¿Cuál es la carrera?}} & { text {La carrera es 3.}} {} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} {} & {m = frac {0} {3}} { text {¿Cuál es la pendiente?}} & {m = 0} {} & { text {La pendiente de la línea horizontal y = 4 es 0.}} end {array} )

Todas las líneas horizontales tienen pendiente 0. Cuando el y-Las coordenadas son las mismas, la subida es 0.

PENDIENTE DE UNA LÍNEA HORIZONTAL

La pendiente de una línea horizontal, y = b, es 0.

El suelo de tu habitación es horizontal. Su pendiente es 0. Si colocas con cuidado una pelota en el suelo, no se alejaría rodando.

Ahora, consideraremos una línea vertical, la línea.

( begin {array} {ll} { text {¿Cuál es la subida?}} & { text {La subida es 2.}} { text {¿Cuál es la carrera?}} & { text {La carrera es 0.}} {} & {m = frac { text {subida}} { text {carrera}}} { text {¿Cuál es la pendiente?}} & {M = frac {2} {0}} end {array} )

Pero no podemos dividir por 0. La división por 0 no está definida. Entonces decimos que la pendiente de la recta vertical x = 3x = 3 no está definida.

La pendiente de cualquier línea vertical no está definida. Cuando el X-Las coordenadas de una línea son todas iguales, la carrera es 0.

PENDIENTE DE UNA LÍNEA VERTICAL

La pendiente de una línea vertical, x = a, no está definida.

Ejercicio ( PageIndex {22} )

Encuentra la pendiente de cada línea:

Ⓐ x = 8 ⓑ y = −5.

Respuesta

Ⓐ x = 8
Esta es una línea vertical.
Su pendiente no está definida.

Ⓑ y = −5
Esta es una línea horizontal.
Tiene pendiente 0.

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Encuentra la pendiente de la recta: x = −4.

Respuesta

indefinido

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Encuentra la pendiente de la recta: y = 7.

Respuesta

0

GUÍA RÁPIDA DE LAS PENDIENTES DE LAS LÍNEAS

Recuerde, "leemos" una línea de izquierda a derecha, al igual que leemos palabras escritas en inglés.

Usa la fórmula de pendiente para encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos

Hacer la actividad de Matemáticas manipuladoras “Pendiente de líneas entre dos puntos” le ayudará a desarrollar una mejor comprensión de cómo encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos.

A veces, necesitaremos encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos cuando no tenemos un gráfico para contar la subida y la carrera. Podríamos trazar los puntos en papel cuadriculado, luego contar la subida y la carrera, pero como veremos, hay una manera de encontrar la pendiente sin graficar. Antes de llegar a él, necesitamos introducir algo de notación algebraica.

Hemos visto que un par ordenado (x, y) da las coordenadas de un punto. Pero cuando trabajamos con pendientes, usamos dos puntos. ¿Cómo se puede usar el mismo símbolo (x, y) para representar dos puntos diferentes? Los matemáticos usan subíndices para distinguir los puntos.

[ begin {array} {ll} { left (x_ {1}, y_ {1} right)} & { text {read} ^ {'} x text {sub} 1, y text { sub} 1 ^ {'}} { left (x_ {2}, y_ {2} right)} & { text {read} ^ {'} x text {sub} 2, y text { sub} 2 ^ {'}} end {matriz} ]

El uso de subíndices en matemáticas es muy parecido al uso de las iniciales del apellido en la escuela primaria. ¿Quizás recuerdas a Laura C. y Laura M. en tu clase de tercer grado?

Usaremos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) para identificar el primer punto y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) para identificar el segundo punto.

Si tuviéramos más de dos puntos, podríamos usar ( left (x_ {3}, y_ {3} right) ), ( left (x_ {4}, y_ {4} right) ) , etcétera.

Veamos cómo la subida y la corrida se relacionan con las coordenadas de los dos puntos, analizando de nuevo la pendiente de la línea entre los puntos (2,3) y (7,6).

Como tenemos dos puntos, usaremos la notación de subíndice, ( left ( begin {array} {c} {x_ {1}, y_ {1}} {2,3} end {array} right ) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} {7,6} end {array} right) ).

En el gráfico, contamos la subida de 3 y la racha de 5.

Observe que el aumento de 3 se puede encontrar restando el y-coordina 6 y 3.

[3=6-3]

Y la racha de 5 se puede encontrar restando el X-coordina 7 y 2.

[5 = 7 - 2]

Sabemos (m = frac { text {subida}} { text {correr}} ). Entonces (m = frac {3} {5} ).

Reescribimos la subida y la ejecución poniendo las coordenadas (m = frac {6-3} {7-2} )

Pero 6 es y2, el y-coordinada del segundo punto y 3 es y1, el y-coordinado del primer punto.

Entonces podemos reescribir la pendiente usando notación de subíndice. (m = frac {y2-y1} {7-2} )

Además, 7 es x2, el X-coordinada del segundo punto y 2 es x1, el X-coordinado del primer punto.

Entonces, nuevamente, reescribimos la pendiente usando notación de subíndice. (m = frac {y2-y1} {x2-x1} )

Hemos demostrado que (m = frac {y2-y1} {x2-x1} ) es en realidad otra versión de (m = frac { text {rise}} { text {run}} ) . Podemos usar esta fórmula para encontrar la pendiente de una línea cuando tenemos dos puntos en la línea.

FÓRMULA DE PENDIENTE

La pendiente de la línea entre dos puntos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) es

[m = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Este es el fórmula de pendiente.

La pendiente es:

[ begin {array} {c} {y text {del segundo punto menos} y text {del primer punto}} { text {over}} {x text {del segundo punto menos} x text {del primer punto. }} end {matriz} ]

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Utilizar el fórmula de pendiente para encontrar la pendiente de la línea entre los puntos (1,2) y (4,5).

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Llamaremos (1,2) punto # 1 y (4,5) punto # 2.}} & { left ( begin {array} {c } {x_ {1}, y_ {1}} {1,2} end {matriz} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} {4,5} end {array} right)} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {M = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {Sustituye los valores.}} & {} { text {y del segundo punto menos y del primer punto}} & {m = frac {5- 2} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {x del segundo punto menos x del primer punto}} & {m = frac {5-2} {4-1}} { text {Simplifica el numerador y el denominador.}} & {m = frac {3} {3}} { text {Simplify.}} & {m = 1} end {array} )

Confirmemos esto contando la pendiente en un gráfico usando (m = frac { text {subida}} { text {run}} ).

No importa a qué punto llame al punto n. ° 1 y a cuál llame al punto n. ° 2. La pendiente será la misma. Pruebe el cálculo usted mismo.

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea que pasa por los puntos: (8,5) y (6,3).

Respuesta

1

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea que pasa por los puntos: (1,5) y (5,9).

Respuesta

1

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−2, −3) y (−7,4).

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Llamaremos (-2, -3) punto # 1 y (-7,4) punto # 2.}} & { left ( begin {array } {c} {x_ {1}, y_ {1}} {-2, -3} end {matriz} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} {-7,4} end {array} right)} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {M = frac {y_ {2} -y_ {1} } {x_ {2} -x_ {1}}} { text {Sustituye los valores.}} & {} { text {y del segundo punto menos y del primer punto}} & {m = frac {4 - (- 3)} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {x del segundo punto menos x del primer punto}} & {m = frac {4 - (- 3)} {- 7 - (- 2)}} { text {Simplifica el numerador y el denominador.}} & {M = frac {7} {- 5}} { text {Simplificar.}} & {M = - frac {7} {5}} end {array} )

Verifiquemos esta pendiente en el gráfico que se muestra.

[ begin {alineado} m & = frac { text {subida}} { text {correr}} m & = frac {-7} {5} m & = - frac {7 } {5} end {alineado} ]

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea que pasa por los puntos: (−3,4) y (2, −1).

Respuesta

-1

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea que pasa por el par de puntos: (−2,6) y (−3, −4).

Respuesta

10

Graficar una línea dados un punto y la pendiente

Hasta ahora, en este capítulo, hemos graficado líneas trazando puntos, usando intersecciones y reconociendo líneas horizontales y verticales.

Otro método que podemos usar para graficar líneas se llama método punto-pendiente. Usaremos este método cuando sepamos un punto y la pendiente de la línea. Comenzaremos trazando el punto y luego usaremos la definición de pendiente para dibujar la gráfica de la línea.

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Grafica la línea que pasa por el punto (1, −1) cuya pendiente es (m = frac {3} {4} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {32} )

Grafica la línea que pasa por el punto (2, −2) con la pendiente (m = frac {4} {3} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {33} )

Grafica la línea que pasa por el punto (−2,3) con la pendiente (m = frac {1} {4} ).

Respuesta

GRÁFICA UNA LÍNEA DADA UN PUNTO Y LA PENDIENTE.

  1. Grafica el punto dado.
  2. Usa la fórmula de pendiente (m = frac { text {subida}} { text {subida}} ) para identificar la subida y la carrera.
  3. Comenzando en el punto dado, cuente la subida y corra para marcar el segundo punto.
  4. Conecta los puntos con una línea.

Ejercicio ( PageIndex {34} )

Grafica la línea con y-intercepto 2 cuya pendiente es (m = - frac {2} {3} ).

Respuesta

Grafique el punto dado, el y-intercepción, (0,2).

( begin {array} {ll} { text {Identifica la subida y la carrera.}} & {m = - frac {2} {3}} {} & { frac { text {subida }} { text {ejecutar}} = frac {-2} {3}} {} & { text {subir} = -2} {} & { text {ejecutar} = 3} fin {matriz} )

Cuenta la subida y la carrera. Marque el segundo punto.

Conecta los dos puntos con una línea.

Puede verificar su trabajo encontrando un tercer punto. Dado que la pendiente es (m = - frac {2} {3} ), se puede escribir como (m = frac {2} {- 3} ). Regrese a (0,2) y cuente la subida, 2, y la carrera, −3.

Ejercicio ( PageIndex {35} )

Grafique la línea con el y-intercepto 4 y pendiente (m = - frac {5} {2} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {36} )

Grafique la línea con el X-interceptar −3 y pendiente (m = - frac {3} {4} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {37} )

Grafica la línea que pasa por el punto (−1, −3) cuya pendiente es m = 4.

Respuesta

Grafica el punto dado.

( begin {array} {ll} { text {Identifica la subida y la carrera.}} & { text {m = 4}} { text {Escribe 4 como una fracción.}} & { frac { text {subida}} { text {correr}} = frac {4} {1}} {} & { text {subir} = 4 quad text {correr} = 3} end {formación})

Cuente la subida y corra y marque el segundo punto.

Conecta los dos puntos con una línea.

Puede verificar su trabajo encontrando un tercer punto. Dado que la pendiente es m = 4, se puede escribir como (m = frac {-4} {- 1} ). Regrese a (−1, −3) y cuente la subida, −4, y la carrera, −1.

Ejercicio ( PageIndex {38} )

Grafica la recta con el punto (−2,1) y la pendiente m = 3.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {39} )

Grafica la recta con el punto (4, −2) y la pendiente m = −2.

Respuesta

Resolver aplicaciones de pendientes

Al comienzo de esta sección, dijimos que hay muchas aplicaciones de la pendiente en el mundo real. Veamos algunos ahora.

Ejercicio ( PageIndex {40} )

La "inclinación" del techo de un edificio es la pendiente del techo. Conocer el terreno de juego es importante en climas donde hay fuertes nevadas. Si el techo es demasiado plano, el peso de la nieve puede hacer que se derrumbe. ¿Cuál es la pendiente del techo que se muestra?

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {m = frac { text {subida}} { text {subida}}} { text {Sustituye la valores para subir y correr.}} & {m = frac {9} {18}} { text {Simplificar.}} & {m = frac {1} {2}} { text { La pendiente del techo es} frac {1} {2}.} & {} {} & { text {El techo se eleva 1 pie por cada 2 pies de}} {} & { text { carrera horizontal.}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {41} )

Utilice Ejercicio ( PageIndex {40} ), sustituyendo la subida = 14 y la carrera = 24.

Respuesta

( frac {7} {12} )

Ejercicio ( PageIndex {42} )

Utilice Ejercicio ( PageIndex {40} ), sustituyendo subida = 15 y carrera = 36.

Respuesta

( frac {5} {12} )

Ejercicio ( PageIndex {43} )

¿Has pensado alguna vez en las tuberías de alcantarillado que van de tu casa a la calle? Deben inclinarse hacia abajo ( frac {1} {4} ) pulgada por pie para drenar correctamente. ¿Cuál es la pendiente requerida?

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Usa la fórmula de pendiente.}} & {m = frac { text {subida}} { text {run}}} {} & {m = frac {- frac {1} {4} mathrm {pulgada}} {1 text {pie}}} {} & {m = frac {- frac {1} {4} text { inch}} {12 text {pulgadas}}} { text {Simplify.}} & {m = - frac {1} {48}} {} & { text {La pendiente de la tubería es} - frac {1} {48}} end {matriz} )

La tubería cae 1 pulgada por cada 48 pulgadas de recorrido horizontal.

Ejercicio ( PageIndex {44} )

Encuentra la pendiente de una tubería que desciende ( frac {1} {3} ) pulgada por pie.

Respuesta

(- frac {1} {36} )

Ejercicio ( PageIndex {45} )

Calcula la pendiente de una tubería que desciende ( frac {3} {4} ) pulgada por yarda.

Respuesta

(- frac {1} {48} )

Conceptos clave

  • Encuentra la pendiente de una recta a partir de su gráfica usando (m = frac { text {subida}} { text {correr}} )
    1. Ubica dos puntos en la línea cuyas coordenadas son números enteros.
    2. Comenzando con el punto de la izquierda, dibuje un triángulo rectángulo, yendo del primer punto al segundo punto.
    3. Cuenta la subida y la carrera en los catetos del triángulo.
    4. Calcula la relación entre la subida y la carrera para encontrar la pendiente.
  • Graficar una línea dados un punto y la pendiente
    1. Grafica el punto dado.
    2. Usa la fórmula de pendiente (m = frac { text {subida}} { text {carrera}} ) para identificar la subida y la carrera.
    3. Comenzando en el punto dado, cuente la subida y corra para marcar el segundo punto.
    4. Conecta los puntos con una línea.
  • Pendiente de una línea horizontal
    • La pendiente de una línea horizontal, y = b, es 0.
  • Pendiente de una línea vertical
    • La pendiente de una línea vertical, x = a, no está definida

Si se conocen 1 punto y la pendiente

La pendiente, a veces denominada gradiente en matemáticas, es un número que mide la inclinación y la dirección de una línea, o una sección de una línea que conecta dos puntos, y generalmente se denota por metro. Generalmente, la pendiente de una línea se mide por el valor absoluto de su pendiente, metro. Cuanto mayor sea el valor, más pronunciada será la línea. Dado metro, es posible determinar la dirección de la línea que metro describe en función de su signo y valor:

  • Una línea está aumentando y va hacia arriba de izquierda a derecha cuando m & gt 0
  • Una línea es decreciente y desciende de izquierda a derecha cuando m & lt 0
  • Una línea tiene una pendiente constante y es horizontal cuando m = 0
  • Una línea vertical tiene una pendiente indefinida, ya que resultaría en una fracción con 0 como denominador. Consulte la ecuación proporcionada a continuación.

La pendiente es esencialmente un cambio de altura sobre un cambio en la distancia horizontal y, a menudo, se denomina "subida sobre la carrera". Tiene aplicaciones en pendientes tanto en geografía como en ingeniería civil, como la construcción de carreteras. En el caso de una carretera, la "subida" es el cambio de altitud, mientras que la "carrera" es la diferencia de distancia entre dos puntos fijos, siempre que la distancia para la medición no sea lo suficientemente grande como para considerar la curvatura de la tierra. como factor. La pendiente se representa matemáticamente como:

En la ecuación anterior, y2 - y1 = & Deltay, o cambio vertical, mientras X2 - X1 = & Deltax, o cambio horizontal, como se muestra en el gráfico proporcionado. También se puede ver que Y Deltax y Y Deltay son segmentos de recta que forman un triángulo rectángulo con hipotenusa D, con D siendo la distancia entre los puntos (X1, y1) y (X2, y2). Desde Y Deltax y Y Deltay formar un triángulo rectángulo, es posible calcular D utilizando el teorema de Pitágoras. Consulte la Calculadora de triángulos para obtener más detalles sobre el teorema de Pitágoras y cómo calcular el ángulo de inclinación. y theta proporcionado en la calculadora de arriba. Brevemente:

La ecuación anterior es el teorema de Pitágoras en su raíz, donde la hipotenusa D ya se ha resuelto, y los otros dos lados del triángulo se determinan restando los dos X y y valores dados por dos puntos. Dados dos puntos, es posible encontrar y theta usando la siguiente ecuación:

Dados los puntos (3,4) y (6,8) calcule la pendiente de la línea, la distancia entre los dos puntos y el ángulo de inclinación:

Si bien esto está más allá del alcance de esta calculadora, además de su uso lineal básico, el concepto de pendiente es importante en el cálculo diferencial. Para funciones no lineales, la tasa de cambio de una curva varía y la derivada de una función en un punto dado es la tasa de cambio de la función, representada por la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto.


¿Qué es la pendiente? Descubra qué tan bien comprende el concepto con el cuestionario a continuación. & # Xa0

La lección sobre la pendiente de una línea o cómo encontrar la pendiente explicará qué significa que una pendiente sea ne positiva, negativa, cero o indefinida matemáticamente.

Continúe su estudio de la pendiente aquí en el orden que se indica a continuación

Cómo encontrar la pendiente
Aprenda a calcular la pendiente usando la subida y la carrera o 2 puntos.

Pendiente indefinida
Una explicación detallada de lo que significa que una pendiente no esté definida.

Graficar pendiente
Aprenda a graficar la pendiente usando la pendiente y un punto.

Forma de intersección de pendiente
Aprenda a encontrar la forma de intersección de la pendiente.

Forma de pendiente puntual
Aprenda a encontrar la forma de pendiente puntual.

Calculadora de pendientes & # xa0
Dados dos puntos, esta calculadora calculará la pendiente y la forma de intersección de la pendiente de una línea.

Punto medio de un segmento de línea & # xa0
Descubra cómo encontrar el punto medio de un segmento de línea usando la fórmula del punto medio.

Explicación de un par de ejemplos de la vida real de variación directa.


¿Qué es la pendiente?

La pendiente de una línea en el plano de coordenadas cartesiano bidimensional generalmente se representa con la letra $ m $, y a veces se llama underline entre dos puntos. Esto se debe a que es el cambio en las coordenadas $ y $ dividido por el cambio correspondiente en las coordenadas $ x $ entre dos puntos distintos de la línea. Si tenemos coordenadas de dos puntos $ A (x_A, y_A) $ y $ B (x_B, y_B) $ en el plano cartesiano bidimensional de coordenadas, entonces la pendiente $ m $ de la recta que pasa por $ A (x_A, y_A) $ y $ B (x_B, y_B) $ está completamente determinado por la siguiente fórmula $ m = frac$ En otras palabras, la fórmula para la pendiente se puede escribir como $ m = frac < Delta y> < Delta x> = frac << rm vertical change >> << rm horizontal change >> = frac << rm subida >> << rm corre >> $ Como sabemos, la letra griega $ Delta $, significa diferencia o cambio. La pendiente $ m $ de una línea $ y = mx + b $ se puede definir también como la subida dividida por la carrera. Subir significa qué tan alto o bajo tenemos que movernos para llegar del punto de la izquierda al punto de la derecha, por lo que cambiamos el valor de $ y $. Por lo tanto, el aumento es el cambio en $ y $, $ Delta y $. Ejecutar significa qué tan lejos a la izquierda o derecha tenemos que movernos para llegar desde el punto de la izquierda al punto de la derecha, por lo que cambiamos el valor de $ x $. La carrera es el cambio en $ x $, $ Delta x $.


Cómo entender la pendiente (en álgebra)

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La pendiente de una línea, también llamada gradiente, mide la inclinación de una línea. Por lo general, pensamos en la pendiente como la "subida sobre la carrera". Al trabajar con pendiente, es importante comprender primero los conceptos básicos de qué mide la pendiente y cómo lo mide. Puede calcular la pendiente de una línea siempre que conozca las coordenadas de dos puntos cualesquiera.


¿Por qué la pendiente no está definida para las líneas verticales?

Usemos & # 8217s el ejemplo de la línea (x = 4 ), que está graficada arriba. Dos puntos en esta línea serían ((4, 1) ) y ((4, 2) ). Como puedes usar dos puntos cualesquiera para calcular la pendiente de la línea, podemos aplicar la fórmula de la pendiente usando ((x_1, y_1) = (4,1) ) y ((x_2, y_2) = (4, 2) ).

Ahora podemos ver el problema. Dado que los dos valores de x eran iguales, el denominador de la pendiente termina siendo 0. La división por cero siempre es indefinida. Cada punto de esta línea tiene una coordenada x de 4, por lo que esto sucederá independientemente de los puntos seleccionados.

Generalizando un poco esta idea, para una línea vertical (x = c ), las coordenadas x siempre serán el número (c ). Por lo tanto, la fórmula de la pendiente siempre resultará en una división por cero y, por lo tanto, la pendiente no estará definida.


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Slope

Slope is a measure of how steep a line is. There is very algebraic formula for the slope, and if you know that, that’s great! If you don’t know that formula, or used to know it and can’t remember it, I will say: fuhgeddaboudit! Here’s a much better way of thinking about slope. Slope is rise over run.

To calculate rise and run, first have to put the two points in order. It actually doesn’t matter which one we say is the first and which one, the second: all that matters is that we are consistent.

El rise is the vertical change — the change in y-coordinate (second point minus first). El correr is the horizontal change — the change in the x-coordinate (again, second minus first). Once we have rise & run, divide them, rise divided by run, to find the slope.

For example, suppose our points are (–2, 4) and (5, 1). For the sake of argument, we’ll say that’s the order — (–2, 4) is the “first” and (5, 1) is the “second.” The rise is the change in height, the change in y-coordinate: 1 – 4 = –3 (notice, we had to do second minus first, which gave us a negative here!) The run is the horizontal change, the change in x-coordinate: 5 – (–2) = 5 + 2 = 7 (remember: subtracting a negative is the same as adding a positive!). Now, rise/run = –3/7 —- that’s the slope. Slope is definitely something you need to understand for the GMAT Quantitative section.

Whenever you find a slope, I strongly suggest doing a rough sketch, just to verify that the sign of the slope (positive or negative) and the value of the slope are approximately correct. Here’s a sketch of this particular calculation:

Your sketch, of course, does not need to be this precise. Even a rough sketch would verify that, yes, the slope should be negative. Again, I highly recommend performing this visual check every time you calculate slope.


Clase: 11th
Subject: Matemáticas
Chapter : Ch-11 Straight Lines, Section -A of Vol-II
Board ISC
Escritor ML Aggarwal
Publications APC Arya Publications 2020-21

-: Select Topics :-

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Straight Line

By definition, a straight line is the set of all points between and extending beyond two points. In most geometries, a line is a primitive object that does not have formal properties beyond length, its single dimension.

The two properties of straight lines in Euclidean geometry are that they have only one dimension, length, and they extend in two directions forever.

Properties of Straight Lines
  • One-dimensional
  • Can be horizonal, vertical, or diagonal
  • Both ends extend in two directions forever
  • Makes a 180-degree angle when drawing an angle arc from one point to another
What is a Point ?

A point is the simplest figure in geometry. It is a location in space, without dimension. It has no width, volume, thickness, length or depth. Yet when you have two points, if you connect every point between those two points, you have a straight line.

How To Construct a Straight Line

A straight line is one of the easiest constructions to make in geometry. With a sheet of blank paper, a pencil, and a straightedge, you can construct a line easily:

  • Draw two dots on the paper, some distance from each other these are Points
  • Use the straightedge to connect the two Points with a pencil line, and extend the line far past both Points
  • Draw arrowheads at the ends of the line you drew

Shifting of Origin
Let the origin is shifted to a point O'(h, k). If P(x, y) are coordinates of a point referred to old axes and P'(X, Y) are the coordinates of the same points referred to new axes, then x = X + h, y = Y + k.

Straight Line
Any curve is said to be a straight line if two points are taken on the curve such that every point on the line segment joining any two points on it lies on the curve. General equation of a line is ax + by + c = 0.

Slope or Gradient of Line
The inclination of angle θ to a line with a positive direction of X-axis in the anti-clockwise direction, the tangent of angle θ is said to be slope or gradient of the line and is denoted by m.
i.e. m = tan θ
The slope of a line passing through points P(x 1 , y 1 ) and Q(x 2 , y 2 ) is given by

Position of Points is Relative to a Given Line
Let the equation of the given line be ax + by + c = 0 and let the coordinates of the two given points be P(x 1 , y 1 ) and Q(x 2 , y 2 ).
The two points are on the same side of the straight line ax + by + c = 0, If ax 1 + by 1 + c and ax 2 + by 2 + c have the same sign.

The two points are on the opposite sides of the straight line ax + by + c = 0, If ax 1 + by 1 + c and ax 2 + by 2 + c have opposite sign.

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Chapter Test

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-: End of Straight Lines ISC Class-11 ML Aggarwal Maths Understanding Chapter-11 Solution :-


Slope Concept 1 – Understanding the Basic Concepts of Slope

Note: This is the first part of the the Slope Concept Series. The sequels of this article are Part II – Slope of the Graph of a Linear Function and Part III – Slopes of Vertical and Horizontal Lines.

The slope is known to be the steepness of a line. Sometimes it is described as “rise over run,” If we are on point A , we go up 4 units and we go right 5 units (see Figure 1) then our rise is 4 and our run is 5. Let us mark our new location B . Notice that the order of movements does not matter. We can also go 5 units right and 4 units up and you will still be in B (see Figure 2).

If we do our movement in the coordinate plane starting from the origin, our rise would be our vertical movement (change of movement with respect to the y-axis) and our run would be our horizontal movement (change of movement with respect to the X-eje). In Figure 2, segment AB has rise 4 and run 5. Thus, the slope of segment AB is . In general, slope in the coordinate plane is described as the cambio en y over the change in x.

Figure 1 - Segment AB with rise 4 units and run 5 units.

The slope of a line (or a segment) may also be described as the angle it makes with a horizontal line. Technically speaking, it is a counterclockwise rotation with the line starting from a horizontal position about a point which is located on that line, or the origin our case. In Figure 2, is the angle measure AB makes with the horizontal axis of the rectangular coordinate plane, or the amount of rotation from AB’ to AB about A.

Figure 2 - Counter-clockwise rotation of AB to AB' about A.

Looking at triangle ABC , since the given sides are the side adjacent and the side opposite to , we can use the definition of tangent to compute for the value of . Recall from trigonometry that the definition of a tangent of an angle of a right triangle is equal to the quotient of the length of the side opposite to it (change in y) and the length of the side adjacent to it (change in x). Now, this is precisely the definition of slope. From here, we can conclude that the angle that a line makes with a horizontal line is the same as the slope of that line. As a consequence in radian measure (or approximately 38 degrees) is the slope of the line.

Figure 3 - Triangle ABC with Slope 4/5.

If we examine the value of , it is clear that when is degrees, the line is horizontal since there is no (zero) change in y. Algebraically, this makes the numerator of the fraction change in y which implies that the slope of any horizontal line is .

If the line is vertical, there is no (zero) change in x. That makes the denominator of the fraction change in x . Of course, we know that anything divided by is not defined. As a consequence, slope of a vertical line is undefined.

In the continuation of this article, we will discuss further about the properties of slope. We will discuss why the slope of a straight line is constant. We will further discuss zero, undefined, negative and positive slopes. We will also discuss how the concept of slope helps in solving calculus problems and how it is used to determine the behavior functions.


Coordinate Geometry: Slope of a Line

In our recent videos we’ve been exploring lines. Now we move on to learn how to find the slope of a line.


Ver el vídeo: How to find Slope by different methods (Enero 2022).