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Campos vectoriales


Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer un campo vectorial en un plano o en el espacio.
  • Dibuja un campo vectorial a partir de una ecuación dada.
  • Identifique un campo conservador y su función potencial asociada.

Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan el comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para hacer frente a comportamientos a gran escala, como tormentas atmosféricas o corrientes oceánicas de aguas profundas. En esta sección, examinamos las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo.

Ejemplos de campos vectoriales

¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitacional ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La figura ( PageIndex {1} ) proporciona representaciones visuales de tales fenómenos.

La figura ( PageIndex {1a} ) muestra un campo gravitacional ejercido por dos objetos astronómicos, como una estrella y un planeta o un planeta y una luna. En cualquier punto de la figura, el vector asociado con un punto da la fuerza gravitacional neta ejercida por los dos objetos sobre un objeto de unidad de masa. Los vectores de mayor magnitud en la figura son los vectores más cercanos al objeto más grande. El objeto más grande tiene mayor masa, por lo que ejerce una fuerza gravitacional de mayor magnitud que el objeto más pequeño.

La figura ( PageIndex {1b} ) muestra la velocidad de un río en puntos de su superficie. El vector asociado con un punto dado en la superficie del río da la velocidad del agua en ese punto. Dado que los vectores a la izquierda de la figura son de magnitud pequeña, el agua fluye lentamente en esa parte de la superficie. A medida que el agua se mueve de izquierda a derecha, encuentra algunos rápidos alrededor de una roca. La velocidad del agua aumenta y se produce un remolino en parte de los rápidos.

Cada figura ilustra un ejemplo de un campo vectorial. Intuitivamente, un campo vectorial es un mapa de vectores. En esta sección, estudiamos campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ) y (ℝ ^ 3 ).

DEFINICIÓN: campo vectorial

  • Un campo vectorial ( vecs {F} ) en (ℝ ^ 2 ) es una asignación de un vector bidimensional ( vecs {F} (x, y) ) a cada punto ((x , y) ) de un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 2 ). El subconjunto (D ) es el dominio del campo vectorial.
  • Un campo vectorial ( vecs {F} ) en (ℝ ^ 3 ) es una asignación de un vector tridimensional ( vecs {F} (x, y, z) ) a cada punto ( (x, y, z) ) de un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 3 ). El subconjunto (D ) es el dominio del campo vectorial.

Campos vectoriales en (ℝ ^ 2 )

Un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ) se puede representar de dos formas equivalentes. La primera forma es usar un vector con componentes que son funciones de dos variables:

[ vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ ]

La segunda forma es usar los vectores unitarios estándar:

[ vecs {F} (x, y) = P (x, y) , hat { mathbf i} + Q (x, y) , hat { mathbf j}. ]

Se dice que un campo vectorial es continuo si sus funciones componentes son continuas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar un vector asociado con un punto dado

Sea ( vecs {F} (x, y) = (2y ^ 2 + x − 4) , hat { mathbf i} + cos (x) , hat { mathbf j} ) un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ). Tenga en cuenta que este es un ejemplo de un campo vectorial continuo, ya que ambas funciones componentes son continuas. ¿Qué vector está asociado con el punto ((0, −1) )?

Solución

Sustituye los valores en puntos por (x ) y (y ):

[ begin {align *} vecs {F} (0, -1) & = (2 {(- 1)} ^ 2 + 0−4) , hat { mathbf i} + cos (0 ) , hat { mathbf j} [4pt] & = - 2 , hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea ( vecs {G} (x, y) = x ^ 2y , hat { mathbf i} - (x + y) , hat { mathbf j} ) ser un campo vectorial en ( ℝ ^ 2 ). ¿Qué vector está asociado con el punto ((- 2,3) )?

Pista

Sustituye los valores de los puntos en la función vectorial.

Respuesta

( vecs {G} (- 2,3) = 12 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

Dibujar un campo vectorial

Ahora podemos representar un campo vectorial en términos de sus componentes de funciones o vectores unitarios, pero representarlo visualmente dibujándolo es más complejo porque el dominio de un campo vectorial está en (ℝ ^ 2 ), al igual que el rango. Por lo tanto, la “gráfica” de un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ) vive en un espacio de cuatro dimensiones. Como no podemos representar visualmente el espacio de cuatro dimensiones, en su lugar dibujamos campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ) en un plano. Para hacer esto, dibuje el vector asociado con un punto dado en el punto de un plano. Por ejemplo, suponga que el vector asociado con el punto ((4, −1) ) es (⟨3,1⟩ ). Entonces, dibujaríamos el vector (⟨3,1⟩ ) en el punto ((4, −1) ).

Deberíamos trazar suficientes vectores para ver la forma general, pero no tantos como para que el boceto se convierta en un desorden. Si tuviéramos que trazar el vector de imagen en cada punto de la región, llenaría la región completamente y sería inútil. En su lugar, podemos elegir puntos en las intersecciones de las líneas de la cuadrícula y trazar una muestra de varios vectores de cada cuadrante de un sistema de coordenadas rectangular en (ℝ ^ 2 ).

Hay dos tipos de campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ) en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice. En un campo radial, todos los vectores apuntan directamente hacia o directamente lejos del origen. Además, la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia al origen. En un campo radial, el vector ubicado en el punto ((x, y) ) es perpendicular al círculo centrado en el origen que contiene el punto ((x, y) ), y todos los demás vectores en este círculo tienen la misma magnitud.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Dibujar un campo vectorial radial

Dibuja el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = dfrac {x} {2} hat { mathbf i} + dfrac {y} {2} hat { mathbf j} ) .

Solución

Para dibujar este campo vectorial, elija una muestra de puntos de cada cuadrante y calcule el vector correspondiente. La siguiente tabla da una muestra representativa de puntos en un plano y los vectores correspondientes.

Tabla ( PageIndex {1} )
((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) )
((1,0)) (⟨ Dfrac {1} {2}, 0⟩ )((2,0))(⟨1,0⟩)((1,1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1)) (⟨0, dfrac {1} {2}⟩ )((0,2))(⟨0,1⟩)((−1,1)) (⟨− dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0)) (⟨− dfrac {1} {2}, 0⟩ )((−2,0))(⟨−1,0⟩)((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1)) (⟨0, - dfrac {1} {2}⟩ )((0,−2))(⟨0,−1⟩)((1,−1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )

La figura ( PageIndex {2a} ) muestra el campo vectorial. Para ver que cada vector es perpendicular al círculo correspondiente, la Figura ( PageIndex {2b} ) muestra círculos superpuestos en el campo vectorial.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dibuja el campo radial ( vecs {F} (x, y) = - dfrac {x} {3} hat { mathbf i} - dfrac {y} {3} hat { mathbf j} ).

Pista

Dibuja suficientes vectores para tener una idea de la forma.

Respuesta

En contraste con los campos radiales, en un campo rotacional, el vector en el punto ((x, y) ) es tangente (no perpendicular) a un círculo con radio (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). En un campo rotacional estándar, todos los vectores apuntan en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, y la magnitud de un vector depende solo de su distancia desde el origen. Los dos ejemplos siguientes son campos de rotación en el sentido de las agujas del reloj y, por sus representaciones visuales, vemos que los vectores parecen girar alrededor del origen.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Dibujar un campo vectorial rotacional

Dibuja el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨y, , - x⟩ ).

Solución

Cree una tabla (vea la que sigue) usando una muestra representativa de puntos en un plano y sus vectores correspondientes. La figura ( PageIndex {3} ) muestra el campo vectorial resultante.

Tabla ( PageIndex {2} )
((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0))(⟨0,−2⟩)((1,1))(⟨1,−1⟩)
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2))(⟨2,0⟩)((−1,1))(⟨1,1⟩)
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0))(⟨0,2⟩)((−1,−1))(⟨−1,1⟩)
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2))(⟨−2,0⟩)((1,−1))(⟨−1,−1⟩)

Análisis

Tenga en cuenta que el vector ( vecs {F} (a, b) = ⟨b, −a⟩ ) apunta en el sentido de las agujas del reloj y es perpendicular al vector radial (⟨a, b⟩ ). (Podemos verificar esta afirmación calculando el producto escalar de los dos vectores: (⟨a, b⟩ · ⟨− b, a⟩ = −ab + ab = 0 ).) Además, el vector (⟨b, - a⟩ ) tiene la longitud (r = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Por lo tanto, tenemos una descripción completa de este campo vectorial rotacional: el vector asociado con el punto ((a, b) ) es el vector con longitud r tangente al círculo con radio ry apunta en el sentido de las agujas del reloj.

Los bocetos como el de la Figura ( PageIndex {3} ) se utilizan a menudo para analizar los principales sistemas de tormentas, incluidos los huracanes y ciclones. En el hemisferio norte, las tormentas giran en sentido antihorario; en el hemisferio sur, las tormentas giran en el sentido de las agujas del reloj. (Este es un efecto causado por la rotación de la Tierra sobre su eje y se llama Efecto Coriolis).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Dibujar un campo vectorial

Campo de vector de bosquejo ( vecs {F} (x, y) = dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i}, - dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ).

Solución

Para visualizar este campo vectorial, primero observe que el producto escalar ( vecs {F} (a, b) · (a , hat { mathbf i} + b , hat { mathbf j}) ) es cero para cualquier punto ((a, b) ). Por lo tanto, cada vector es tangente al círculo en el que se encuentra. Además, como ((a, b) rightarrow (0,0) ), la magnitud de ( vecs {F} (a, b) ) llega al infinito. Para ver esto, tenga en cuenta que

(|| vecs {F} (a, b) || = sqrt { dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {{(a ^ 2 + b ^ 2)} ^ 2}} = sqrt { dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2}} ).

Dado que ( dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2} rightarrow infty ) como ((a, b) rightarrow (0,0) ), entonces (|| vecs F ( a, b) || rightarrow infty ) como ((a, b) rightarrow (0,0) ). Este campo vectorial se parece al campo vectorial del Ejemplo ( PageIndex {3} ), pero en este caso las magnitudes de los vectores cercanos al origen son grandes. La tabla ( PageIndex {3} ) muestra una muestra de puntos y los vectores correspondientes, y la figura ( PageIndex {5} ) muestra el campo vectorial. Tenga en cuenta que este campo vectorial modela el movimiento del remolino del río en la Figura ( PageIndex {5} ) (b). El dominio de este campo vectorial es todo (ℝ ^ 2 ) excepto el punto ((0,0) ).

Tabla ( PageIndex {3} )
((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0)) (⟨0, - dfrac {1} {2}⟩ )((1,1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2)) (⟨ Dfrac {1} {2}, 0⟩ )((−1,1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0)) (⟨0, dfrac {1} {2}⟩ )((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2)) (⟨− dfrac {1} {2}, 0⟩ )((1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dibuje el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨− 2y, , 2x⟩ ). ¿El campo vectorial es radial, rotacional o ninguno de los dos?

Pista

Sustituye suficientes puntos en ( vecs {F} ) para tener una idea de la forma.

Respuesta

Rotacional

Ejemplo ( PageIndex {5} ): campo de velocidad de un fluido

Suponga que ( vecs {v} (x, y) = - dfrac {2y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i} + dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ) es el campo de velocidad de un fluido. ¿Qué tan rápido se mueve el fluido en el punto ((1, −1) )? (Suponga que las unidades de velocidad son metros por segundo).

Solución

Para encontrar la velocidad del fluido en el punto ((1, −1) ), sustituya el punto por ( vecs {v} ):

( vecs {v} (1, −1) = dfrac {−2 (−1)} {1 + 1} hat { mathbf i} + dfrac {2 (1)} {1 + 1} hat { mathbf j} = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} ).

La rapidez del fluido en ((1, −1) ) es la magnitud de este vector. Por lo tanto, la velocidad es (|| hat { mathbf i} + hat { mathbf j} || = sqrt {2} ) m / seg.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

El campo vectorial ( vecs {v} (x, y) = ⟨4 | x |, , 1⟩ ) modela la velocidad del agua en la superficie de un río. ¿Cuál es la rapidez del agua en el punto ((2,3) )? Utilice metros por segundo como unidades.

Pista

Recuerde, la rapidez es la magnitud de la velocidad.

Respuesta

( sqrt {65} ) m / seg

Hemos examinado campos vectoriales que contienen vectores de varias magnitudes, pero así como tenemos vectores unitarios, también podemos tener un campo vectorial unitario. Un campo vectorial ( vecs {F} ) es un campo de vector unitario si la magnitud de cada vector en el campo es 1. En un campo de vector unitario, la única información relevante es la dirección de cada vector.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Un campo de vector unitario

Muestre ese campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = left langle dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, - dfrac {x} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} right rangle ) es un campo de vector unitario.

Solución

Para mostrar que ( vecs {F} ) es un campo unitario, debemos mostrar que la magnitud de cada vector es (1 ). Tenga en cuenta que

[ begin {align *} sqrt { left ( dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2 + left (- dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2} & = sqrt { dfrac {y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} + dfrac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = sqrt { dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = 1 end {align *} ]

Por lo tanto, ( vecs {F} ) es un campo de vector unitario.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

¿Es el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨− y, , x⟩ ) un campo vectorial unitario?

Pista

Calcula la magnitud de ( vecs {F} ) en un punto arbitrario ((x, y) ).

Respuesta

No.

¿Por qué son importantes los campos de vectores unitarios? Supongamos que estamos estudiando el flujo de un fluido y solo nos importa la dirección en la que fluye el fluido en un punto dado. En este caso, la velocidad del fluido (que es la magnitud del vector de velocidad correspondiente) es irrelevante, porque todo lo que nos importa es la dirección de cada vector. Por lo tanto, el campo del vector unitario asociado con la velocidad es el campo que estudiaríamos.

Si ( vecs {F} = ⟨P, Q, R⟩ ) es un campo vectorial, entonces el campo de vector unitario correspondiente es ( big langle tfrac {P} {|| vecs F ||} , tfrac {Q} {|| vecs F ||}, tfrac {R} {|| vecs F ||} big rangle ). Observe que si ( vecs {F} (x, y) = ⟨y, , - x⟩ ) es el campo vectorial del Ejemplo ( PageIndex {6} ), entonces la magnitud de ( vecs {F} ) es ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), y por lo tanto el campo de vector unitario correspondiente es el campo ( vecs {G} ) del ejemplo anterior.

Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial, entonces el proceso de dividir ( vecs {F} ) por su magnitud para formar un campo vectorial unitario ( vecs {F} / || vecs { F} || ) se llama normalizar el campo ( vecs {F} ).

Campos vectoriales en (ℝ ^ 3 )

Hemos visto varios ejemplos de campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ); ahora dirijamos nuestra atención a los campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ). Estos campos vectoriales se pueden usar para modelar campos gravitacionales o electromagnéticos, y también se pueden usar para modelar el flujo de fluidos o el flujo de calor en tres dimensiones. Un campo vectorial bidimensional en realidad solo puede modelar el movimiento del agua en una sección bidimensional de un río (como la superficie del río). Dado que un río fluye a través de tres dimensiones espaciales, para modelar el flujo de toda la profundidad del río, necesitamos un campo vectorial en tres dimensiones.

La dimensión adicional de un campo tridimensional puede hacer que los campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ) sean más difíciles de visualizar, pero la idea es la misma. Para visualizar un campo vectorial en (ℝ ^ 3 ), trace suficientes vectores para mostrar la forma general. Podemos usar un método similar para visualizar un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ) eligiendo puntos en cada octante.

Al igual que con los campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ), podemos representar campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ) con funciones componentes. Simplemente necesitamos una función de componente adicional para la dimensión adicional. Escribimos ya sea

[ vecs {F} (x, y, z) = ⟨P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)⟩ ]

o

[ vecs {F} (x, y, z) = P (x, y, z) hat { mathbf i} + Q (x, y, z) hat { mathbf j} + R (x , y, z) hat { mathbf k}. ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Dibujar un campo vectorial en tres dimensiones

Describe el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨1, , 1, , z⟩ ).

Solución

Para este campo vectorial, los componentes (x ) - y (y ) - son constantes, por lo que cada punto en (ℝ ^ 3 ) tiene un vector asociado con (x ) - y (y ) -componentes iguales a uno. Para visualizar ( vecs {F} ), primero consideramos cómo se ve el campo en el plano (xy ). En el plano (xy ) -, (z = 0 ). Por tanto, cada punto de la forma ((a, b, 0) ) tiene un vector (⟨1,1,0⟩ ) asociado. Para los puntos que no están en el plano (xy ) sino ligeramente por encima de él, el vector asociado tiene un componente (z ) - pequeño pero positivo, y por lo tanto el vector asociado apunta ligeramente hacia arriba. Para los puntos que están muy por encima del plano (xy ) -, el componente (z ) - es grande, por lo que el vector es casi vertical. La figura ( PageIndex {6} ) muestra este campo vectorial.

Figura ( PageIndex {6} ): Una representación visual del campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨1,1, z⟩ ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dibuje el campo vectorial ( vecs {G} (x, y, z) = ⟨2, , dfrac {z} {2}, , 1⟩ ).

Pista

Sustituya suficientes puntos en el campo vectorial para tener una idea de la forma general.

Respuesta

En el siguiente ejemplo, exploramos uno de los casos clásicos de un campo vectorial tridimensional: un campo gravitacional.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): descripción de un campo vectorial gravitacional

La ley de gravitación de Newton establece que ( vecs {F} = - G dfrac {m_1m_2} {r ^ 2} hat { mathbf r} ), donde GRAMO es la constante gravitacional universal. Describe el campo gravitacional ejercido por un objeto (objeto 1) de masa (m_1 ) ubicado en el origen sobre otro objeto (objeto 2) de masa (m_2 ) ubicado en el punto ((x, y, z) ). El campo ( vecs {F} ) denota la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2, (r ) es la distancia entre los dos objetos y ( hat { mathbf r} ) indica la unidad vector del primer objeto al segundo. El signo menos muestra que la fuerza gravitacional atrae hacia el origen; es decir, la fuerza del objeto 1 es atractiva. Dibuje el campo vectorial asociado con esta ecuación.

Solución

Dado que el objeto 1 está ubicado en el origen, la distancia entre los objetos está dada por (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). El vector unitario del objeto 1 al objeto 2 es ( hat { mathbf r} = dfrac {⟨x, y, z⟩} {|| ⟨x, y, z⟩ ||} ), y por lo tanto ( hat { mathbf r} = big langle dfrac {x} {r}, dfrac {y} {r}, dfrac {z} {r} big rangle ). Por lo tanto, el campo vectorial gravitacional ( vecs {F} ) ejercido por el objeto 1 sobre el objeto 2 es

[ vecs {F} = - Gm_1m_2 big langle dfrac {x} {r ^ 3}, dfrac {y} {r ^ 3}, dfrac {z} {r ^ 3} big rangle . sin número]

Este es un ejemplo de un campo vectorial radial en (ℝ ^ 3 ).

La figura ( PageIndex {7} ) muestra cómo se ve este campo gravitacional para una gran masa en el origen. Tenga en cuenta que las magnitudes de los vectores aumentan a medida que los vectores se acercan al origen.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

La masa del asteroide 1 es de 750.000 kg y la masa del asteroide 2 es de 130.000 kg. Suponga que el asteroide 1 está ubicado en el origen y el asteroide 2 está ubicado en ((15, −5,10) ), medido en unidades de 10 a la octava potencia kilómetros. Dado que la constante gravitacional universal es (G = 6.67384 × 10 ^ {- 11} m ^ 3 {kg} ^ {- 1} s ^ {- 2} ), encuentre el vector de fuerza gravitacional que el asteroide 1 ejerce sobre el asteroide 2.

Pista

Siga el ejemplo ( PageIndex {8} ) y primero calcule la distancia entre los asteroides.

Respuesta

(1.49063 × {10} ^ {- 18} ), (4.96876 × {10} ^ {- 19} ), (9.93752 × {10} ^ {- 19} ) N

Campos de degradado (campos conservadores)

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo degradado o campo conservador. Estos campos vectoriales son extremadamente importantes en física porque pueden usarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados con una carga estática son ejemplos de campos de gradiente.

Recuerda que si (f ) es una función (escalar) de (x ) y (y ), entonces el gradiente de (f ) es

[ text {grad} , f = vecs nabla f (x, y) = f_x (x, y) hat { mathbf i} + f_y (x, y) hat { mathbf j}. ]

Podemos ver en la forma en que está escrito el gradiente que ( vecs nabla f ) es un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ). De manera similar, si (f ) es una función de (x ), (y ) y (z ), entonces el gradiente de (f ) es

[ text {grad} , f = vecs nabla f (x, y, z) = f_x (x, y, z) hat { mathbf i} + f_y (x, y, z) hat { mathbf j} + f_z (x, y, z) hat { mathbf k}. ]

El gradiente de una función de tres variables es un campo vectorial en (ℝ ^ 3 ). Un campo de gradiente es un campo vectorial que se puede escribir como el gradiente de una función y tenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN: Campo de degradado

Un campo vectorial ( vecs {F} ) en (ℝ ^ 2 ) o en (ℝ ^ 3 ) es un campo degradado si existe una función escalar (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Dibujar un campo de vector degradado

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 ).

Solución

El gradiente de (f ) es ( vecs nabla f (x, y) = ⟨2xy ^ 2, , 2x ^ 2y⟩ ). Para dibujar el campo vectorial, use un sistema de álgebra computarizado como Mathematica. La figura ( PageIndex {8} ) muestra ( vecs nabla f ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de (f (x, y) = sin x cos y ).

Pista

Encuentra el gradiente de (f ).

Respuesta

Considere la función (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 ) del Ejemplo ( PageIndex {9} ). La figura ( PageIndex {9} ) muestra las curvas de nivel de esta función superpuestas en el campo de vector de gradiente de la función. Los vectores de gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, y las magnitudes de los vectores aumentan a medida que las curvas de nivel se acercan, porque las curvas de nivel agrupadas estrechamente indican que el gráfico es empinado y la magnitud del vector de gradiente es el valor más grande de la derivado direccional. Por lo tanto, puede ver la inclinación local de un gráfico investigando el campo de gradiente de la función correspondiente.

Como aprendimos anteriormente, un campo vectorial ( vecs {F} ) es un campo vectorial conservador, o un campo degradado si existe una función escalar (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F}). En esta situación, (f ) se llama función potencial para ( vecs {F} ). Los campos vectoriales conservadores surgen en muchas aplicaciones, particularmente en física. La razón por la que estos campos se llaman conservador es que modelan las fuerzas de los sistemas físicos en los que se conserva la energía. Estudiamos los campos vectoriales conservadores con más detalle más adelante en este capítulo.

Puede notar que, en algunas aplicaciones, una función potencial (f ) para ( vecs {F} ) se define en cambio como una función tal que (- vecs nabla f = vecs {F} ). Este es el caso de ciertos contextos en física, por ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Verificación de una función potencial

¿Es (f (x, y, z) = x ^ 2yz− sin (xy) ) una función potencial para el campo vectorial

( vecs {F} (x, y, z) = ⟨2xyz − y cos (xy), x ^ 2z − x cos (xy), x ^ 2y⟩ )?

Solución

Necesitamos confirmar si ( vecs nabla f = vecs {F} ). Tenemos

[ begin {align *} f_x (x, y) = 2xyz − y cos (xy) [4pt] f_y (x, y) = x ^ 2z − x cos (xy) [4pt] f_z (x, y) = x ^ 2y end {align *}. ]

Por lo tanto, ( vecs nabla f = vecs {F} ) y (f ) es una función potencial para ( vecs {F} ).

Ejercicio ( PageIndex {10} )

¿Es (f (x, y, z) = x ^ 2 cos (yz) + y ^ 2z ^ 2 ) una función potencial para ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨2x cos (yz), - x ^ 2z sin (yz) + 2yz ^ 2, y ^ 2⟩ )?

Pista

Calcule el gradiente de (f ).

Respuesta

No

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Verificación de una función potencial

La velocidad de un fluido se modela mediante el campo ( vecs v (x, y) = ⟨xy, tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ). Verifique que (f (x, y) = dfrac {x ^ 2y} {2} - dfrac {y ^ 2} {2} ) sea una función potencial para ( vecs {v} ).

Solución

Para mostrar que (f ) es una función potencial, debemos demostrar que ( vecs nabla f = vecs v ). Tenga en cuenta que (f_x (x, y) = xy ) y (f_y (x, y) = dfrac {x ^ 2} {2} −y ). Por lo tanto, ( vecs nabla f (x, y) = ⟨xy, tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ) y (f ) es una función potencial para ( vecs {v } ) (Figura ( PageIndex {10} )).

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Verifica que (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 + x ) sea una función potencial para el campo de velocidad ( vecs {v} (x, y) = ⟨3x ^ 2y ^ 2 + 1,2x ^ 3y⟩ ).

Pista

Calcula el gradiente.

Respuesta

( vecs nabla f (x, y) = vecs {v} (x, y) )

Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial conservador, entonces hay al menos una función potencial (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ). Pero, ¿podría haber más de una función potencial? Si es así, ¿existe alguna relación entre dos funciones potenciales para el mismo campo vectorial? Antes de responder a estas preguntas, recordemos algunos hechos del cálculo de una sola variable para guiar nuestra intuición. Recuerda que si (k (x) ) es una función integrable, entonces (k ) tiene infinitas antiderivadas. Además, si ( vecs {F} ) y ( vecs {G} ) son ambas antiderivadas de (k ), entonces ( vecs {F} ) y ( vecs {G} ) difieren solo por una constante. Es decir, hay un número (C ) tal que ( vecs {F} (x) = vecs {G} (x) + C ).

Ahora sea ( vecs {F} ) un campo vectorial conservador y sean (f ) y (g ) funciones potenciales para ( vecs {F} ). Dado que el gradiente es como una derivada, ( vecs {F} ) siendo conservador significa que ( vecs {F} ) es "integrable" con "antiderivadas" (f ) y (g ). Por lo tanto, si la analogía con el cálculo de una sola variable es válida, esperamos que haya alguna constante (C ) tal que (f (x) = g (x) + C ). El siguiente teorema dice que este es realmente el caso.

Para enunciar el siguiente teorema con precisión, debemos asumir que el dominio del campo vectorial está conectado y abierto. Estar conectado significa que si (P_1 ) y (P_2 ) son dos puntos cualesquiera en el dominio, entonces puedes caminar desde (P_1 ) a (P_2 ) a lo largo de una ruta que permanece completamente dentro del dominio.

UNICIDAD DE FUNCIONES POTENCIALES

Sea ( vecs {F} ) un campo vectorial conservador en un dominio abierto y conectado y sean (f ) y (g ) funciones tales que ( vecs nabla f = vecs {F } ) y ( vecs nabla g = vecs {G} ). Entonces, hay una constante (C ) tal que (f = g + C ).

Prueba

Dado que (f ) y (g ) son funciones potenciales para ( vecs {F} ), entonces ( vecs nabla (f − g) = vecs nabla f− vecs nabla g = vecs {F} - vecs {F} = vecs 0 ). Sea (h = f − g ), entonces tenemos ( vecs nabla h = vecs 0 ). Nos gustaría mostrar que (h ) es una función constante.

Suponga que (h ) es una función de (x ) y (y ) (la lógica de esta demostración se extiende a cualquier número de variables independientes). Dado que ( vecs nabla h = vecs 0 ), tenemos (h_x (x, y) = 0 ) y (h_y (x, y) = 0 ). La expresión (h_x (x, y) = 0 ) implica que (h ) es una función constante con respecto a (x ), es decir, (h (x, y) = k_1 (y) ) para alguna función (k_1 ). De manera similar, (h_y (x, y) = 0 ) implica (h (x, y) = k_2 (x) ) para alguna función (k_2 ). Por lo tanto, la función (h ) depende solo de (y ) y también depende solo de (x ). Por lo tanto, (h (x, y) = C ) para alguna constante (C ) en el dominio conectado de ( vecs {F} ). Tenga en cuenta que realmente necesitamos conectividad en este punto; si el dominio de ( vecs {F} ) viene en dos piezas separadas, entonces (k ) podría ser una constante (C_1 ) en una pieza pero podría ser una constante diferente (C_2 ) en la otra pieza. Dado que (f − g = h = C ), tenemos ese (f = g + C ), como se desee.

(cuadrado)

Los campos vectoriales conservadores también tienen una propiedad especial llamada propiedad parcial cruzada. Esta propiedad ayuda a probar si un campo vectorial dado es conservador.

LA PROPIEDAD TRANSPARCIAL DE LOS CAMPOS VECTORIALES CONSERVADORES

Sea ( vecs {F} ) un campo vectorial en dos o tres dimensiones de modo que las funciones componentes de ( vecs {F} ) tengan derivadas parciales mixtas continuas de segundo orden en el dominio de ( vecs {F} ).

Si ( vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ ) es un campo vectorial conservador en (ℝ ^ 2 ), entonces

[ dfrac { parcial P} { parcial y} = dfrac { parcial Q} { parcial x}. ]

Si ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)⟩ ) es un vector conservador campo en ({ mathbb {R}} ^ 3 ), luego

[ begin {align *} dfrac { Particular P} { Particular y} = dfrac { Particular Q} { Particular x} [4pt] dfrac { Particular Q} { Particular Z} = dfrac { R parcial} { y parcial} [4pt] dfrac { R parcial} { parcial x} = dfrac { P parcial} { parcial z}. end {alinear *} ]

Prueba

Dado que ( vecs {F} ) es conservador, hay una función (f (x, y) ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ). Por lo tanto, según la definición del gradiente, (f_x = P ) y (f_y = Q ). Según el teorema de Clairaut, (f_ {xy} = f_ {yx} ), pero, (f_ {xy} = P_y ) y (f_ {yx} = Q_ {x} ), y por lo tanto (P_y = Q_x ).

(cuadrado)

El teorema de Clairaut proporciona una prueba rápida de la propiedad parcial cruzada de los campos vectoriales conservadores en (ℝ ^ 3 ), tal como lo hizo para los campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ).

La propiedad de parciales cruzados de los campos vectoriales conservadores muestra que la mayoría de los campos vectoriales no son conservadores. La propiedad de parciales cruzados es difícil de satisfacer en general, por lo que la mayoría de los campos vectoriales no tendrán parciales cruzados iguales.

Muestre que el campo vectorial rotacional ( vecs {F} (x, y) = ⟨y, , - x⟩ ) no es conservador.

Solución

Sea (P (x, y) = y ) y (Q (x, y) = - x ). Si ( vecs {F} ) es conservador, entonces los parciales cruzados serían iguales, es decir, (P_y ) sería igual a (Q_x ). Por lo tanto, para mostrar que ( vecs {F} ) no es conservador, verifique que (P_y ≠ Q_x ). Dado que (P_y = 1 ) y (Q_x = −1 ), el campo vectorial no es conservador.

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Muestre que el campo vectorial ( vecs F (x, y) = xy , hat { mathbf i} −x ^ 2y , hat { mathbf j} ) no es conservador.

Pista

Compruebe los parciales cruzados.

Respuesta

(P_y (x, y) = x ) y (Q_x (x, y) = - 2xy ). Dado que (P_y (x, y) ≠ Q_x (x, y) ), ( vecs F ) no es conservador.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Mostrar un campo vectorial no es conservador

¿Es el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨7, −2, x ^ 3⟩ ) conservador?

Solución

Sea (P (x, y, z) = 7 ), (Q (x, y, z) = - 2 ) y (R (x, y, z) = x ^ 3 ). Si ( vecs {F} ) es conservador, entonces se cumplirán las tres ecuaciones parciales cruzadas, es decir, si ( vecs {F} ) es conservador, entonces (P_y ) sería igual a ( Q_x ), (Q_z ) sería igual a (R_y ) y (R_x ) sería igual a (P_z ). Tenga en cuenta que

[P_y = Q_x = R_y = Q_z = 0 nonumber ]

por lo que se mantienen las dos primeras igualdades necesarias. Sin embargo, (R_x (x, y, z) = x ^ 3 ) y (P_z (x, y, z) = 0 ) entonces (R_x ≠ P_z ). Por lo tanto, ( vecs {F} ) no es conservador.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

¿Es el campo vectorial ( vecs {G} (x, y, z) = ⟨y, , x, , xyz⟩ ) conservador?

Pista

Compruebe los parciales cruzados.

Respuesta

No

Concluimos esta sección con una advertencia: La propiedad de parciales cruzados de los campos vectoriales conservadores dice que si ( vecs {F} ) es conservador, entonces ( vecs {F} ) tiene la propiedad de parciales cruzados . El teorema hace no digamos que, si ( vecs {F} ) tiene la propiedad parcial cruzada, entonces ( vecs {F} ) es conservador (el recíproco de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original). En otras palabras, la propiedad entre parciales de los campos vectoriales conservadores solo puede ayudar a determinar que un campo no es conservador; no le permite concluir que un campo vectorial sea conservador.

Por ejemplo, considere el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨x ^ 2y, dfrac {x ^ 3} {3}⟩ ). Este campo tiene la propiedad de parciales cruzados, por lo que es natural intentar utilizar la propiedad de parciales cruzados de los campos vectoriales conservadores para concluir que este campo vectorial es conservador. Sin embargo, esta es una aplicación incorrecta del teorema. Más adelante aprenderemos cómo concluir que ( vecs F ) es conservador.

Conceptos clave

  • Un campo vectorial asigna un vector ( vecs {F} (x, y) ) a cada punto ((x, y) ) en un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 2 ) o (ℝ ^ 3 ). ( vecs {F} (x, y, z) ) a cada punto ((x, y, z) ) en un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 3 ).
  • Los campos vectoriales pueden describir la distribución de cantidades vectoriales como fuerzas o velocidades en una región del plano o del espacio. Son de uso común en áreas tales como física, ingeniería, meteorología, oceanografía.
  • Podemos esbozar un campo vectorial examinando su ecuación definitoria para determinar magnitudes relativas en varias ubicaciones y luego dibujando suficientes vectores para determinar un patrón.
  • Un campo vectorial ( vecs {F} ) se llama conservador si existe una función escalar (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ).

Ecuaciones clave

  • Campo vectorial en (ℝ ^ 2 )
    ( vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), , Q (x, y)⟩ )
    o
    ( vecs {F} (x, y) = P (x, y) , hat { mathbf i} + Q (x, y) , hat { mathbf j} )
  • Campo de vector en (ℝ ^ 3 )
    ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨P (x, y, z), , Q (x, y, z), , R (x, y, z)⟩ )
    o
    ( vecs {F} (x, y, z) = P (x, y, z) , hat { mathbf i} + Q (x, y, z) , hat { mathbf j} + R (x, y, z) , hat { mathbf k} )

Glosario

campo conservador
un campo vectorial para el que existe una función escalar (f ) tal que ( vecs ∇f = vecs {F} )
campo degradado
un campo vectorial ( vecs {F} ) para el que existe una función escalar (f ) tal que ( vecs ∇f = vecs {F} ); en otras palabras, un campo vectorial que es el gradiente de una función; tales campos vectoriales también se denominan conservador
función potencial
una función escalar (f ) tal que ( vecs ∇f = vecs {F} )
campo radial
un campo vectorial en el que todos los vectores apuntan directamente hacia o directamente lejos del origen; la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia desde el origen
campo rotacional
un campo vectorial en el que el vector en el punto ((x, y) ) es tangente a un círculo con radio (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ); in a rotational field, all vectors flow either clockwise or counterclockwise, and the magnitude of a vector depends only on its distance from the origin
unit vector field
a vector field in which the magnitude of every vector is 1
vector field
measured in (ℝ^2), an assignment of a vector (vecs{F}(x,y)) to each point ((x,y)) of a subset (D) of (ℝ^2); in (ℝ^3), an assignment of a vector (vecs{F}(x,y,z)) to each point ((x,y,z)) of a subset (D) of (ℝ^3)

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Vector fields in Processing

In this article I want to program vector fields in Processing. If you are not familiar with vector fields, I suggest you watch this video from Khan Academy:

But in short, vector field is a way to visualize multivariable vector-va l ued functions. We give them several variables as an input and instead of a single number (like scalar valued functions) they return us a whole vector. Vectors have both magnitude (or length) and direction. We can think of their direction as an angle of rotation. Usually, vectors are represented with arrows. Vectors and vector fields can be in as many dimensions as we want, but now we will focus on two-dimensional vector fields.

First of all, we need a mathematical function that we will give us a 2d vector field. Por ejemplo:

We give this function a point on the coordinate plane and it returns us a vector. Now, if we draw all vectors at the origin it looks very crammed. So, we translate output vector to the input point. However, if we draw them in full length it still might look jam-packed. There are a couple solutions to this problem. First, we can just ignore the magnitude and draw vectors with a fixed length. But then we lose a feeling of their magnitude completely. Second, we can use color. Lastly, we can scale down all vectors so that maximum magnitude is always the same length for all fields. This image from Wolfram alpha shows how the vector field of our example function looks like:

We should think of coordinate plane as a grid and vectors will be assigned to each square. Let’s start coding now.

Actually, we don’t need a lot of global variables:

  • len is a length of a side of each square
  • cols y rows are the numbers of columns and rows on the grid
  • grid is a 2d array of Cell objects that represent each square on the grid.

First, I write a vector field function. Its type is PVector and it receives x and y coordinates of each square. Then I calculate components of a vector: u is x-component and v is y-component. Finally, I just return this vector.

You may think that it is strange that we calculate u and v because u is equal to x and y is equal to v and we can pass them to PVector constructor directly. But it is the case only for our example function. If the formula is different, these components are not equal and it makes sense to calculate them separately.

Now, let’s make the Cell object. It needs two indexes I y j that represent its position in 2d array that I called grid and vector associated with a vector field. I will pass only indexes to the constructor function. Then I will calculate x and y coordinates of the center of a cell and a corresponding vector. Also you can make an argument and magnitude separate variables.

Then, I create a show function that will draw an arrow corresponding to an associated vector. First of all, I check if the magnitude is 0. If it is, there is essentially no vector and we cannot draw anything. And then, I draw an arrow and rotate it by an argument of a vector. Drawing an arrow may sound simple, but it is actually a little bit tricky. Now, let me explain how we can do that.

Dejar l be a length of an arrow and r be the length of two smaller legs.

First, we translate to the center of a cell. So, (0, 0) is now its center. We draw an arrow so that its center is at (0, 0). Then, it rear points are (-l/2 0) y (l/2, 0).

Smaller legs are rotated relatively to the arrow. I call the angle of rotation theta. Now, we use a bit of trigonometry to calculate coordinates of their ends. We can note that their x-coordinates are the same and their y-coordinates have the same absolute value but opposite signs. Now we can derive a simple system of equations in polar coordinates. Here is my sketch to make it clear.

So, I calculate these points and draw lines. And before that, I rotate everything by the argument of an angle. But it is important to use push() y pop() functions to apply rotation to only one particular arrow. I also added a buffer to make arrows a little bit shorter and not overlap with other arrows. Code should look like this:

Now there is only a tiny step left. We need to make a setup function, there we will draw background, initiate all variables, and draw all vectors.


Vector Fields

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Editor de expresiones matemáticas

We introduce the idea of a vector at every point in space.

Types of functions

When we started on our journey exploring calculus, we investigated functions . Typically, we interpret these functions as being curves in the -plane:

Now we are ready for a new type of function.

Vector fields

Now we will study vector-valued functions of several variables: We interpret these functions as vector fields, meaning for each point in the -plane we have a vector.

The second choice is not a vector field.

The third choice is not a vector field.

The fourth choice is a constant vector field, and is the correct answer.

Properties of vector fields

As we will see in the chapters to come, there are two important qualities of vector fields that we are usually on the look-out for. The first is rotation and the second is expansion. In the sections to come, we will make precise what we mean by rotation y expansion. In this section we simply seek to make you aware that these are the fundamental properties of vector fields.

Radial fields

Very loosely speaking a radial field is one where the vectors are all pointing toward a spot, or away from a spot. Let’s see some examples of radial vector fields.

Each of the vector fields above is a radial vector field. Let’s give an explicit definition.

Fun fact: Newton’s law of gravitation defines a radial vector field.

Some fields look like they are expanding and are. Other fields look like the are expanding but they aren’t. In the sections to come, we’re going to use calculus to precisely define what we mean by a field “expanding.” This property will be called divergence.

Rotational fields

Vector fields can easily exhibit what looks like “rotation” to the human eye. Let’s show you a few examples.

At this point, we’re going to give some “spoilers.” It turns out that from a local perspective, meaning looking at points very very close to each other, only the first example exhibits “rotation.” While the second example looks like it is “rotating,” as we will see, it does not exhibit “local rotation.” Moreover, in future sections we will see that rotation (even local rotation) in three-dimensional space must always happen around some “axis” like this:

Gradient fields

In this final section, we will talk about fields that arise as the gradient of some differentiable function. As we will see in future sections, these are some of the nicest vector fields to work with mathematically.

Let’s take a look at a gradient field.

The shape of things to come

Now we present the beginning of a big idea. By the end of this course, we hope to give you a glimpse of “what’s out there.” For this we’re going to need some notation. Think of and as sets of numbers, like or or or .

  • is the set of continuous functions from to .
  • is the set of differentiable functions from to whose first-derivative is continuous.
  • is the set of differentiable functions from to whose first and second derivatives are continuous.
  • is the set of differentiable function from to where the first th derivatives are continuous.
  • is the set of differentiable functions from to where todos of the derivatives are continuous.

The gradient turns functions of several variables into vector fields.

We can write this with our new notation as:

The Clairaut gradient test

Now we give a method to determine if a field is a gradient field.

And so we see , and thus is a gradient field. Now let’s try to find a potential function. To do this, we’ll antidifferentiate—in essence we want to “undo” the gradient. Write with me:

where is a function of . In a similar way:

We need to make this happen, we set and . From this we find our potential function is .


If a vector field v admits a vector potential A, then from the equality

(divergence of the curl is zero) one obtains

which implies that v must be a solenoidal vector field.

be a solenoidal vector field which is twice continuously differentiable. Assume that v(X) decreases sufficiently fast as ||X||→∞. Definir

Luego, A is a vector potential for v, that is,

A generalization of this theorem is the Helmholtz decomposition which states that any vector field can be decomposed as a sum of a solenoidal vector field and an irrotational vector field.

The vector potential admitted by a solenoidal field is not unique. Si A is a vector potential for v, then so is

donde F is any continuously differentiable scalar function. This follows from the fact that the curl of the gradient is zero.

This nonuniqueness leads to a degree of freedom in the formulation of electrodynamics, or gauge freedom, and requires choosing a gauge.


Conservative Vector Fields

Definición. A vector field $$ is said to be conservative in a region $D$ if $= abla f$ for some scalar function $f$ in $D.$ The function $f$ is called a scalar potential of $$ in $D.$

Ejemplo. Determine whether the vector field is conservative and if so, find a scalar potential function egin (x,y,z)=y^2+left(2x y+e^<3z> ight)+left(3y e^<3z> ight) fin

Solución. If there is such a function $f$ then $f_x(x,y,z)=y^2$, $f_y(x,y,z)=2 x y+e^<3z>$, and $f_z(x,y,z)=3y e^<3z>.$ Integrating $f_x$ with respect to $x,$ $f(x,y,z)=x y^2+g(y,z).$ Then differentiating $f$ with respect to $y,$ we have $f_y(x,y,z)=2x y+g_y(y,z)$ and this yields $g_y(y,z)=e^<3z>.$ Thus $g(y,z)=y e^<3z>+h(z)$ and we have $ f(x,y,z)=x y^2+y e^<3z>+h(z). $ Finally, differentiating $f$ with respect to $z$ and comparing, we obtain $h'(z)=0$ and therefore, $h(z)=K,$ a constant. The desired scalar function is $
f(x,y,z)=x y^2+y e^<3z>+K $ with $= abla f.$

Definición. A region $D$ in the plane is called connected (one piece) if it has the property: (i) any two points in the region can be connected by a piecewise smooth curve lying entirely within $D$ and a simply connected region (no holes) is a connected region $D$ that has the property: (ii) every closed curve in $D$ encloses only points that are in $D.$

Teorema. (Conservative in Space) Suppose that the vector field $$ and $mathop$ are both continuous in the simply connected region $D$ of $mathbb^3.$ Then $$ is conservative in $D$ if and only if $mathop=<0>.$

Teorema. (Conservative in the Plane) Consider the vector field $ (x,y)=u(x,y)+v(x,y) $ where $u$ and $v$ have continuous first partials in the open simply connected region $D$ in the plane. Then $(x,y)$ is conservative in $D$ if and only if egin frac=frac end on $D.$

Ejemplo. Determine whether the vector field is conservative and if so, find a scalar potential function $(x,y)=2 x y+x y^3 .$

Solución. Since $u(x,y)=2 x y$, $v(x,y)= x y ^3$, and $frac=2x eq y^3=frac,$ we see that $$ is not a conservative vector field.

Ejemplo. Show that the vector field egin (x,y,z)=
left ( frac<1+x^2>+ an ^<-1>z ight) +left( an ^<-1>x ight) +left(frac<1+z^2> ight) fin is conservative and find a scalar potential function.

Solución. Since $ ext=0,$ it follows $$ is conservative. Now we set out to find the scalar potential function $f.$ Since eginfrac=frac<1+x^2>+ an ^<-1>zend we set eginf(x,y,z)=y an ^<-1>x+x an ^<-1>z+c(y,z).end Since eginfrac= an ^<-1>z=fracleft(y an ^<-1>x+x an ^ <-1>z+c ight)= an ^<-1>x+frac,end we find $frac=0$ and $c=c_1(z)$ and so we set eginf(x,y,z)=y an ^<-1>x+x an ^<-1>z+c_1(z).end Since eginfrac=frac<1+z^2>=fracleft[y an ^<-1>x+x an ^<-1>z+c_1(z) ight] = frac <1+z^2>+ c’_1(z),end we then find $c_1 ‘(z)=0,$ $ c_1=0$ and so we obtain egin f(x,y,z)=y an ^<-1>x+x an ^<-1>z end as desired.


Vector Fields

The best way to introduce vector fields is with an example. Consider the two-dimensional vector field

For each point (x,y) in the xy-plane the function F (x,y) assigns a vector. The coefficient of i is the x component of the vector. The coefficient of j is the y component of the vector. Alternatively, we can use the notation <y,sin x> to denote the vector field. The figure below plots the vector field.

The length of the vector in the plot is proportional to the actual magnitude of the vector.

In general, a vector field in two dimenensions is a function that assigns to each point (x,y) of the xy-plane a two-dimensional vector F (x,y). The standard notation is

Here P(x,y) is the x-component function of the vector field and Q(x,y) is the y-component function of the vector field. In some cases the vector field is only defined for a region D of the xy-plane.

A vector field in three dimensions is a function F that assigns to each point (x,y,z) in xyz-space a three dimensional vector F (x,y,z). The notation is

Again, the vector field may only be defined in a certain region D of xyz-space.

Vector fields arise in a number of disciplines in the physical sciences including

  • Mechanics: gravitational fields. At each point the vector field gives the direction and magnitude of the force on a particle.
  • Electricity and Magnetism: electric and magnetic fields. At each point the vector field gives the direction and magnitude of the force on a particle.
  • Fluid Mechanics: velocity fields. At each point the vector field gives the velocity of a fluid.

A type of vector field arising in a number of applications, including mechanics and electricity and magnetism, is a conservative vector field. In this case the vector field is defined in terms of the gradient of a scalar function f(x,y,z):

Vector Fields versus Vector Functions

Vector fields and vector functions are two different types of functions. Recall that a vector function in three dimensions is denoted r (t)=<f(t),g(t),h(t)>. A vector function has three components, each of which is a function of ONE variable. A vector function represents a curve in space.

A vector field in three dimensions, F (x,y,z)=<f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)>, has three components, each of which is a function of THREE variables. A vector field assigns a vector to each point in a region in xyz space.


Vector Fields

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Types of functions

When we started on our journey exploring calculus, we investigated functions . Typically, we interpret these functions as being curves in the -plane:

Now we are ready for a new type of function.

Vector fields

Now we will study vector-valued functions of several variables: We interpret these functions as vector fields, meaning for each point in the -plane we have a vector.

The second choice is not a vector field.

The third choice is not a vector field.

The fourth choice is a constant vector field, and is the correct answer.

Properties of vector fields

As we will see in the chapters to come, there are two important qualities of vector fields that we are usually on the look-out for. The first is rotation and the second is expansion. In the sections to come, we will make precise what we mean by rotation y expansion. In this section we simply seek to make you aware that these are the fundamental properties of vector fields.

Radial fields

Very loosely speaking a radial field is one where the vectors are all pointing toward a spot, or away from a spot. Let’s see some examples of radial vector fields.

Each of the vector fields above is a radial vector field. Let’s give an explicit definition.

Fun fact: Newton’s law of gravitation defines a radial vector field.

Some fields look like they are expanding and are. Other fields look like the are expanding but they aren’t. In the sections to come, we’re going to use calculus to precisely define what we mean by a field “expanding.” This property will be called divergence.

Rotational fields

Vector fields can easily exhibit what looks like “rotation” to the human eye. Let’s show you a few examples.

At this point, we’re going to give some “spoilers.” It turns out that from a local perspective, meaning looking at points very very close to each other, only the first example exhibits “rotation.” While the second example looks like it is “rotating,” as we will see, it does not exhibit “local rotation.” Moreover, in future sections we will see that rotation (even local rotation) in three-dimensional space must always happen around some “axis” like this:

Gradient fields

In this final section, we will talk about fields that arise as the gradient of some differentiable function. As we will see in future sections, these are some of the nicest vector fields to work with mathematically.

Let’s take a look at a gradient field.

The shape of things to come

Now we present the beginning of a big idea. By the end of this course, we hope to give you a glimpse of “what’s out there.” For this we’re going to need some notation. Think of and as sets of numbers, like or or or .

  • is the set of continuous functions from to .
  • is the set of differentiable functions from to whose first-derivative is continuous.
  • is the set of differentiable functions from to whose first and second derivatives are continuous.
  • is the set of differentiable function from to where the first th derivatives are continuous.
  • is the set of differentiable functions from to where todos of the derivatives are continuous.

The gradient turns functions of several variables into vector fields.

We can write this with our new notation as:

The Clairaut gradient test

Now we give a method to determine if a field is a gradient field.

And so we see , and thus is a gradient field. Now let’s try to find a potential function. To do this, we’ll antidifferentiate—in essence we want to “undo” the gradient. Write with me:

where is a function of . In a similar way:

We need to make this happen, we set and . From this we find our potential function is .


Vector Field Plotter

A vector function is a function that takes a number of inputs, and returns a vector. For simplicity, let's keep things in 2 dimensions and call those inputs (x) and (y). Mathematically speaking, this can be written as

Where ( hat ) and ( hat ) are unit vectors along the (x) and (y) axes respectively. Then, if we have a grid like the one above, we can systematically pick points on the grid at which to plot the corresponding vector. The end result is known as a vector field.

Our interactive demo allows you to enter any function you like for ( g(x,y) ) and ( h(x,y) ). When the page first loads, these functions are set to

The values ( a,b,c ) and ( d ) just simple constants. They are, however, linked to the sliders, which means you can adjust them and watch how the vector field changes in real time. Don't let them confuse you though, you can safely ignore these if desired.

To enter a new vector function, type your expressions in the ( hat ) and ( hat ) text boxes and press "update expression". The types of functions you can enter are explained in the table below.


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