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1: teoría de conjuntos


1: teoría de conjuntos

Teoría de Conjuntos (Estudios de Lógica: Fundamentos y Lógica Matemática) Ed revisada. Edición

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1.1. Establecer notación y algunos conjuntos simples

Al igual que en la teoría de conjuntos ingenua, los conjuntos cuyos elementos se conocen se escriben enumerando los elementos dentro de llaves, p. Ej. <1, 2, 3>, . El conjunto más pequeño es el conjunto vacio, el conjunto sin elementos. Esto se puede escribir como <> o usando el símbolo especial ∅ (que en realidad es una letra griega Phi mutada). Uno de los axiomas de ZFC dice que ∅ existe: Axioma de existencia ∃x ∀y y ∉ x.

Con solo el axioma de extensionalidad, es posible que no exista ningún conjunto, el axioma de existencia nos da al menos un conjunto (pero posiblemente ningún otro).


1: teoría de conjuntos

Lecturas para la sesión 1 - (continuación)

Conjuntos y correspondencia uno a uno


Colocar
: En matemáticas, llamamos colecciones de objetos conjuntos.

En la próxima sesión, se dará una definición más cuidadosamente formada para que una colección de objetos sea un conjunto. Además, la notación adecuada utilizada para los conjuntos Su navegador no admite marcos en línea o está configurado actualmente para no mostrar marcos en línea. será dado. Esta notación adecuada se utilizará en este curso y se utilizará en otros cursos de matemáticas. Aunque, para esta introducción, esta definición informal es suficientemente buena.

Ejemplo: La colección de insectos de la página anterior es un conjunto de insectos.

Ejemplo: La colección de numerales que representa los primeros doce números contables es el conjunto <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12>.

Correspondencia uno a uno y equivalencia de conjuntos: Si los elementos de dos conjuntos se pueden emparejar de modo que cada elemento esté emparejado con exactamente un elemento del otro conjunto, entonces hay una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos. Se dice que los dos conjuntos son equivalente .

Notación: Los conjuntos A y B son equivalente y se denota como A

Ejemplo: Del ejemplo anterior, el niño diría que hay 12 insectos ya que el niño ha establecido una correspondencia 1-1 con el conjunto <1, 2, 3,…, 12> y el conjunto de insectos.

Ejemplo: Mostrar conjunto A = < a B C > y configurar B = son equivalentes, es decir, muestran A


Los dos conjuntos son equivalentes ya que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos. Tenga en cuenta que A

Nota: Aquí igual y equivalente significan dos cosas diferentes. Los conjuntos iguales son equivalentes, pero los conjuntos equivalentes pueden no igualarse. Esto se ilustró en el ejemplo anterior donde A

B, pero AB. Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos y los conjuntos son equivalentes cuando se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos.
Hemos mostrado una estrecha relación entre el concepto de correspondencia uno a uno y la idea del número de elementos en un conjunto, llamado cardinalidad de un conjunto. (Consulte el recuento de insectos más arriba). Esta exploración nos ha llevado a las siguientes definiciones relacionadas con los conjuntos de Su navegador no admite marcos en línea o está configurado actualmente para no mostrar marcos en línea. números naturales y enteros a conjuntos. Además, observamos que esta relación está estrechamente relacionada con la forma en que los niños pequeños aprenden a contar.

Conjuntos de números: El conjunto de números naturales (o contando numeros) es el conjunto norte = <1, 2, 3, …>.
El conjunto de números enteros es el set W = <0, 1, 2, 3, …>.

Número cardinal de un conjunto : El número de elementos en un conjunto es el número cardinal de ese conjunto.

Notación: Si un conjunto A es equivalente al conjunto <1, 2, 3,…, norte>, escribimos norte(A) = norte y diga "El número cardinal del conjunto A es norte.”
También, norte(Ø) = 0. El número cardinal de un conjunto vacío es cero.

Ejemplo: Cuando contamos los insectos en el ejemplo anterior, hemos mostrado una correspondencia uno a uno entre el conjunto <1, 2, 3,…, 12> y el conjunto de insectos, es decir, mostramos el conjunto de insectos y el establecer <1, ​​2, 3,. 12> son equivalentes. Demostramos que los dos conjuntos son equivalentes. Esto significa que después de contar los insectos y decir que había doce, estábamos diciendo que el número cardinal para el conjunto de insectos es 12.

En la próxima sesión se darán más ejemplos de números cardinales para conjuntos.

Probablemente aprendió el número cardinal cero, 0, mucho más tarde en la vida, mucho después de haber aprendido a contar. Esto también es cierto en la historia de los humanos. El número cardinal cero se inventó mucho más tarde que cualquiera de los números naturales.


IIT JEE Matemáticas principales 1. Teoría de conjuntos y relaciones Capítulo 1 Notas de teoría de conjuntos PDF

Hay varios libros de Matemáticas 1. Teoría de conjuntos y relaciones Capítulo 1 Libros de teoría de conjuntos para IIT JEE que describen todos los capítulos importantes en detalle. IIT JEE Matemáticas 1. Teoría y relaciones de conjuntos Capítulo 1 La teoría de conjuntos no es muy difícil, pero los estudiantes no logran sobresalir en ella ya que sus fundamentos básicos no están claros. Matemáticas 1. Teoría de conjuntos y relaciones Capítulo 1 La teoría de conjuntos es una creación de la mente humana que desarrolla la capacidad de pensamiento en los seres humanos. Es esta rama la que describe la lógica detrás de los conceptos. Los temas matemáticos sientan las bases tanto de la física como de la química.

JEE Advanced es un examen de ingreso de ingeniería anual realizado para la admisión a los Institutos de Tecnología de la India en India. También es uno de los exámenes de ingreso de ingeniería más difíciles del mundo. Alrededor de 2,5 lakh de estudiantes serán preseleccionados de JEE Main 2020 para presentarse en el JEE Advanced 2020 el 17 de mayo.

Idealmente, los estudiantes serios deben haber completado el programa de estudios de Matemáticas 1. Teoría de conjuntos y relaciones Capítulo 1 Teoría de conjuntos a esta altura. El programa de estudios avanzado de JEE de las clases 11 y 12 proporciona aproximadamente el 45% y el 55% de los cuestionarios de JEE, respectivamente. Mientras se preparan todos los temas de Física, Química y Matemáticas 1. Teoría de conjuntos y relaciones Capítulo 1 Teoría de conjuntos, basado en nuestra experiencia pasada, se puede enfatizar en particular en los siguientes temas:

IIT JEE Matemáticas principales 1. Teoría de conjuntos y relaciones Capítulo 1 Programa de estudios de la teoría de conjuntos Capítulo Wise:

  • Ecuaciones cuadráticas y expresiones de amplificador
  • Vectores y geometría 3D de amperios
  • Hipérbola en funciones de geometría de coordenadas
  • Limites
  • Números complejos
  • Probabilidad
  • Matrices en el círculo de álgebra
  • Parábola
  • Continuidad y diferenciabilidad
  • Aplicación de derivadas e integrales definidas en cálculo

Principales consejos de craqueo de IIT JEE 2020:

  • Manténgase enfocado y mantenga una confianza positiva
  • Consulte la serie de pruebas simuladas de renombre para desarrollar un temperamento de examen. Responda los cuestionarios del año pasado y rsquos IIT-JEE. Concéntrese en su parte débil y desarrolle sus conceptos.
  • Practicar preguntas de nivel JEE es importante a medida que aumenta su capacidad analítica y de razonamiento.
  • No se haga cargo del estrés. De 5 a 6 horas de sueño cada noche es imprescindible, especialmente de 3 a 4 días antes del examen IIT JEE para mantenerlo en forma física y mental. Si bien las siestas cortas pueden ayudar a recuperar la frescura, evite dormir durante el día.
  • Por último, no se ponga nervioso si le resulta difícil el trabajo, ya que lo que cuenta es el rendimiento relativo. Ponga a trabajar su mejor mente analítica y crea en la preparación de su examen.

Ofrecemos algo único, útil y, sobre todo, divertido. Al brindarles a los estudiantes una herramienta para encontrar soluciones instantáneas a sus dudas, estamos tratando de que cada estudiante sea autosuficiente para practicar y completar su tarea.


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Última actualización el 27 de junio de 2021


1 serie, 20 repeticiones: la extraña estrategia de entrenamiento que da resultados

Hay muchas preguntas sin respuesta en el campo de la fuerza y ​​el acondicionamiento.

¿Dónde deberían comenzar los atletas sin experiencia con el entrenamiento con pesas? ¿Cómo deben entrenar los atletas después de que termine su temporada competitiva?

El sistema 1 & # 21520 del Dr. Michael Yessis, un famoso entrenador de rendimiento deportivo que se especializó en adaptar e implementar métodos de entrenamiento de la ex Unión Soviética, arroja luz sobre lo que podría ser una opción fantástica para este tipo de atletas.

Después de leer el libro del Dr. Yessis & # 8217, El revolucionario programa de entrenamiento de fuerza 1 x 20 RM, Me he convencido de que un esquema de 1 serie / repetición tiene un mérito real en el mundo del rendimiento atlético.

Sí, eso significa realizar solo una serie de un ejercicio determinado, pero esa serie contiene 20 repeticiones. La mayoría de las personas con alguna experiencia de entrenamiento están acostumbradas a 3 & # 21510, 5 & # 2155, etc., por lo que la idea de un entrenamiento de 1 & # 21520 suena completamente ridícula. Pero la lógica y los resultados son sólidos. Repasemos en & # 8217s algunas de las principales razones por las que un 1 & # 21520 podría ofrecer un beneficio legítimo en comparación con otros esquemas de representación más tradicionales.

El cuerpo desentrenado se adapta más rápidamente al entrenamiento de menor intensidad y lo hace con un menor riesgo de lesiones. En los atletas jóvenes que recién están comenzando en el entrenamiento de resistencia, el dolor excesivo y la alta fatiga (causas potenciales de lesiones) se pueden minimizar en gran medida con un esquema 1 & # 21520 en comparación con los métodos más tradicionales de series / repeticiones. Esto se debe tanto al menor número total de repeticiones que se realizan como a la menor carga que se debe utilizar para lograr 20 repeticiones continuas. Ahora, esto no significa que quieras elegir un peso con el que puedas hacer 40 repeticiones. Aún desea elegir un peso que le resulte desafiante pero manejable para obtener esas 20 repeticiones.

Este entrenamiento permite una acumulación gradual de intensidad en lugar de & # 8220shocking & # 8221 a estos atletas con entrenamiento de alta intensidad demasiado pronto. Para los atletas más avanzados que recién están saliendo de su temporada competitiva, un esquema 1 & # 21520 les permite comenzar a reconstruir su cuerpo sin comprometer su recuperación.

Pero, ¿puede obtener resultados? ¡Sí!

Para los atletas que recién están comenzando un programa de levantamiento (o que están comenzando un programa nuevamente después de un largo descanso), no se necesitan varias series para ver la adaptación y los resultados. Siempre que se inicia un nuevo ejercicio o programa de levantamiento, el cuerpo se adapta a muy poco volumen. Los nuevos estímulos señalan adaptaciones sin mucho entrenamiento. Por esta razón, los atletas jóvenes y los atletas de principios de temporada baja no necesitan realizar múltiples series de ejercicios. Estos grupos se adaptarán y se fortalecerán con solo un juego cerca del fracaso.

Se pueden administrar más ejercicios totales porque solo se realiza una serie de cada uno. Esto permite al deportista cubrir más movimientos y acciones conjuntas. Esto es especialmente importante para los atletas que están comenzando en el entrenamiento de resistencia. Para cubrir la mayoría de los movimientos humanos básicos (sentadillas, bisagras, empuje horizontal / vertical, tirón horizontal / vertical, rotación, acciones de locomoción, etc.) es necesario realizar muchos ejercicios diferentes. El sistema 1 & # 21520 permite a los atletas realizar todos estos movimientos en una sesión, porque cada ejercicio toma solo uno o dos minutos.

1 & # 21520 implica un flujo sanguíneo alto que aumenta la resistencia muscular y fortalece los ligamentos y tendones. Para que los atletas realicen un entrenamiento de fuerza de alta intensidad, ya debería existir una base de resistencia muscular. Esto permite una eliminación más rápida de los metabolitos musculares para que el músculo que trabaja se pueda recuperar. Para los atletas jóvenes y los primeros en la temporada baja, esta base, así como una base de tendones y ligamentos fuertes y gruesos, es necesaria para evitar lesiones y manejar un entrenamiento de mayor intensidad.

El desarrollo atlético de la juventud y la temporada baja lleva tiempo. Los atletas no deben simplemente realizar un entrenamiento de alta intensidad el día 1. Un aumento gradual de volumen e intensidad permite una adaptación constante con una mínima posibilidad de lesión. & # 8220 Cuanto más rápido ganes fuerza, más rápido la perderás. Cuanto más lento ganes fuerza, más tiempo la mantendrás. & # 8221 -Dr. Michael Yessis.


1: teoría de conjuntos

Proyecto de mejora de la educación matemática en las escuelas (TIMES)

Número y álgebra: módulo 1Años: 7-8

En todo tipo de situaciones clasificamos objetos en conjuntos de objetos similares y los contamos. Este procedimiento es la motivación más básica para aprender los números enteros y aprender a sumarlos y restarlos.

Este conteo arroja rápidamente situaciones que al principio pueden parecer contradictorias.

"En junio pasado, hubo 15 días de viento y 20 días de lluvia, pero 5 días no fueron ni ventosos ni lluviosos".

¿Cómo puede ser esto, cuando junio solo tiene 30 días? Un diagrama de Venn y el lenguaje de los conjuntos solucionan esto fácilmente.

Sea W el conjunto de días ventosos,
y R el conjunto de días lluviosos.
Sea E el conjunto de días de junio.
Entonces W y R juntos tienen tamaño 25, entonces
la superposición entre W y R es 10. El diagrama de Venn de enfrente muestra la situación completa.

El propósito de este módulo es introducir el lenguaje para hablar de conjuntos y algo de notación para establecer cálculos, de modo que se puedan resolver problemas de conteo como este. El diagrama de Venn facilita la visualización de la situación.

Describir y nombrar conjuntos

Un conjunto es solo una colección de objetos, pero necesitamos algunas palabras, símbolos y diagramas nuevos para poder hablar con sensatez sobre conjuntos.

En nuestro lenguaje ordinario, tratamos de darle sentido al mundo en el que vivimos clasificando colecciones de cosas. El inglés tiene muchas palabras para este tipo de colecciones. Por ejemplo, hablamos de "una bandada de pájaros", "una manada de ganado", "un enjambre de abejas" y "una colonia de hormigas".

Hacemos algo similar en matemáticas y clasificamos números, figuras geométricas y otras cosas en colecciones que llamamos conjuntos. Los objetos de estos conjuntos se denominan elementos del conjunto.

Un conjunto se puede describir enumerando todos sus elementos. Por ejemplo,

S & # 61 <1, 3, 5, 7, 9>,

que leemos como "S es el conjunto cuyos elementos son 1, 3, 5, 7 y 9". Los cinco elementos del conjunto están separados por comas y la lista se encierra entre corchetes.

Un conjunto también se puede describir escribiendo una descripción de sus elementos entre paréntesis. Por lo tanto, el conjunto S anterior también se puede escribir como

S & # 61 ,

que leemos como "S es el conjunto de números enteros impares menores que 10".

Un conjunto debe estar bien definido. Esto significa que nuestra descripción de los elementos de un conjunto es clara e inequívoca. Por ejemplo, no es un conjunto, porque las personas tienden a no estar de acuerdo sobre lo que significa "alto". Un ejemplo de un conjunto bien definido es

T & # 61 .

Dos conjuntos se denominan iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Por lo tanto, siguiendo la convención habitual de que "y" no es una vocal,

& # 61

Por otro lado, los conjuntos <1, 3, 5> y <1, 2, 3> no son iguales, porque tienen elementos diferentes. Esto está escrito como

<1, 3, 5> y ne <1, 2, 3>.

El orden en el que se escriben los elementos entre las llaves no importa en absoluto. Por ejemplo,

< 1, 3, 5, 7, 9 >= < 3, 9, 7, 5, 1 >= < 5, 9, 1, 3, 7 >.

Si un elemento aparece en la lista más de una vez, solo se cuenta una vez. Por ejemplo,

& # 61 .

El conjunto tiene solo los dos elementos ay b. La segunda mención de a es una repetición innecesaria y puede ignorarse. Normalmente se considera una notación deficiente enumerar un elemento más de una vez.

Las frases "es un elemento de" y "no es un elemento de" ocurren con tanta frecuencia en la discusión de conjuntos que los símbolos especiales & isin y & notin se utilizan para ellos. Por ejemplo, si A & # 61 <3, 4, 5, 6>, entonces

3 & isin A (lea esto como "3 es un elemento del conjunto A").

8 & notin A (lea esto como "8 no es un elemento del conjunto A").

Describir y nombrar conjuntos

  • Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos del conjunto.
  • Un conjunto debe estar bien definido, lo que significa que sus elementos pueden describirse y
    enumerados sin ambigüedad. Por ejemplo:
  • Dos conjuntos se denominan iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
  • El orden es irrelevante.
  • Se ignora cualquier repetición de un elemento.
  • Si a es un elemento de un conjunto S, escribimos a & isin S.
  • Si b no es un elemento de un conjunto S, escribimos b & no en S.

a Especifique el conjunto A enumerando sus elementos, donde
A & # 61 .
b Especifique el conjunto B dando una descripción escrita de sus elementos, donde
B & # 61 <0, 1, 4, 9, 16, 25>.
c ¿La siguiente oración especifica un conjunto?
C & # 61 .

Todos los conjuntos que hemos visto hasta ahora han sido conjuntos finitos, lo que significa que podemos enumerar todos sus elementos. Aquí hay dos ejemplos más:

& # 61

& # 61

Los tres puntos "..." en el segundo ejemplo representan los otros 995 números del conjunto. Podríamos haberlos enumerado todos, pero para ahorrar espacio hemos utilizado puntos. Esta notación solo se puede usar si está completamente claro lo que significa, como en esta situación.

Un conjunto también puede ser infinito y menos lo único que importa es que esté bien definido. Aquí hay dos ejemplos de conjuntos infinitos:

& # 61

& # 61

Ambos conjuntos son infinitos porque no importa cuántos elementos enumeremos, siempre hay más elementos en el conjunto que no están en nuestra lista. Esta vez, los puntos "..." tienen un significado ligeramente diferente, porque representan una infinidad de elementos que posiblemente no podríamos enumerar, sin importar cuánto tiempo lo intentemos.

El número de elementos de un conjunto.

Si S es un conjunto finito, el símbolo | S | representa el número de elementos de S. Por ejemplo:

Si S & # 61 <1, 3, 5, 7, 9>, entonces | S | & # 61 5.

Si A & # 61 <1001, 1002, 1003,…, 3000>, entonces | A | & # 61 2000.

Si T & # 61 , entonces | T | & # 61 26.

El conjunto S & # 61 <5> es un conjunto de un elemento porque | S | & # 61 1. Es importante distinguir entre el número 5 y el conjunto S & # 61 <5>:

5 & ​​está en S pero 5 & ne S.

El símbolo & vacío representa el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene ningún elemento. Nada en todo el universo es un elemento de & vacío:

| & vacío | & # 61 0 yx & notin & vacío, no importa lo que sea x.

Solo hay un conjunto vacío, porque dos conjuntos vacíos tienen exactamente los mismos elementos, por lo que deben ser iguales entre sí.

  • Un conjunto se llama finito si podemos enumerar todos sus elementos.
  • Un conjunto infinito tiene la propiedad de que no importa cuántos elementos enumeremos,
    siempre hay más elementos en el conjunto que no están en nuestra lista.
  • Si S es un conjunto finito, el símbolo | S | representa el número de elementos de S.
  • El conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío y se escribe como & vacío.
    Así | & vacío | & # 61 0.
  • Un conjunto de un elemento es un conjunto como S & # 61 <5> con | S | & # 61 1.

a Utilice puntos para ayudar a enumerar cada conjunto e indique si es finito o infinito.
i B & # 61
ii A & # 61
b Si el conjunto S en cada parte es finito, escriba | S |.
i S & # 61
ii S & # 61
iii S & # 61
iv S & # 61
c Sea F el conjunto de fracciones en su forma más simple entre 0 y 1 que se puede escribir con un denominador de un solo dígito. Encuentre F y | F |.

Subconjuntos y diagramas de Venn

Los conjuntos de cosas a menudo se subdividen aún más. Por ejemplo, los búhos son un tipo particular de ave, por lo que cada búho es también un pájaro. Expresamos esto en el lenguaje de los conjuntos diciendo que el conjunto de búhos es un subconjunto del conjunto de pájaros.

Un conjunto S se denomina subconjunto de otro conjunto T si cada elemento de S es un elemento de T. Esto está escrito como

S & sube T (lea esto como "S es un subconjunto de T").

El nuevo símbolo & sube significa "es un subconjunto de". Así & sube porque cada búho es un pájaro. Similar,

si A & # 61 <2, 4, 6> y B & # 61 <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6>, entonces A & sube B,

porque cada elemento de A es un elemento de B.

La oración "S no es un subconjunto de T" se escribe como

S T.

Esto significa que al menos un elemento de S no es un elemento de T. Por ejemplo,

< birds >

porque el avestruz es un pájaro, pero no vuela. Similar,

si A & # 61 <0, 1, 2, 3, 4> y B & # 61 <2, 3, 4, 5, 6>, entonces A B,

El conjunto en sí y el conjunto vacío son siempre subconjuntos.

Cualquier conjunto S es un subconjunto de sí mismo, porque cada elemento de S es un elemento de S. Por ejemplo:

& sube y <1, 2, 3, 4, 5, 6> & # 61 <1, 2, 3, 4, 5, 6>.

Además, el conjunto vacío & vacío es un subconjunto de todo conjunto S, porque cada elemento del conjunto vacío es un elemento de S, no hay elementos en & vacío en absoluto. Por ejemplo:

& vacío & sube y & vacío & sube <1, 2, 3, 4, 5, 6>.

Cada elemento del conjunto vacío es un pájaro, y cada elemento del conjunto vacío es uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Subconjuntos y las palabras "todos" y "si ... entonces"

Una declaración sobre subconjuntos se puede reescribir como una oración usando la palabra "todos".
Por ejemplo,

"Todos los múltiplos de 4 son pares".

"No todos los rectángulos son rombos".

También se pueden reescribir usando las palabras "si ... entonces". Por ejemplo,

y sube medio "Si una criatura es un búho, entonces es un pájaro".
& sube medio "Si un número es múltiplo de 4, entonces es par":
& sube medio "Si una figura es un rectángulo, entonces puede que no sea un cuadrado".

Los diagramas facilitan las matemáticas porque nos ayudan a ver la situación completa de un vistazo. El matemático inglés John Venn (1834 y menos 1923) comenzó a usar diagramas para representar conjuntos. Sus diagramas ahora se llaman diagramas de Venn.

En la mayoría de los problemas que involucran conjuntos, es conveniente elegir un conjunto más grande que contenga todos los elementos de todos los conjuntos que se están considerando. Este conjunto más grande se llama conjunto universal, y generalmente se le da el símbolo E. En un diagrama de Venn, el conjunto universal generalmente se dibuja como un rectángulo grande, y luego otros conjuntos se representan mediante círculos dentro de este rectángulo.

Por ejemplo, si V & # 61 , podríamos elegir el conjunto universal como E & # 61 y todas las letras del alfabeto tendrían que colocarse en algún lugar dentro del rectángulo, como se muestra a continuación. .

En el diagrama de Venn a continuación, el conjunto universal es E & # 61 <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10>, y cada uno de estos números se ha colocado en algún lugar dentro del rectángulo. .

La región dentro del círculo representa el conjunto A de números enteros impares entre 0 y 10. Por lo tanto, colocamos los números 1, 3, 5, 7 y 9 dentro del círculo, porque A & # 61 <1, 3, 5, 7, 9>. Fuera del círculo colocamos los otros números 0, 2, 4, 6, 8 y 10 que están en E pero no en A.

Representar subconjuntos en un diagrama de Venn

Cuando sabemos que S es un subconjunto de T, colocamos el círculo que representa a S dentro del círculo que representa a T. Por ejemplo, sea S & # 61 <0, 1, 2> y T & # 61 <0, 1, 2, 3, 4>. Entonces S es un subconjunto de T, como se ilustra en el diagrama de Venn a continuación.

Asegúrese de que 5, 6, 7, 8, 9 y 10 estén colocados fuera de ambos círculos & gt

Subconjuntos y la recta numérica

Los números enteros son los números 0, 1, 2, 3, ... Estos a menudo se denominan "números de conteo", porque son los números que usamos cuando contamos cosas. En particular, hemos estado usando estos números para contar el número de elementos de conjuntos finitos. El número cero es el número de elementos del conjunto vacío.

El conjunto de todos los números enteros se puede representar mediante puntos en la recta numérica.

Cualquier subconjunto finito de un conjunto de números enteros se puede representar en la recta numérica. Por ejemplo, aquí está el conjunto <0, 1, 4>.

  • Si todos los elementos de un conjunto S son elementos de otro conjunto T, entonces S se denomina subconjunto de T. Esto se escribe como S & sube T.
  • Si al menos un elemento de S no es un elemento de T, entonces S no es un subconjunto de T. Esto está escrito como S T.
  • Si S es cualquier conjunto, entonces & vacío & sube S y S & sube S.
  • Una declaración sobre un subconjunto se puede reescribir usando las palabras "todos" o "si ... entonces".
  • Los subconjuntos se pueden representar mediante un diagrama de Venn.
  • El conjunto <0, 1, 2, 3, 4,…> de números enteros es infinito.
  • El conjunto de números enteros y cualquier subconjunto finito de ellos se puede representar en la recta numérica.

a Reescribir en notación de conjuntos:
i Todos los cuadrados son rectángulos.
ii No todos los rectángulos son rombos.
b Vuelva a escribir en una oración en inglés usando las palabras "all" o "no all":
i & sube .
ii & sube .
c Vuelva a escribir las afirmaciones del inciso b) en una oración en inglés utilizando las palabras "si ..., entonces".
d Dados los conjuntos A & # 61 <0, 1, 4, 5> y B & # 61 <1, 4>:
i Dibuje un diagrama de Venn de A y B usando el conjunto universal U & # 61 <0, 1, 2,…, 8>.
ii Grafica A en la recta numérica.

Complementos, intersecciones y uniones

Supongamos que se ha elegido un conjunto E universal adecuado. El complemento de un conjunto S
es el conjunto de todos los elementos de E que no están en S. El complemento de S se escribe como S c.
Por ejemplo,

Si E & # 61 y V & # 61 , entonces V c & # 61

/> Si E & # 61 y O & # 61 ,
/> luego O c & # 61 .

Complemento y la palabra "no"

La palabra "no" corresponde al complemento de un conjunto. Por ejemplo, en los dos ejemplos anteriores,

V c & # 61 & # 61

O c & # 61 & # 61

El conjunto V c en el primer ejemplo se puede representar en un diagrama de Venn de la siguiente manera.

La intersección de dos conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B consta de todos los elementos que pertenecen a A y a B.
Esto está escrito como A & cap B. Por ejemplo, algunos músicos son cantantes y algunos tocan un instrumento.

Aquí hay un ejemplo usando letras.

Este último ejemplo se puede representar en un diagrama de Venn de la siguiente manera.

Intersección y la palabra "y"

La palabra "y" nos dice que hay una intersección de dos conjuntos. Por ejemplo:

& cap & # 61

& mayúscula & # 61

La unión de dos conjuntos A y B consta de todos los elementos pertenecientes a A o B. Esto está escrito como A & cup B. Los elementos pertenecientes a ambos conjuntos pertenecen a la unión. Continuando con el ejemplo de cantantes e instrumentistas:

Si A & # 61 y B & # 61 , entonces A & cup B & # 61 .

En el caso de los juegos de letras:

Si V & # 61 y F & # 61 , entonces V & acup F & # 61 .

La palabra "o" nos dice que hay una unión de dos conjuntos. Por ejemplo:

& copa & # 61

& copa & # 61

La palabra "o" en matemáticas siempre significa "y / o", por lo que no es necesario agregar "o ambos" a estas descripciones de las uniones. Por ejemplo,

Aquí los elementos 6 y 12 están en ambos conjuntos A y B.

Dos conjuntos se denominan disjuntos si no tienen elementos en común. Por ejemplo:

Los conjuntos S & # 61 <2, 4, 6, 8> y T & # 61 <1, 3, 5, 7> son disjuntos.

Otra forma de definir conjuntos disjuntos es decir que su intersección es el conjunto vacío,

Dos conjuntos A y B están separados si A & cap B & # 61 & vacíos.

S & cap T & # 61 & vacío porque no hay ningún número en ambos conjuntos.

Complemento, intersección y unión

Sean A y B subconjuntos de un conjunto universal adecuado E.

  • El complemento A c es el conjunto de todos los elementos de E que no están en A.
  • La intersección A & cap B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B.
  • La unión A & copa B es el conjunto de todos los elementos pertenecientes a A o B.
  • En matemáticas, la palabra "o" siempre significa "y / o", por lo que todos los elementos que
    están en ambos conjuntos están en la unión.
  • Los conjuntos A y B se denominan disjuntos si no tienen elementos en común, es decir,
    si A & cap B & # 61 & vacío.

Representar el complemento en un diagrama de Venn

Sea A & # 61 <1, 3, 5, 7, 9> el conjunto de números enteros impares menores que 10, y tome el conjunto universal como E & # 61 <0, 1, 2,…, 10>. Aquí está el diagrama de Venn de la situación.

La región dentro del círculo representa el conjunto A, por lo que colocamos los números 1, 3, 5, 7 y 9 dentro del círculo. Fuera del círculo, colocamos los otros números 0, 2, 4, 6, 8 y 10 que no están en A. Así, la región fuera del círculo representa el complemento A c & # 61 <0, 2, 4, 6, 8, 10>.

Representar la intersección y la unión en un diagrama de Venn

El diagrama de Venn a continuación muestra los dos conjuntos

A & # 61 <1, 3, 5, 7, 9> y B & # 61 <1, 2, 3, 4, 5>.

  • Los números 1, 3 y 5 se encuentran en ambos conjuntos, por lo que los colocamos en la región superpuesta de los dos círculos.
  • Los números restantes en A son 7 y 9. Estos se colocan dentro de A, pero fuera de B.
  • Los números restantes en B son 2 y 4. Estos se colocan dentro de B, pero fuera de A.

Así, la región superpuesta representa la intersección A & cap B & # 61 <1, 3, 5>, y los dos círculos juntos representan la unión A & cup B & # 61 <1, 2, 3, 4, 5, 7, 9> .

Los cuatro números restantes 0, 6, 8 y 10 se colocan fuera de ambos círculos.

Representar conjuntos disjuntos en un diagrama de Venn

Cuando sabemos que dos conjuntos están separados, los representamos mediante círculos que no se cruzan. Por ejemplo, deja

P & # 61 <0, 1, 2, 3>y P & # 61

Entonces P y Q son disjuntos, como se ilustra en el diagrama de Venn a continuación.

Diagramas de Venn con complementos, uniones e intersecciones

  • Los conjuntos se representan en un diagrama de Venn mediante círculos dibujados dentro de un rectángulo que representa el conjunto universal.
  • La región fuera del círculo representa el complemento del conjunto.
  • La región superpuesta de dos círculos representa la intersección de los dos conjuntos.
  • Dos círculos juntos representan la unión de los dos conjuntos.
  • Cuando dos conjuntos están separados, podemos dibujar los dos círculos sin superposición.
  • Cuando un conjunto es un subconjunto de otro, podemos dibujar su círculo dentro del círculo del otro conjunto.

Deje que el conjunto universal sea E & # 61 , y deja

A & # 61

B y # 61

C & # 61

a Dibuje A y C en un diagrama de Venn y coloque los números en las regiones correctas.
b Dibuje B y C en un diagrama de Venn y coloque los números en las regiones correctas.
c Sombree A y tapa B en un diagrama de Venn y coloque los números en las regiones correctas.
d Sombree A y copa B en un diagrama de Venn y coloque los números en las regiones correctas.

Resolver problemas usando un diagrama de Venn

Llevando la cuenta de elementos de conjuntos

Antes de resolver problemas con los diagramas de Venn, debemos averiguar cómo llevar la cuenta de los elementos de los conjuntos superpuestos.

El diagrama superior a la derecha muestra dos
conjuntos A y B dentro de un conjunto universal E, donde

| A | & # 61 6 y | B | & # 61 7,

con 3 elementos en la intersección A y la tapa B.

El diagrama inferior a la derecha muestra solo el
número de elementos en cada una de las cuatro regiones.

Estos números se colocan entre corchetes.
para que no parezcan elementos.

Puede ver en los diagramas que

| A | & # 61 6 y | B | & # 61 7, pero | A y copa B | & ne 6 & # 43 7.

La razón de esto es que los elementos dentro de la región superpuesta A y el límite B solo deben contarse una vez, no dos. Cuando restamos los tres elementos de A & cap B del total, el cálculo es correcto.

En el diagrama de la derecha,

| A | & # 61 15, | B | & # 61 25, | A & cap B | & # 61 5 y | E | & # 61 50.

a Inserte el número de elementos en cada
de las cuatro regiones.
b Por lo tanto, encuentre | A y copa B | y | A & cap B c |

a Comenzamos en la intersección y trabajamos hacia afuera.

La intersección A y la tapa B tiene 5 elementos.

Por lo tanto, la región de A fuera de A & cap B tiene 10 elementos,
y la región de B fuera de A & cap B tiene 20 elementos.

Esto hace 35 elementos hasta ahora, por lo que la región exterior tiene 15 elementos.
b Del diagrama, | A y copa B | & # 61 35 y | A & cap B c | & # 61 10.

a Dibuja un diagrama de Venn de dos conjuntos S y T
b Dado que | S | & # 61 15, | T | & # 61 20, | S & cup T | & # 61 25 y | E | & # 61 50, inserte el número de elementos en cada una de las cuatro regiones.
c Por lo tanto, encuentre | S & cap T | y | S & cap T c |.

Número de elementos en las regiones de un diagrama de Venn

&Toro El número de elementos en las regiones de un diagrama de Venn se puede hacer mediante
trabajando sistemáticamente alrededor del diagrama.
&Toro El número de elementos en la unión de dos conjuntos A y B es
&Toro Número de elementos en A & copa B & # 61 número de elementos en A
&Toro Número de elementos en A y copa B & # 61 número de elementos en A
+ número de elementos en B
&minus number of elements in A &cap B .
&bull Writing this formula in symbols, | A &cup B | = | A | + | B | &minus | A &cap B |.

Solving problems by drawing a Venn diagram

Many counting problems can be solved by identifying the sets involved, then drawing up a Venn diagram to keep track of the numbers in the different regions of the diagram.

A travel agent surveyed 100 people to find out how many of them had visited the cities of
Melbourne and Brisbane. Thirty-one people had visited Melbourne, 26 people had been to Brisbane, and 12 people had visited both cities. Draw a Venn diagram to find the number of people who had visited:

a Melbourne or Brisbane

B Brisbane but not Melbourne

C only one of the two cities

D neither city.

Let M be the set of people who had
visited Melbourne, and let B be the set
of people who had visited Brisbane.
Let the universal set E be the set of
people surveyed.

The information given in the question can now be rewritten as

| M | = 31, | B | = 26, | M &cap B | = 12 y | E | = 100.

Hence number in M only = 31 &minus 12
= 19
and number in B only = 26 &minus 12
= 14.

a Number visiting Melbourne or Brisbane = 19 + 14 ი = 45.

B Number visiting Brisbane only = 14.

C Number visiting only one city = 19 + 14 = 33.

D Number visiting neither city = 100 &minus 45 = 55.

Problem solving using Venn diagrams

  • First identify the sets involved.
  • Then construct a Venn diagram to keep track of the numbers in the different regions of the diagram.

Twenty-four people go on holidays. If 15 go swimming, 12 go fishing, and 6 do neither, how many go swimming and fishing? Draw a Venn diagram and fill in the number of people in all four regions.

In a certain school, there are 180 pupils in Year 7. One hundred and ten pupils study French, 88 study German and 65 study Indonesian. Forty pupils study both French and German, 38 study German and German only. Find the number of pupils who study:

either one ot two of the three languages.

The examples in this module have shown how useful sets and Venn diagrams are in counting problems. Such problems will continue to present themselves throughout secondary school.

The language of sets is also useful for understanding the relationships between objects of different types. For example, we have met various sorts of numbers, and we can summarise some of our knowledge very concisely by writing

< whole numbers >&sube < integers >&sube < rational numbers >&sube < real numbers >.

The relationships amongst types of special quadrilaterals is more complicated. Here are some statements about them.

< squares >&sube < rectangles >&sube < parallelograms >&sube

< rectangles >&cap < rhombuses >=

If A = < convex kites >and B = < non-convex kites >, then

A &cap B = &empty and A &cup B =

That is, the set of convex kites and the set of non-convex kites are disjoint, but their union is the set of all kites.

It is far easier to talk about probability using the language of sets. The set of all outcomes is called the sample space , a subset of the sample space is called an event . Thus when we throw three coins, we can take the sample space as the set

S =

and the event ‘throwing at least one head and at least one tail’ is then the subset

E =

Since each outcome is equally likely,

P (at least one head and at least one tail) = = .

The event space of the complementary event ‘throwing all heads or all tails’ is the complement of the event space in the sample space, which we take as the universal set, so

E c = < HHH, TTT >.

Since | E | + | E c | = | S |, it follows after dividing by | S | that P ( E c ) = 1 &minus P ( E ), so

P (throwing all head or all tails) = 1 &minus = .

Let F be the event ‘throwing at least two heads’. Luego

F =

A Venn diagram is the best way to sort out the relationship between the two events E and F . We can then conclude that

P ( E and F ) = 3 y P ( E or F ) = 7

When we discuss a function, we usually want to write down its domain &minus the set of all x -values that we can substitute into it, and its range &minus the set of all y -values that result from such substitutions.

For example, for the function y = x 2 ,

domain = < real numbers >y range = < y : y ≥ 0>.

The notation used here for the range is ‘set-builder notation’, which is no longer taught in school. Consequently we mostly avoid set notation altogether, and use instead less rigorous language,

‘The domain is all real numbers, and the range is y > 0.’

Speaking about the condition rather than about the set, however, can confuse some students, and it is often useful to demonstrate the set theory ideas lying behind the abbreviated notation.

Here are two inequalities involving absolute value and their solution.

If we use the language of solution sets, and pay attention to ‘and’ and ‘or’, we see that the solution of the first inequality is the intersection of two sets, and the solution of the second inequality is the union of two sets. In set-builder notation, the solutions to the two inequalities are

< x : x ≥ &minus5 >&cap < x : x ≤ 5 >= < x : &minus5 ≤ x ≤ 5>, and

< x : x ≤ &minus5 >&cap < x : x ≥ 5 >= < x : x £ &minus5 or x ≥ 5>.

At school, however, we simply write the solutions to the two inequalities as the conditions alone,

&minus5 ≤ x ≤ 5 y x ≤ &minus5 or x ≥ 5

There are many similar situations where the more precise language of sets may
help to clarify the solutions of equations and inequalities when difficulties are raised during discussions.

Counting problems go back to ancient times. Questions about ‘infinity’ were also keenly discussed by mathematicians in the ancient world. The idea of developing a ‘theory of sets’, however, only began with publications of the German mathematician Georg Cantor in the 1870s, who was encouraged in his work by Karl Weierstrass and Richard Dedekind, two of the greatest mathematicians of all time.

Cantor’s work involved the astonishing insight that there are infinitely many different types of infinity. In the hierarchy of infinities that he discovered, the infinity of the whole numbers is the smallest type of infinity, and is the same as the infinity of the integers and of the rational numbers. He was able to prove, quite simply, that the infinity of the real numbers is very much larger, and that the infinity of functions is much larger again. His work caused a sensation and some Catholic theologians criticised his work as jeopardising ‘God’s exclusive claim to supreme infinity’.

Cantor’s results about types of infinity are spectacular and not particularly difficult. The topic is quite suitable as extension work at school, and the basic ideas have been presented in some details in Appendix 2 of the Module The Real Numbers .

Cantor’s original version of set theory is now regarded as ‘naive set theory’, and contains contradictions. The most famous of these contradictions is called ‘Russell’s paradox’, after the British philosopher and mathematician Bertrand Russell. It is a version of the ancient barber-paradox,

‘A barber shaves all those who do not shave themselves. Who shaves the barber?’

‘Sets that are members of themselves are rather unwelcome objects.

In order to distinguish such tricky sets from the ordinary, well-behaved sets,

let S be the set of all sets that are not members of themselves.

But when we consider the set S itself, we have a problem.

If S is a member of S , then S is not a member of S .

If S is not a member of S , then S is a member of S .

The best-known response, but by no means the only response, to this problem and to the other difficulties of ‘naive set theory’ is an alternative, extremely sophisticated, formulation of set theory called ‘Zermelo-Fraenkel set theory’, but it is hardly the perfect solution. While no contradictions have been found,many disturbing theorems have been proven. Most famously, Kurt Goedel proved in 1931 that it is impossible to prove that Zermelo-Fraenkel set theory, and indeed any system of axioms within which the whole numbers can be constructed, does not contain a contradiction!

Nevertheless, set theory is now taken as the absolute rock-bottom foundation of mathematics, and every other mathematical idea is defined in terms of set theory. Thus despite the paradoxes of set theory, all concepts in geometry, arithmetic, algebra and calculus &minus and every other branch of modern mathematics &minus are defined in terms of sets, and have their logical basis in set theory.

a A = < 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96 >.

B The most obvious answer is B = < square numbers less than 30 >.

C No, because I don’t know precisely enough what ‘close to’ means.

a I A = < 10 002, 10 004, … , 19 998 >is finite. ii B = < 0, 3, 6, … >is infinite.
B I This set is infinite. ii | S | = 1.
iii | S | = 0. iv | S | = 100.
C F = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , so | F | = 27.

a I < squares >&sube < rectangles >. ii < rectangles >&sube < rhombuses >.
B I All multiples of 6 are even. ii Not all squares are even.
C I If a whole number is a multiple of 6, then it is even.
ii If a whole number is a square, then it may not be even.
D I
ii

a&minusd

The union S &cup T has 25 elements, whereas S has 15 elements and T has 20 elements, so the overlap S &cap T has 10 elements.

Hence the region of S outside S &cap T has 5 elements, and the region of T outside S &cap T has 10 elements. Hence the outer region has 50 &minus 25 = 25 elements.

C From the diagram, | S &cap T | = 10 and | S &cup Tc | = 40.

Since only 18 people are involved in swimming or fishing and 15 + 12 = 27, there are 9 people who go swimming and fishing.

a 9 B 10 C 12 D 168 mi 159

The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project 2009-2011 was funded by the Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations.

The views expressed here are those of the author and do not necessarily represent the views of the Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations.


1: Set Theory

Figure 1.15 shows Venn diagrams for these sets.

Figure 1.16 pictorially verifies the given identities. Note that in the second identity, we show the number of elements in each set by the corresponding shaded area.

Let $S=<1,2,3>$. Write all the possible partitions of $S$.

  1. $A= < x in mathbb| -100 leq x leq 100 >$ is countable since it is a subset of a countable set, $A subset mathbb$.
  2. $B=<(x,y) | x in mathbb, y in mathbb >$ is countable because it is the Cartesian product of two countable sets, i.e., $B= mathbb imes mathbb$.
  3. $C=(0,.1]$ is uncountable since it is an interval of the form $(a,b]$, where $a
    Problema

Find the range of the function $f:mathbb ightarrow mathbb$ defined as $f(x)= extrm (x)$.

For any real value $x$, $-1 leq extrm (x) leq 1$. Also, all values in $[-1,1]$ are covered by $ extrm (x)$. Thus, Range$(f)=[-1,1]$.


Conclusión

After following these steps, even if you weren’t able to place your speakers in their ideal locations due to room and furniture constraints, you can rest easy knowing that your system can still sound great. You’re now ready to fire up your receiver and set speaker Level, Distance, and Equalization. We’ll guide you through that in our next set up article.

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About the author:

Marshall is an Educator by trade, and currently lives in Oregon. He was lucky enough to grow up in a musical household, and though the AV equipment wasn't the greatest, it was always on. His dad introduced him to Queen, Paul Simon, and Sgt. Pepper's, and his mom played Lionel Richie and Disney Soundtracks. When Marshall was 14, his uncle passed down a pair of JBL towers and Marshall finally had his own system. Having enjoyed podcasting and video production over the past 10 years, Marshall is happy to be contributing at Audioholics.

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Ver el vídeo: 1 Teoria de Conjuntos. Definición de Conjunto (Enero 2022).