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4.3: Simplificar exponentes racionales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Simplifica expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )
  • Simplifica expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )
  • Usa las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Suma: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.28.
  2. Simplifica: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ {3} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el ejemplo 5.18.
  3. Simplifica: (5 ^ {- 3} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.14.

Simplifique expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )

Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.

La propiedad de potencia para exponentes dice que ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ) cuando (m ) y (n ) son números enteros . Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

Suponga que queremos encontrar un número (p ) tal que ( left (8 ^ {p} right) ^ {3} = 8 ). Usaremos la propiedad de potencia de los exponentes para encontrar el valor de (p ).

( left (8 ^ {p} right) ^ {3} = 8 )

Multiplica los exponentes de la izquierda.

(8 ^ {3p} = 8 )

Escribe el exponente (1 ) a la derecha.

(8 ^ {3p} = 8 ^ {1} )

Dado que las bases son las mismas, los exponentes deben ser iguales.

(3p = 1 )

Resuelve para (p ).

(p = frac {1} {3} )

Entonces ( left (8 ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = 8 ). Pero también sabemos (( sqrt [3] {8}) ^ {3} = 8 ). Entonces debe ser (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} ).

Esta misma lógica se puede usar para cualquier exponente entero positivo (n ) para mostrar que (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

Definición ( PageIndex {1} ): Exponente racional (a ^ { frac {1} {n}} )

Si ( sqrt [n] {a} ) es un número real y (n geq 2 ), entonces

(a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )

El denominador del exponente racional es el índice del radical.

Habrá momentos en los que trabajar con expresiones será más fácil si usa exponentes racionales y momentos en los que será más fácil si usa radicales. En los primeros ejemplos, practicarás la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Escribe como una expresión radical:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} )
  3. (z ^ { frac {1} {4}} )

Solución:

Queremos escribir cada expresión en la forma ( sqrt [n] {a} ).

un.

(x ^ { frac {1} {2}} )

El denominador del exponente racional es (2 ), por lo que el índice del radical es (2 ). No mostramos el índice cuando es (2 ).

( sqrt {x} )

B.

(y ^ { frac {1} {3}} )

El denominador del exponente es (3 ), por lo que el índice es (3 ).

( sqrt [3] {y} )

C.

(z ^ { frac {1} {4}} )

El denominador del exponente es (4 ), por lo que el índice es (4 ).

( sqrt [4] {z} )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe como una expresión radical:

  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2. (m ^ { frac {1} {3}} )
  3. (r ^ { frac {1} {4}} )
Respuesta
  1. ( sqrt {t} )
  2. ( sqrt [3] {m} )
  3. ( sqrt [4] {r} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Escribe como una expresión radical:

  1. (b ^ { frac {1} {6}} )
  2. (z ^ { frac {1} {5}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} )
Respuesta
  1. ( sqrt [6] {b} )
  2. ( sqrt [5] {z} )
  3. ( sqrt [4] {p} )

En el siguiente ejemplo, escribiremos cada radical usando un exponente racional. Es importante utilizar paréntesis alrededor de toda la expresión del radicando, ya que toda la expresión se eleva a la potencia racional.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {5y} )
  2. ( sqrt [3] {4 x} )
  3. (3 sqrt [4] {5 z} )

Solución:

Queremos escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {1} {n}} )

un.

( sqrt {5y} )

No se muestra ningún índice, por lo que es (2 ).

El denominador del exponente será (2 ).

Ponga entre paréntesis toda la expresión (5y ).

((5 años) ^ { frac {1} {2}} )

B.

( sqrt [3] {4 x} )

El índice es (3 ), por lo que el denominador del exponente es (3 ). Incluya paréntesis ((4x) ).

((4 x) ^ { frac {1} {3}} )

C.

(3 sqrt [4] {5 z} )

El índice es (4 ), por lo que el denominador del exponente es (4 ). Ponga paréntesis solo alrededor de (5z ) ya que 3 no está debajo del signo de radical.

(3 (5 z) ^ { frac {1} {4}} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {10m} )
  2. ( sqrt [5] {3 n} )
  3. (3 sqrt [4] {6 y} )
Respuesta
  1. ((10 m) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((3 n) ^ { frac {1} {5}} )
  3. (3 (6 años) ^ { frac {1} {4}} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt [7] {3 k} )
  2. ( sqrt [4] {5 j} )
  3. (8 sqrt [3] {2 a} )
Respuesta
  1. ((3 k) ^ { frac {1} {7}} )
  2. ((5 j) ^ { frac {1} {4}} )
  3. (8 (2 a) ^ { frac {1} {3}} )

En el siguiente ejemplo, puede que le resulte más fácil simplificar las expresiones si las reescribe primero como radicales.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (256 ^ { frac {1} {4}} )

Solución:

un.

(25 ^ { frac {1} {2}} )

Reescribe como una raíz cuadrada.

( sqrt {25} )

Simplificar.

(5)

B.

(64 ^ { frac {1} {3}} )

Reescribe como una raíz cúbica.

( sqrt [3] {64} )

Reconoce que (64 ) es un cubo perfecto.

( sqrt [3] {4 ^ {3}} )

Simplificar.

(4)

C.

(256 ^ { frac {1} {4}} )

Reescribe como cuarta raíz.

( sqrt [4] {256} )

Reconoce que (256 ) es una cuarta potencia perfecta.

( sqrt [4] {4 ^ {4}} )

Simplificar.

(4)

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (16 ^ { frac {1} {4}} )
Respuesta
  1. (6)
  2. (2)
  3. (2)

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {1} {4}} )
Respuesta
  1. (10)
  2. (3)
  3. (3)

Tenga cuidado con la ubicación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Necesitaremos usar la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) en un caso.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )

Solución:

un.

((- 16) ^ { frac {1} {4}} )

Reescribe como cuarta raíz.

( sqrt [4] {- 16} )

( sqrt [4] {(- 2) ^ {4}} )

Simplificar.

Sin solución real

B.

(- 16 ^ { frac {1} {4}} )

El exponente solo se aplica a (16 ). Reescribe como cuarta raíz.

(- sqrt [4] {16} )

Reescribe (16 ) como (2 ^ {4} )

(- sqrt [4] {2 ^ {4}} )

Simplificar.

(-2)

C.

((16) ^ {- frac {1} {4}} )

Reescribe usando la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )

Reescribe como cuarta raíz.

( frac {1} { sqrt [4] {16}} )

Reescribe (16 ) como (2 ^ {4} ).

( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ {4}}} )

Simplificar.

( frac {1} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. ((- 64) ^ {- frac {1} {2}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {2}} )
Respuesta
  1. Sin solución real
  2. (-8)
  3. ( frac {1} {8} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ((- 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((256) ^ {- frac {1} {4}} )
Respuesta
  1. Sin solución real
  2. (-4)
  3. ( frac {1} {4} )

Simplifique expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )

Podemos mirar (a ^ { frac {m} {n}} ) de dos formas. Recuerde que la propiedad de potencia nos dice que debemos multiplicar los exponentes y entonces ( left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} ) y ( left (a ^ {m} derecha) ^ { frac {1} {n}} ) ambos iguales (a ^ { frac {m} {n}} ). Si escribimos estas expresiones en forma radical, obtenemos

(a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} = ( sqrt [n] {a}) ^ { m} quad text {y} quad a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ {m} right) ^ {^ { frac {1} {n}}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición ( PageIndex {2} ): Exponente racional (a ^ { frac {m} {n}} )

Para cualquier número entero positivo (m ) y (n ),

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} quad text {y} quad a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

¿Qué forma usamos para simplificar una expresión? Por lo general, tomamos la raíz primero, de esa manera mantenemos los números en el radicando más pequeños, antes de elevarlo a la potencia indicada.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {y ^ {3}} )
  2. (( sqrt [3] {2 x}) ^ {4} )
  3. ( sqrt { left ( frac {3 a} {4 b} right) ^ {3}} )

Solución:

Queremos usar (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} ) para escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {m} {norte}})

un.

B.

C.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {x ^ {5}} )
  2. (( sqrt [4] {3 años}) ^ {3} )
  3. ( sqrt { left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ {5}} )
Respuesta
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2. ((3 años) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ( left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ { frac {5} {2}} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt [5] {a ^ {2}} )
  2. (( sqrt [3] {5 a b}) ^ {5} )
  3. ( sqrt { left ( frac {7 x y} {z} right) ^ {3}} )
Respuesta
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2. ((5 a b) ^ { frac {5} {3}} )
  3. ( left ( frac {7 x y} {z} right) ^ { frac {3} {2}} )

Recuerda que (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ). El signo negativo del exponente no cambia el signo de la expresión.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  2. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (32 ^ {- frac {2} {5}} )

Solución:

Primero reescribiremos la expresión como un radical usando la definición, (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} ). Esta forma nos permite tomar la raíz primero y así mantenemos los números en el radicando más pequeños que si usáramos la otra forma.

un.

(125 ^ { frac {2} {3}} )

La potencia del radical es el numerador del exponente, (2 ). El índice del radical es el denominador del exponente, (3 ).

(( sqrt [3] {125}) ^ {2} )

Simplificar.

((5)^{2})

(25)

B. Reescribiremos cada expresión primero usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) y luego cambiaremos a la forma radical.

(16 ^ {- frac {3} {2}} )

Reescribe usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )

Cambiar a forma radical. La potencia del radical es el numerador del exponente, (3 ). El índice es el denominador del exponente, (2 ).

( frac {1} {( sqrt {16}) ^ {3}} )

Simplificar.

( frac {1} {4 ^ {3}} )

( frac {1} {64} )

C.

(32 ^ {- frac {2} {5}} )

Reescribe usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )

Cambiar a forma radical.

( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ {2}} )

Reescribe el radicando como una potencia.

( frac {1} { left ( sqrt [5] {2 ^ {5}} right) ^ {2}} )

Simplificar.

( frac {1} {2 ^ {2}} )

( frac {1} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  2. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ {- frac {3} {4}} )
Respuesta
  1. (9)
  2. ( frac {1} {729} )
  3. ( frac {1} {8} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ {- frac {3} {4}} )
Respuesta
  1. (8)
  2. ( frac {1} {9} )
  3. ( frac {1} {125} )

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

Solución:

un.

(- 25 ^ { frac {3} {2}} )

Reescribe en forma radical.

(- ( sqrt {25}) ^ {3} )

Simplifica el radical.

(-(5)^{3})

Simplificar.

(-125)

B.

(- 25 ^ {- frac {3} {2}} )

Reescribe usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

(- left ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}} right) )

Reescribe en forma radical.

(- left ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ {3}} right) )

Simplifica el radical.

(- left ( frac {1} {(5) ^ {3}} right) )

Simplificar.

(- frac {1} {125} )

C.

((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

Reescribe en forma radical.

(( sqrt {-25}) ^ {3} )

No hay un número real cuya raíz cuadrada sea (- 25 ).

No es un número real.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} )
Respuesta
  1. (-64)
  2. (- frac {1} {64} )
  3. No es un numero real

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Simplificar:

  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} )
Respuesta
  1. (-729)
  2. (- frac {1} {729} )
  3. No es un numero real

Usar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

Las mismas propiedades de los exponentes que ya hemos usado también se aplican a los exponentes racionales. Aquí enumeraremos las propiedades de los exponentes para tenerlas como referencia a medida que simplificamos expresiones.

Propiedades de los exponentes

Si (a ) y (b ) son números reales y (m ) y (n ) son números racionales, entonces

Propiedad del producto

(a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )

Propiedad de energía

( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )

Producto a una potencia

((a b) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} )

Propiedad del cociente

( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, a neq 0 )

Definición de exponente cero

(a ^ {0} = 1, a neq 0 )

Cociente de una propiedad de potencia

( left ( frac {a} {b} right) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

Propiedad del exponente negativo

(a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}, a neq 0 )

Aplicaremos estas propiedades en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )
  2. ( left (z ^ {9} right) ^ { frac {2} {3}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

Solución

un. La propiedad del producto nos dice que cuando multiplicamos la misma base, sumamos los exponentes.

(x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )

Las bases son las mismas, así que sumamos los exponentes.

(x ^ { frac {1} {2} + frac {5} {6}} )

Suma las fracciones.

(x ^ { frac {8} {6}} )

Simplifica el exponente.

(x ^ { frac {4} {3}} )

B. La propiedad de la potencia nos dice que cuando elevamos una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

( left (z ^ {9} right) ^ { frac {2} {3}} )

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

(z ^ {9 cdot frac {2} {3}} )

Simplificar.

(z ^ {6} )

C. La propiedad del cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.

( frac {1} {x ^ { frac {5} {3} - frac {1} {3}}} )

Simplificar.

( frac {1} {x ^ { frac {4} {3}}} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Simplificar:

  1. (x ^ { frac {1} {6}} cdot x ^ { frac {4} {3}} )
  2. ( left (x ^ {6} right) ^ { frac {4} {3}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )
Respuesta
  1. (x ^ { frac {3} {2}} )
  2. (x ^ {8} )
  3. ( frac {1} {x} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Simplificar:

  1. (y ^ { frac {3} {4}} cdot y ^ { frac {5} {8}} )
  2. ( left (m ^ {9} right) ^ { frac {2} {9}} )
  3. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} )
Respuesta
  1. (y ^ { frac {11} {8}} )
  2. (m ^ {2} )
  3. ( frac {1} {d} )

A veces necesitamos usar más de una propiedad. En el siguiente ejemplo, usaremos tanto el Producto a una propiedad de potencia y luego el Propiedad de energía.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( left (27 u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )
  2. ( left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

Solución:

un.

( left (27 u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )

Primero usamos el Producto a una propiedad de potencia.

((27) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )

Reescribe (27 ) como una potencia de (3 ).

( left (3 ^ {3} right) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} { 3}} )

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

( left (3 ^ {2} right) left (u ^ { frac {1} {3}} right) )

Simplificar.

(9 u ^ { frac {1} {3}} )

B.

( left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

Primero usamos el Producto a una propiedad de potencia.

( left (m ^ { frac {2} {3}} right) ^ { frac {3} {2}} left (n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

(m n ^ { frac {3} {4}} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Simplificar:

  1. ( left (32 x ^ { frac {1} {3}} right) ^ { frac {3} {5}} )
  2. ( left (x ^ { frac {3} {4}} y ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )
Respuesta
  1. (8 x ^ { frac {1} {5}} )
  2. (x ^ { frac {1} {2}} y ^ { frac {1} {3}} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Simplificar:

  1. ( left (81 n ^ { frac {2} {5}} right) ^ { frac {3} {2}} )
  2. ( left (a ^ { frac {3} {2}} b ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {4} {3}} )
Respuesta
  1. (729 n ^ { frac {3} {5}} )
  2. (a ^ {2} b ^ { frac {2} {3}} )

Usaremos tanto el Propiedad del producto y el Propiedad del cociente en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
  2. ( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3}} y ^ { frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

Solución:

un.

( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

Usa la propiedad del producto en el numerador, suma los exponentes.

( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

Utilice la propiedad del cociente, reste los exponentes.

(x ^ { frac {8} {4}} )

Simplificar.

(x ^ {2} )

B.

( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3}} y ^ { frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

Utilice la propiedad del cociente, reste los exponentes.

( left ( frac {16 x ^ { frac {6} {3}}} {y ^ { frac {6} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

Simplificar.

( left ( frac {16 x ^ {2}} {y} right) ^ { frac {1} {2}} )

Usa la propiedad del producto a una potencia, multiplica los exponentes.

( frac {4 x} {y ^ { frac {1} {2}}} )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Simplificar:

  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} cdot m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}}} )
  2. ( left ( frac {25 m ^ { frac {1} {6}} n ^ { frac {11} {6}}} {m ^ { frac {2} {3}} n ^ { - frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )
Respuesta
  1. (m ^ {2} )
  2. ( frac {5 n} {m ^ { frac {1} {4}}} )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Simplificar:

  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} cdot u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}}} )
  2. ( left ( frac {27 x ^ { frac {4} {5}} y ^ { frac {1} {6}}} {x ^ { frac {1} {5}} y ^ { - frac {5} {6}}} right) ^ { frac {1} {3}} )
Respuesta
  1. (u ^ {3} )
  2. (3 x ^ { frac {1} {5}} y ^ { frac {1} {3}} )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con la simplificación de exponentes racionales.

  • Exponentes racionales de revisión
  • Uso de leyes de exponentes en radicales: propiedades de exponentes racionales

Conceptos clave

  • Exponente racional (a ^ { frac {1} {n}} )
    • Si ( sqrt [n] {a} ) es un número real y (n≥2 ), entonces (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).
  • Exponente racional (a ^ { frac {m} {n}} )
    • Para cualquier número entero positivo (m ) y (n ),
      (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} text {y} a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [ n] {a ^ {m}} )
  • Propiedades de los exponentes
    • Si (a, b ) son números reales y (m, n ) son números racionales, entonces
      • Propiedad del producto (a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )
      • Propiedad de energía ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )
      • Producto a una potencia ((a b) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} )
      • Propiedad del cociente ( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, a neq 0 )
      • Definición de exponente cero (a ^ {0} = 1, a neq 0 )
      • Cociente de una propiedad de potencia ( left ( frac {a} {b} right) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )
      • Propiedad del exponente negativo (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}, a neq 0 )

Simplificando polinomios

En la sección 3 del capítulo 1 hay varias definiciones muy importantes, que hemos utilizado muchas veces. Dado que estas definiciones adquieren nueva importancia en este capítulo, las repetiremos.

Cuando una expresión algebraica se compone de partes conectadas por signos + o -, estas partes, junto con sus signos, se denominan condiciones de la expresión.

a + b tiene dos términos.
2x + 5y - 3 tiene tres términos.

En a + b los términos son ay b. En 2x + 5y - 3 los términos son 2x, 5y y -3.

Cuando una expresión algebraica se compone de partes que se van a multiplicar, estas partes se denominan factores de la expresión.

Es muy importante poder distinguir entre términos y factores. Las reglas que se aplican a los términos no se aplicarán, en general, a los factores. Al nombrar términos o factores, es necesario considerar la expresión completa.

De ahora en adelante, a través de todo el álgebra, usará las palabras término y factor. Asegúrese de comprender las definiciones.

Un exponente es un número que se utiliza para indicar cuántas veces se utilizará un factor en un producto. Un exponente generalmente se escribe como un número más pequeño (en tamaño) ligeramente arriba y a la derecha del factor afectado por el exponente.

En ocasiones, un exponente se denomina "potencia". Por ejemplo, 5 3 podría denominarse "cinco elevado a la tercera potencia".

Note la diferencia entre 2x 3 y (2x) 3. Al usar paréntesis como símbolos de agrupación, vemos que

2x 3 significa 2 (x) (x) (x), mientras que (2x) 3 significa (2x) (2x) (2x) o 8x 3.

A menos que se utilicen paréntesis, el exponente solo afecta al factor que lo precede directamente.

En una expresión como 5x 4
5 es el coeficiente,
x es el base,
4 es el exponente.
5x 4 significa 5 (x) (x) (x) (x).

Tenga en cuenta que solo la base se ve afectada por el exponente.

Muchos estudiantes cometen el error de multiplicar la base por el exponente, por ejemplo, dirán 3 4 = 12 en lugar de la respuesta correcta,
3 4 = (3)(3)(3)(3) = 81.

Cuando escribimos un número literal como x, se entenderá que el coeficiente es uno y el exponente es uno. Esto puede ser muy importante en muchas operaciones.

También se entiende que un número escrito como 3 tiene un exponente de 1. Simplemente no nos molestamos en escribir un exponente de 1.


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4.3: Simplificar exponentes racionales

Compré el Tutor de álgebra personal (PAT). El sistema no funciona como yo quería o esperaba, y hay varios problemas que no resolverá, o ciertos problemas congelarán el sistema. El programa está bien, pero hay demasiadas limitaciones y varios problemas técnicos. Se necesitaron tres correos electrónicos de su soporte técnico solo para activar el programa.
Theresa Saunders, Oregón

Maravillosa herramienta para un nuevo estudiante de álgebra.
Jori Kidd, KY

Obtuve un 95% en mi examen de mitad de período universitario de Álgebra, lo que impulsó mi calificación a una A. Estaba bajando a una C y me preocupé cuando encontré su software. Le doy crédito a su programa por la mayor parte de lo que aprendí. Gracias por la rápida respuesta.
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La última versión de su software es tremenda. Además de la GUI, me gustaron especialmente los "asistentes" que facilitan mucho la introducción de problemas de tipo de geometría. Todavía no he usado las características más avanzadas (operaciones de funciones, etc.), pero esto será útil una vez que entre en Álgebra universitaria.
Monica, TX


4.3: Simplificar exponentes racionales

· Convertir radicales en expresiones con exponentes racionales.

· Convertir expresiones con exponentes racionales a su equivalente radical.

· Usar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales.

· Usar exponentes racionales para simplificar expresiones radicales.

Las raíces cuadradas se escriben con mayor frecuencia usando un signo radical, como este,. Pero hay otra forma de representar el enraizamiento. Puedes usar exponentes racionales en lugar de un radical. A exponente racional es un exponente que es una fracción. Por ejemplo, se puede escribir como.

¿No te imaginas elevar un número a un exponente racional? Puede ser difícil acostumbrarse a ellos, pero los exponentes racionales pueden ayudar a simplificar algunos problemas. Exploremos la relación entre exponentes racionales (fraccionarios) y radicales.

Reescribir expresiones radicales usando exponentes racionales

Los radicales y exponentes fraccionarios son formas alternativas de expresar lo mismo. Ya has visto cómo las raíces cuadradas se pueden expresar como un exponente elevado a la mitad.


4.3: Simplificar exponentes racionales

Realice las operaciones indicadas.
Escribe cada respuesta usando solo exponentes positivos.
Suponga que todas las variables representan números reales distintos de cero.

Realice las operaciones indicadas.
Escribe cada respuesta usando solo exponentes positivos.
Suponga que todas las variables representan números reales distintos de cero.

Realice las operaciones indicadas.
Escribe cada respuesta usando solo exponentes positivos.
Suponga que todas las variables representan números reales distintos de cero.

Evalúa la expresión & # 160 16 1 y frasl4 = (2 4) 1 & frasl4
Evalúa la expresión & # 160 16 1 y frasl4 = 2

Realice las operaciones indicadas.
Escribe cada respuesta usando solo exponentes positivos.
Suponga que todas las variables representan números reales positivos.

100 3 y frasl2 = (10 2) 3 y frasl2
100 3 y frasl2 = 10 3
100 3 y frasl2 = 1000

Realice las operaciones indicadas.
Escribe cada respuesta usando solo exponentes positivos.
Suponga que todas las variables representan números reales positivos.

Realice las operaciones indicadas.
Escribe cada respuesta usando solo exponentes positivos.
Suponga que todas las variables representan números reales positivos.

Encuentra el producto.
Suponga que todas las variables representan números reales positivos.

Factoriza, usando el factor común dado.
Suponga que todas las variables representan números reales positivos.

4t y # 1502 + 8t y # 1504 , & # 160 dado 4t y # 1504

4t y # 1502 + 8t y # 1504 = 4t & # 1504 (t 2 + 2)

Factoriza, usando el factor común dado.
Suponga que todas las variables representan números reales positivos.

(p + 4) & # 1503 & frasl2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (p + 4) 1 y frasl2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [1 + (p + 4) + (p + 4) 2]
(p + 4) & # 1503 & frasl2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (p + 4) 1 y frasl2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [1 + (p + 4) + (p 2 + 8p + 16)]
(p + 4) & # 1503 & frasl2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (p + 4) 1 y frasl2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [1 + p + 4 + p 2 + 8p + 16]
(p + 4) & # 1503 & frasl2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (p + 4) 1 y frasl2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [p 2 + 9p + 21]

Realiza todas las operaciones indicadas y escribe la respuesta con exponentes enteros positivos.

Simplifica la expresión racional.
Utilice la factorización según sea necesario.
Suponga que todas las expresiones variables representan números reales positivos.

2 (2x y # 150 3) 1 y frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x y # 150 3) 2 y frasl3
 =  (2x y # 150 3) 1 y frasl3 [2 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1501]
–––––––––––––––––––––––––––––––––
(2x y # 150 3) 1 y frasl3 (2x y # 150 3) 1 y frasl3

2 (2x y # 150 3) 1 y frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x y # 150 3) 2 y frasl3
 =  2 y # 150 (x y # 150 1) (2x y # 150 3) y # 1501
––––––––––––––––––––
(2x y # 150 3) 1 y frasl3

2 (2x y # 150 3) 1 y frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x y # 150 3) 2 y frasl3

 = 
2 –  x & # 150 1
––––––
2x & # 150 3
–––––––––––
(2x y # 150 3) 1 y frasl3

2 (2x y # 150 3) 1 y frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x y # 150 3) 2 y frasl3

Fuente de los problemas de ejercicio: & # 160 College Algebra and Trigonometry por Lial, Hornsey, Schneider, Daniels, quinta edición, sección R6, págs. 55-58


4.3: Simplificar exponentes racionales

Ahora que hemos analizado los exponentes enteros, debemos empezar a buscar exponentes más complicados. En esta sección veremos exponentes racionales. Eso es exponentes en la forma

donde tanto (m ) como (n ) son números enteros.

Comenzaremos de manera simple mirando el siguiente caso especial,

donde (n ) es un número entero. Una vez que hayamos resuelto esto, el caso más general dado anteriormente será bastante fácil de manejar.

Primero definamos qué queremos decir con exponentes de esta forma.

En otras palabras, al evaluar (>> ) realmente estamos preguntando qué número (en este caso (a )) subimos al (n ) para obtener (b ). A menudo (>> ) se llama (n ) la raíz de b.

Hagamos un par de evaluaciones.

Al hacer estas evaluaciones, en realidad no las haremos directamente. Cuando se enfrenta por primera vez a este tipo de evaluaciones, realizarlas directamente es a menudo muy difícil. Para evaluar estos, recordaremos la equivalencia dada en la definición y la usaremos en su lugar.

Trabajaremos el primero en detalle y luego no pondremos tantos detalles en el resto de problemas.

Entonces, esto es lo que estamos preguntando en este problema.

Usando la equivalencia de la definición podemos reescribir esto como,

Entonces, todo lo que realmente estamos preguntando aquí es qué número cuadramos para obtener 25. En este caso, es (con suerte) fácil de obtener. Elevamos al cuadrado 5 para obtener 25. Por lo tanto,

Entonces, lo que estamos preguntando aquí es ¿qué número elevamos a la 5ª potencia para obtener 32?

¿Qué número subimos a la 4ª potencia para obtener 81?

Debemos tener un poco de cuidado con los signos menos aquí, pero aparte de eso, funciona de la misma manera que las partes anteriores. ¿Qué número elevamos a la 3ª potencia (es decir. cubo) para obtener -8?

Esta parte no tiene respuesta. Está aquí para hacer un punto. En este caso nos preguntamos qué número elevamos a la 4ª potencia para obtener -16. Sin embargo, también sabemos que elevar cualquier número (positivo o negativo) a una potencia par será positivo. En otras palabras, no hay un número real que podamos elevar a la 4ª potencia para obtener -16.

Tenga en cuenta que esto es diferente a la parte anterior. Si elevamos un número negativo a una potencia impar obtendremos un número negativo para que podamos hacer la evaluación de la parte anterior.

Como se muestra en esta parte, no siempre podemos hacer estas evaluaciones.

Nuevamente, esta parte está aquí para hacer un punto más que nada. A diferencia de la parte anterior, esta tiene respuesta. Recuerde de la sección anterior que si no hay paréntesis, solo la parte inmediatamente a la izquierda del exponente obtiene el exponente. Entonces, esta parte realmente nos pide que evaluemos el siguiente término.

Entonces, necesitamos determinar qué número elevado a la 4ª potencia nos dará 16. Esto es 2 y en este caso la respuesta es,

Como se ha demostrado una vez más en las dos últimas partes del ejemplo anterior, realmente debemos tener cuidado con los paréntesis. En este caso, el paréntesis marca la diferencia entre poder obtener una respuesta o no.

Además, no se preocupe si no conocía algunos de estos poderes en la parte superior de su cabeza. Por lo general, son bastante simples de determinar si no los conoce de inmediato. Por ejemplo, en la parte b necesitábamos determinar qué número elevado a 5 daría 32. Si no puede ver el poder en la parte superior de su cabeza, simplemente comience a tomar poderes hasta que encuentre el correcto. En otras palabras, calcula (<2 ^ 5> ), (<3 ^ 5> ), (<4 ^ 5> ) hasta que alcances el valor correcto. Por supuesto, en este caso no necesitaríamos pasar del primer cálculo.

Lo siguiente que debemos reconocer es que todas las propiedades de los exponentes que dimos en la sección anterior siguen siendo válidas para todos los exponentes racionales. Esto incluye el exponente racional más general que aún no hemos analizado.

Ahora que sabemos que las propiedades siguen siendo válidas, podemos ver cómo tratar con el exponente racional más general. De hecho, hay dos formas diferentes de abordarlos, como veremos. Ambos métodos implican el uso de la propiedad 2 de la sección anterior. Para fines de referencia, esta propiedad es,

Entonces, veamos cómo tratar con un exponente racional general. Primero reescribiremos el exponente de la siguiente manera.

En otras palabras, podemos pensar en el exponente como un producto de dos números. Ahora usaremos la propiedad del exponente que se muestra arriba. Sin embargo, lo usaremos en la dirección opuesta a lo que hicimos en la sección anterior. Además, hay dos formas de hacerlo. Aquí están,

Usando cualquiera de estas formas, ahora podemos evaluar algunas expresiones más complicadas

Podemos usar cualquiera de las formas para hacer las evaluaciones. Sin embargo, suele ser más conveniente utilizar el primer formulario como veremos.

Usemos ambas formas aquí, ya que ninguna es una lástima en este caso. Echemos un vistazo al primer formulario.

Ahora, echemos un vistazo a la segunda forma.

Entonces, obtenemos la misma respuesta independientemente de la forma. Sin embargo, tenga en cuenta que cuando usamos la segunda forma terminamos tomando la tercera raíz de un número mucho mayor que puede causar problemas en ocasiones.

Nuevamente, usemos ambos formularios para calcular este.

Como se ha demostrado en esta parte, la segunda forma puede ser bastante difícil de usar en los cálculos. En este caso, la raíz no era una raíz obvia y no era particularmente fácil de obtener si no lo sabías de inmediato.

En este caso, solo usaremos el primer formulario. Sin embargo, antes de hacer eso, primero tendremos que usar la propiedad 5 de nuestras propiedades de exponente para obtener el exponente en el numerador y denominador.

También podemos hacer algunos de los problemas de tipo simplificación con exponentes racionales que vimos en la sección anterior.

Para este problema, primero colocaremos el exponente entre paréntesis y luego eliminaremos el exponente negativo como hicimos en la sección anterior. Luego, trasladaremos el término al denominador y eliminaremos el signo menos.

En este caso, primero simplificaremos la expresión entre paréntesis.

No se preocupe si, después de la simplificación, ya no tenemos una fracción. Eso sucederá en alguna ocasión. Ahora eliminaremos el negativo en el exponente usando la propiedad 7 y luego usaremos la propiedad 4 para terminar el problema.

Dejaremos esta sección con una advertencia sobre un error común que cometen los estudiantes con respecto a exponentes negativos y exponentes racionales. Tenga cuidado de no confundir los dos, ya que son temas totalmente separados.


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