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5.2.1: Resolución de problemas de porcentaje - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Identifica la cantidad, la base y el porcentaje en un problema de porcentaje.
  • Encuentra lo desconocido en un problema de porcentaje.

Los porcentajes son una proporción de un número y 100, por lo que son más fáciles de comparar que las fracciones, ya que siempre tienen el mismo denominador, 100. Una tienda puede tener un 10% de descuento en la venta. La cantidad ahorrada es siempre la misma porción o fracción del precio, pero un precio más alto significa que se retira más dinero. Las tasas de interés de una cuenta de ahorro funcionan de la misma manera. Cuanto más dinero ponga en su cuenta, más dinero obtendrá en intereses. Es útil comprender cómo se calculan estos porcentajes.

Jeff tiene un cupón en la tienda de guitarras con un 15% de descuento en cualquier compra de $ 100 o más. Quiere comprar una guitarra usada que tiene un precio de 220 dólares. Jeff se pregunta cuánto dinero le quitará el cupón al precio original de $ 220.

Los problemas que involucran porcentajes tienen tres cantidades con las que trabajar: el por ciento, la Monto, y el base.

El porcentaje tiene el símbolo de porcentaje (%) o la palabra "porcentaje". En el problema anterior, el 15% es el porcentaje de descuento sobre el precio de compra.

La base es la cantidad total. En el problema anterior, el precio total de la guitarra es de $ 220, que es la base.

La cantidad es el número que se relaciona con el porcentaje. Siempre es parte del todo. En el problema anterior, se desconoce la cantidad. Dado que el porcentaje es el porcentaje apagado, la cantidad será la Monto apagado del precio.

Volverá a este problema un poco más tarde. Los siguientes ejemplos muestran cómo identificar las tres partes: el porcentaje, la base y la cantidad.

Ejemplo

Identifique el porcentaje, la cantidad y la base de este problema.

¿30 es el 20% de qué número?

Solución

Por ciento: El porcentaje es el número con el símbolo%: 20%.

Base: La base es la cantidad total, que en este caso se desconoce.

Monto: La cantidad basada en el porcentaje es 30.

Respuesta:

Porcentaje = 20%

Cantidad = 30

Base = desconocido

El problema anterior dice que 30 es parte de otro número. Eso significa que 30 es la cantidad. Tenga en cuenta que este problema podría reescribirse: ¿20% de qué número es 30?

Ejercicio

Identifique el porcentaje, la base y la cantidad en este problema:

¿Qué porcentaje de 30 es 3?

Respuesta

El porcentaje es desconocido, porque el problema dice "Qué porcentaje? "La base es el total en la situación, por lo que la base es 30. La cantidad es la parte del total, que es 3 en este caso.

Los problemas de porcentaje se pueden resolver escribiendo ecuaciones. Una ecuación usa un signo igual (=) para mostrar que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor.

Los porcentajes son fracciones y, al igual que las fracciones, al encontrar un porcentaje (o fracción o porción) de otra cantidad, se multiplica.

El porcentaje de la base es la cantidad.

Por ciento de El Base es el Monto.

( text {Porcentaje} { color {rojo} cdot} text {Base} { color {azul} =} text {Cantidad} )

En los ejemplos siguientes, lo desconocido está representado por la letra ( n ). Lo desconocido puede estar representado por cualquier letra o un cuadro ( cuadrado ) o incluso un signo de interrogación.

Ejemplo

Escribe una ecuación que represente el siguiente problema.

¿30 es el 20% de qué número?

Solución

¿20% de qué número es 30?Vuelva a escribir el problema en la forma "el porcentaje de la base es la cantidad".

El porcentaje es: 20%

La base es: desconocida

La cantidad es: 30

Identifica el porcentaje, la base y la cantidad.

( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} )

( 20 \% cdot n = 30 )

Escribe la ecuación porcentual. usando ( n ) para la base, que es el valor desconocido.

( 20 \% cdot n = 30 )

Una vez que tenga una ecuación, puede resolverla y encontrar el valor desconocido. Para hacer esto, piense en la relación entre multiplicación y división. Observa los pares de operaciones de multiplicación y división a continuación y busca un patrón en cada fila.

MultiplicaciónDivisión
( 2 cdot 3 = 6 ) ( 6 div 2 = 3 )
( 8 cdot 5 = 40 ) ( 40 div 8 = 5 )
( 7 cdot 4 = 28 ) ( 28 div 7 = 4 )
( 6 cdot 9 = 54 ) ( 54 div 6 = 9 )

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Lo que uno le hace a un número, el otro lo “deshace”.

Cuando tienes una ecuación como ( 20 \% cdot n = 30 ), puedes dividir 30 entre 20% para encontrar la incógnita: ( n = 30 div 20 \% ).

Puede resolver esto escribiendo el porcentaje como decimal o fracción y luego dividiendo.

( n = 30 div 20 \% = 30 div 0.20 = 150 )

Ejemplo

¿Qué porcentaje de 72 es 9?

Solución

Porcentaje: desconocido

Base: 72

Cantidad: 9

Identifica el porcentaje, la base y la cantidad.
( n cdot 72 = 9 )Escribe la ecuación de porcentaje: ( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} ). Utilice ( n ) para el (porcentaje) desconocido.
( n = 9 div 72 )Dividir para deshacer la multiplicación de ( n ) por 72.
( begin {matriz} {r}
0.125 \
72 longdiv {9.000}
end {matriz} )
Divida 9 entre 72 para encontrar el valor de ( n ), la incógnita.

( n = 0,125 )

( n = 12,5 \% )

Mueva el punto decimal dos lugares a la derecha para escribir el decimal como porcentaje.

( 12.5 \% text {de} 72 text {es} 9 ).

Puede estimar para ver si la respuesta es razonable. Utilice el 10% y el 20%, números cercanos al 12,5%, para ver si le acercan a la respuesta.

( 10 \% text {de} 72 = 0.1 cdot 72 = 7.2 )

( 20 \% text {de} 72 = 0,2 cdot 72 = 14,4 )

Observe que 9 está entre 7.2 y 14.4, por lo que 12.5% ​​es razonable ya que está entre 10% y 20%.

Ejemplo

¿Cuál es el 110% de 24?

Solución

Porcentaje: 110%

Base: 24

Cantidad: desconocida

Identifica el porcentaje, la base y la cantidad.
( 110 \% cdot 24 = n )

Escribe la ecuación porcentual.

( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} ).

La cantidad es desconocida, así que use ( n ).

( 1.10 cdot 24 = n )Escribe el porcentaje como decimal moviendo el punto decimal dos lugares a la izquierda.
( 1.10 cdot 24 = 26.4 = n )Multiplica 24 por 1,10 o 1,1.

( 26.4 text {es} 110 \% text {de} 24 ).

Este problema es un poco más fácil de estimar. El 100% de 24 es 24. Y el 110% es un poco más de 24. Entonces, 26.4 es una respuesta razonable.

Ejercicio

¿18 es qué porcentaje de 48?

  1. ( 0.375 \%)
  2. ( 8.64 \%)
  3. ( 37.5 \%)
  4. ( 864 \%)
Respuesta
  1. ( 0.375 \%)

    Incorrecto. Es posible que haya calculado correctamente, pero olvidó mover el punto decimal cuando reescribió su respuesta como un porcentaje. La ecuación para este problema es ( n cdot 48 = 18 ). La división correspondiente es ( 18 div 48 ), entonces ( n = 0.375 ). Reescribir este decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, ( 37.5 \% ).

  2. ( 8.64 \%)

    Incorrecto. Es posible que haya utilizado ( 18 ) o ( 48 ) como porcentaje, en lugar de la cantidad o la base. La ecuación para este problema es ( n cdot 48 = 18 ). La división correspondiente es ( 18 div 48 ), entonces ( n = 0.375 ). Reescribir este decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, ( 37.5 \% ).

  3. ( 37.5 \%)

    Correcto. La ecuación para este problema es ( n cdot 48 = 18 ). La división correspondiente es ( 18 div 48 ), entonces ( n = 0.375 ). Al reescribir este decimal como un porcentaje, se obtiene ( 37.5 \% ).

  4. ( 864 \%)

    Incorrecto. Probablemente usó 18 o 48 como porcentaje, en lugar de la cantidad o la base, y también olvidó reescribir el porcentaje como decimal antes de multiplicar. La ecuación para este problema es ( n cdot 48 = 18 ). La división correspondiente es ( 18 div 48 ), entonces ( n = 0.375 ). Reescribir este decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, ( 37.5 \% ).

Los problemas de porcentaje también se pueden resolver escribiendo un proporción. Una proporción es una ecuación que establece dos razones o fracciones iguales entre sí. Con problemas de porcentaje, una de las razones es el porcentaje, escrito como ( frac {n} {100} ). La otra proporción es la cantidad a la base.

( text {Porcentaje} = frac { text {cantidad}} { text {base}} )

Ejemplo

Escribe una proporción para encontrar la respuesta a la siguiente pregunta.

¿30 es el 20% de qué número?

Solución

( frac {20} {100} = frac { text {cantidad}} { text {base}} )El porcentaje de este problema es del 20%. Escribe este porcentaje en forma fraccionaria, con 100 como denominador.
( frac {20} {100} = frac {30} {n} )El porcentaje se escribe como la razón ( frac {20} {100} ), la cantidad es 30 y la base es desconocida.
( begin {matriz} {r}
20 cdot n = 30 cdot 100
20 cdot n = 3000
n = 3000 div 20
n = 150
end {matriz} )
Multiplica de forma cruzada y resuelve la incógnita, ( n ), dividiendo 3000 entre 20.

30 es el 20% de 150.

Ejemplo

¿Qué porcentaje de 72 es 9?

Solución

( begin {matriz} {r}
text {Porcentaje} = frac { text {cantidad}} { text {base}}
frac {n} {100} = frac {9} {72}
end {matriz} )
El porcentaje es la razón de ( n ) a 100. La cantidad es 9 y la base es 72.
( begin {matriz} {r}
n cdot 72 = 9 cdot 100
n cdot 72 = 900
n = 900 div 72
n = 12,5
end {matriz} )
Multiplica de forma cruzada y resuelve ( n ) dividiendo 900 entre 72.
( 12.5 \% text {de} 72 text {es} 9 )El porcentaje es ( frac {12.5} {100} = 12.5 \% ).

Ejemplo

¿Cuál es el 110% de 24?

Solución

( begin {matriz} {l}
text {Porcentaje} = frac { text {cantidad}} { text {base}}
frac {110} {100} = frac {n} {24}
end {matriz} )
El porcentaje es la razón ( frac {110} {100} ). Se desconoce la cantidad y la base es 24.
( begin {matriz} {r}
24 cdot 110 = 100 cdot n
2,640 div 100 = n
26,4 = n
end {matriz} )
Multiplica de forma cruzada y resuelve ( n ) dividiendo 2640 entre 100.
( 26.4 text {es} 110 \% text {de} 24 )

Ejercicio

¿18 es el 125% de qué número?

  1. ( 0.144)
  2. ( 14.4)
  3. ( 22.5)
  4. ( 694 frac {4} {9} ) (o aproximadamente ( 694.4 ))
Respuesta
  1. ( 0.144)

    Incorrecto. Probablemente no escribiste una proporción y solo dividiste 18 entre 125. O configuraste incorrectamente una fracción como ( frac {18} {125} ) y estableciste esto igual a la base, ( n ). El porcentaje en este caso es 125%, por lo que una fracción en la proporción debe ser ( frac {125} {100} ). La base es desconocida y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción es ( frac {18} {n} ). Resolver la proporción ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) da ( n = 14,4 ).

  2. ( 14.4)

    Correcto. El porcentaje en este caso es 125%, por lo que una fracción en la proporción debe ser ( frac {125} {100} ). La base es desconocida y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción es ( frac {18} {n} ). Resolver la proporción ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) da ( n = 14,4 ).

  3. ( 22.5)

    Incorrecto. Probablemente ponga la cantidad (18) sobre 100 en la proporción, en lugar del porcentaje (125). Quizás pensó que 18 era el porcentaje y 125 era la base. La fracción porcentual correcta para la proporción es ( frac {125} {100} ). La base es desconocida y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción es ( frac {18} {n} ). Resolver la proporción ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) da ( n = 14,4 ).

  4. ( 694 frac {4} {9} ) (o aproximadamente ( 694.4 ))

    Incorrecto. Probablemente confundió la cantidad (18) con el porcentaje (125) cuando estableció la proporción. La fracción porcentual correcta para la proporción es ( frac {125} {100} ). La base es desconocida y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción es ( frac {18} {n} ). Resolver la proporción ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) da ( n = 14,4 ).

Volvamos al problema que se planteó al principio. Ahora puede resolver este problema como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Jeff tiene un cupón en la tienda de guitarras con un 15% de descuento en cualquier compra de $ 100 o más. Jeff se pregunta cuánto dinero le quitará el cupón al precio original de $ 220.

Solución

¿Cuánto es el 15% de $ 220?Simplifique los problemas eliminando palabras adicionales.

Porcentaje: 15%

Base: 220

Cantidad: ( n )

Identifica el porcentaje, la base y la cantidad.
( 15 \% cdot 220 = n )

Escribe la ecuación porcentual.

( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} )

( 0.15 cdot 220 = 33 )Convierta el 15% en 0,15, luego multiplique por 220. El 15% de $ 220 es $ 33.

El cupón descontará $ 33 del precio original.

Puede estimar para ver si la respuesta es razonable. Dado que el 15% está a la mitad entre el 10% y el 20%, encuentre estos números.

( begin {matriz} {l}
10 \% text {de} 220 = 0.1 cdot 220 = 22
20 \% text {de} 220 = 0,2 cdot 220 = 44
end {matriz} )

La respuesta, 33, está entre 22 y 44. Entonces, $ 33 parece razonable.

Hay muchas otras situaciones que involucran porcentajes. Abajo hay solo algunos.

Ejemplo

Evelyn compró algunos libros en la librería local. Su factura total fue de $ 31.50, que incluía un 5% de impuestos. ¿Cuánto cuestan los libros antes de impuestos?

Solución

¿Qué número + 5% de ese número es $ 31,50?En este problema, sabes que el impuesto del 5% se suma al costo de los libros. Entonces, si el costo de los libros es del 100%, el costo más impuestos es del 105%.

105% de qué número = 31,50?

Porcentaje: 105%

Base: ( n )

Cantidad: 31.50

Identifica el porcentaje, la base y la cantidad.
( 105 \% cdot n = 31,50 )

Escribe la ecuación porcentual.

( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} ).

( 1.05 cdot n = 31.50 )Convierte 105% a decimal.
( n = 31.50 div 1.05 = 30 )Dividir para deshacer la multiplicación de ( n ) por 1.05.

Los libros cuestan $ 30 antes de impuestos.

Ejemplo

Susana trabajó 20 horas en su trabajo la semana pasada. Esta semana, trabajó 35 horas. En términos de porcentaje, ¿cuánto más trabajó esta semana que la semana pasada?

Solución

35 es qué porcentaje de 20?Simplifique el problema eliminando palabras adicionales.

Porcentaje: ( n )

Base: 20

Cantidad: 35

Identifica el porcentaje, la base y la cantidad.
( n cdot 20 = 35 )

Escribe la ecuación porcentual.

( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} ).

( n = 35 div 20 )Dividir para deshacer la multiplicación de ( n ) por 20.
( n = 1,75 = 175 \% )Convierte 1,75 a porcentaje.

Dado que 35 es el 175% de 20, Susana trabajó un 75% más esta semana que la semana pasada. (Puede pensar en esto como, "Susana trabajó el 100% de las horas que trabajó la semana pasada, así como un 75% más").

Los problemas de porcentaje tienen tres partes: el porcentaje, la base (o el todo) y la cantidad. Cualquiera de esas partes puede ser el valor desconocido que se encontrará. Para resolver problemas de porcentajes, puede usar la ecuación ( text {Porcentaje} cdot text {Base} = text {Cantidad} ) y resolver los números desconocidos. O puede configurar la proporción, ( text {Porcentaje} = frac { text {cantidad}} { text {base}} ), donde el porcentaje es una proporción de un número a 100. Usted Luego puede usar la multiplicación cruzada para resolver la proporción.


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