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1: Área y área de superficie - Matemáticas


1: Área y área de superficie - Matemáticas

6.1 Área y área de superficie

En esta unidad, los estudiantes aprenden a encontrar áreas de polígonos descomponiendo, reorganizando y componiendo formas. Aprenden a comprender y usar los términos “base” y “altura” y hallan áreas de paralelogramos y triángulos. Los estudiantes aproximan áreas de regiones no poligonales por regiones poligonales. Representan poliedros con redes y encuentran sus áreas de superficie.

Lecciones

Razonamiento para encontrar el área

Paralelogramos

Triangulos

Polígonos

Área de superficie

Cuadrados y cubos

Pongámoslo a trabajar

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Diferencia entre área y área de superficie

Las matemáticas tienen formas de hacernos pensar, repensar y hacerlo todo de nuevo. Como si las matemáticas no fueran lo suficientemente confusas, provocadas por sus fórmulas, operaciones y derivaciones, las personas también pueden confundirse con definiciones, especialmente con términos similares.

La mayoría de nosotros sabemos que la geometría es la matemática de medir la tierra, los espacios, la forma y las figuras, y cuando uno piensa en geometría, lo más probable es que se le ocurra el término & # 8216area & # 8217.

El área es, comúnmente, una expresión del tamaño de un plano bidimensional. Se expresa en muchas unidades diferentes. Estas unidades incluyen: metro cuadrado, hectárea, kilómetro cuadrado, pie cuadrado, yarda cuadrada, percha cuadrada, acre y milla cuadrada, solo por nombrar algunas.

Una de las fórmulas de área conocidas más básicas es la de un rectángulo, que es la longitud multiplicada por el ancho (l x a), y en el caso del cuadrado, es la longitud de un lado al cuadrado (s²).

Triángulo & # 8216 “½ bh donde b es la base y h es la altura.

Rombo & # 8216 “½ ab donde ayb son longitudes de las dos diagonales.

Paralelogramo & # 8216 “bh donde b es la longitud de la base y h es la altura perpendicular.

Trapezoide & # 8216 “½ (a + b) h donde ayb son la longitud de los lados paralelos y h es la altura.

Círculo & # 8216 “pr² donde r es la longitud del radio (el cuadrado del tiempo pi del radio).

El área a menudo se confunde con & # 8216surface area & # 8217, que técnicamente es la misma si se trata de superficies bidimensionales. Sin embargo, se usa más apropiadamente para expresar el tamaño de una superficie expuesta, por un sólido particular, que es tridimensional. Por ejemplo, un cubo tendrá un área de superficie igual a la suma de las áreas de los seis lados (6s²).

Al igual que el área, el área de la superficie también se expresa en unidades cuadradas.

Fórmulas de áreas superficiales de algunos sólidos:

Cilindro & # 8211 2pr² (r + h) donde r es el radio y h es la altura del cilindro.

Cono & # 8211 pr (r + l) donde r es el radio y l es la altura inclinada del cono.

Esfera & # 8216 “4pr² donde r es el radio.

1. El término área es un término general que expresa la medida del tamaño de una superficie, mientras que el área de superficie se usa más apropiadamente para expresar la medida de la superficie expuesta de un objeto sólido en particular.

2. El área es para superficies planas bidimensionales, mientras que el área superficial es para sólidos tridimensionales.


Volumen y superficie

La medición de formas se vuelve tridimensional en el GED. Desde el área de la superficie de una esfera hasta el volumen de una pirámide, debes estar preparado para fórmulas geométricas más complejas.

Imagina una forma tridimensional como la de arriba, un cubo u otras muchas: bolas, cajas, cilindros. Hay dos formas de medir formas tridimensionales como estas:

1) Área de superficie: el área de la superficie es el número de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir una forma tridimensional. Es una medida 2-D envuelta alrededor de una forma 3-D.

2) Volumen: El volumen, por otro lado, no es una cobertura, llena una forma tridimensional. Como el agua en una botella de agua o la arena en un arenero. Debido a que el volumen llena completamente un espacio tridimensional, también es tridimensional, por lo que se mide en unidades cúbicas.

Como de costumbre, con GED Geometry, estas fórmulas aparecen en el GED hoja de fórmulas así que todo lo que tienes que hacer es elegir la fórmula apropiada, sustituir los valores conocidos y luego confiar en tus habilidades de álgebra para resolver la variable desconocida.


Matemáticas ilustrativas Unidad 6.1, Lección 14: Redes y superficie

Aprenda a hacer coincidir las redes con sus poliedros y cómo usarlas para encontrar el área de superficie de un poliedro. Después de probar las preguntas, haga clic en los botones para ver las respuestas y explicaciones en texto o video.

Redes y superficie
Usemos redes para encontrar el área de superficie de los poliedros.

Cada una de las siguientes redes se puede ensamblar en un poliedro. Une cada red con su poliedro correspondiente y nombra el poliedro. Esté preparado para explicar cómo sabe que la red y el poliedro van de la mano.

A: 3 - Pirámide cuadrada, formada por una base cuadrada y 4 triángulos.
B: 2 - Prisma cuadrado, formado por 2 bases cuadradas y 4 rectángulos.
C: 4 - Pirámide triangular (tetraedro), formada por una base triangular y 3 triángulos.
D: 5 - Prisma triangular, formado por 2 bases triangulares y 3 rectángulos.
E: 1 - Cubo, formado por 6 cuadrados.

14.2 - Uso de redes para encontrar el área de superficie

Tu profesor te dará las mallas de tres poliedros para recortar y montar. Alternativamente, puede imprimir las siguientes redes.

1. Nombra el poliedro que formaría cada red cuando se ensambla.

2. Recorta tus redes y úsalas para crear formas tridimensionales.

3. Encuentra el área de superficie de cada poliedro. Explique su razonamiento con claridad.

1. Recuerde las definiciones de prisma y pirámide, y cómo se nombran.

3. Una red nos permite ver todas las caras de un polígono a la vez. Para encontrar el área de superficie de un poliedro de su red, encuentre el área total de todos los polígonos en la red.

1. A forma un prisma rectangular. B forma una pirámide cuadrada. C forma un prisma triangular (con bases triangulares rectángulos).

3. Una red nos permite ver todas las caras de un polígono a la vez. Para encontrar el área de superficie de un poliedro de su red, encuentre el área total de todos los polígonos en la red. En cada una de estas mallas, los polígonos con la misma área se han sombreado del mismo color. Para simplificar los cálculos, los polígonos también se pueden combinar para calcular el área, como lo indican los contornos discontinuos en las redes A y C.

A: 2 (5 & # 215 6) + 2 (6) + 2 (5) = 82 unidades cuadradas
O (6 & # 215 12) + 2 (5) = 82 unidades cuadradas

B: (4 & # 215 4) + 4 (& frac12 & # 215 4 & # 215 4) = 48 unidades cuadradas

C: (3 & # 215 5) + (3 & # 215 3) + (3 & # 215 4) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 48 unidades cuadradas
O (3 & # 215 12) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 48 unidades cuadradas

También son posibles otras estrategias.

1. Para cada red, decida si se puede ensamblar en un prisma rectangular.

2. Para cada red, decida si se puede ensamblar en un prisma triangular.

1. Solo C se puede plegar en un prisma rectangular.
A tiene una cara cuadrada que no forma pareja con ninguna otra cara.
B tiene un rectángulo que contacta con más de otro rectángulo a lo largo de uno de sus bordes, por lo que no se puede plegar en un poliedro.
D no tiene suficientes caras para formar un poliedro cerrado.

2. Solo D se puede plegar en un prisma triangular.
A es imposible de doblar de manera que los triángulos estén en lados opuestos.
B y C son imposibles de doblar de modo que todos los lados de cada cara estén en contacto con otra cara.

Una red de pirámide tiene un polígono que es la base. El resto de polígonos son triángulos. Aquí se muestra una pirámide pentagonal y su red.

Una red de prisma tiene dos copias del polígono que es la base. El resto de polígonos son rectángulos. Aquí se muestra un prisma pentagonal y su red.

En un prisma rectangular, hay tres pares de rectángulos idénticos y paralelos. Cualquier par de estos rectángulos idénticos puede ser la base.

Debido a que una red muestra todas las caras de un poliedro, podemos usarla para encontrar su área de superficie.
Por ejemplo, la red de un prisma rectangular muestra tres pares de rectángulos: 4 unidades por 2 unidades, 3 unidades por 2 unidades y 4 unidades por 3 unidades.

El área de la superficie del prisma rectangular es 52 unidades cuadradas porque 8 + 8 + 6 + 6 + 12 + 12 = 52.

1. ¿Se puede ensamblar la siguiente red en un cubo? Explica cómo lo sabes. Etiquete las partes de la red con letras o números si esto ayuda a su explicación.

Esta red no poder ser ensamblado en un cubo. Los cuadrados 1 y 6 siempre se superpondrán entre sí.

2. a. ¿Qué poliedro se puede ensamblar a partir de esta red? Explica cómo lo sabes.
B. Encuentra el área de la superficie de este poliedro. Muestre su razonamiento.

un. Esta red se puede ensamblar en un prisma triangular. Hay dos triángulos congruentes que son las bases y tres rectángulos para conectar las bases.

B. Las caras que tienen la misma área se han sombreado del mismo color. Las caras rectangulares contiguas también se pueden considerar como un rectángulo grande para simplificar los cálculos.

El área de este poliedro es (5 & # 215 4) + (5 & # 215 3) + (5 & # 215 5) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 72 unidades cuadradas
O (5 & # 215 12) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 72 unidades cuadradas

También son posibles otras estrategias.

3. Aquí hay dos redes. Mai dijo que ambas redes se pueden ensamblar en el mismo prisma triangular. ¿Estás de acuerdo? Explique o muestre su razonamiento.

Mai tiene razón. En ambas redes, los rectángulos se pueden plegar para tocar cada borde de ambas bases triangulares.

4. Aquí hay dos figuras tridimensionales.

Indique si cada una de las siguientes afirmaciones describe la Figura A, la Figura B, ambas o ninguna.

un. Esta figura es un poliedro.
B. Esta figura tiene caras triangulares.
C. Hay más vértices que aristas en esta figura.
D. Esta figura tiene caras rectangulares.
mi. Esta figura es una pirámide.
F. Hay exactamente una cara que puede ser la base de esta figura.
gramo. La base de esta figura es un triángulo.
h. Esta figura tiene dos caras idénticas y paralelas que pueden ser la base.

un. Ambas, ambas figuras son poliedros.
B. Ambos: la figura A es un prisma triangular y la figura B es una pirámide triangular.
C. Ninguno, ambas figuras tienen más aristas que vértices.
D. Figura A
mi. Figura B
F. Ninguna: la figura A es un prisma y tiene dos bases. Cualquier cara de una pirámide triangular como la Figura B puede ser su base.
gramo. Ambos: la figura A es un prisma triangular con dos bases triangulares y la figura B es una pirámide triangular con una base triangular.
h. Figura A: esta es una característica de un prisma.

5. Seleccione todas las unidades que se pueden usar para el área de la superficie. Explique por qué los otros no se pueden usar para el área de la superficie.

A. metros cuadrados
B. pies
C. centímetros
D. pulgadas cúbicas
E. pulgadas cuadradas
F. pies cuadrados

A, E y F son todas unidades que se pueden usar para el área de superficie, ya que son unidades cuadradas (bidimensionales).
B y C no se pueden utilizar ya que son unidades de largo. D no se puede utilizar porque es una unidad cúbica, una unidad de volumen (tridimensional).

6. Calcula el área de este polígono. Muestre su razonamiento.

El polígono se puede dividir en 3 triángulos y 1 rectángulo.

El área total de estas formas y el área del polígono es 2 (& frac12 & # 215 2 & # 215 3) + (& frac12 & # 215 6 & # 215 3) + (6 & # 215 3) = 33 cuadrado unidades.

El plan de estudios de matemáticas de Open Up Resources se puede descargar gratis del sitio web de Open Up Resources y también está disponible en Illustrative Mathematics.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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Forma de área y área de superficie

Sea $ r (u, v) $ la superficie parametrizada, luego $ r_u $ y $ r_v $ son los vectores tangentes, y el vector normal unitario es $ n = frac< izquierda | r_u times r_v right |> $ Ahora, de acuerdo con la referencia, el elemento del área de la superficie es $ sigma = left | r_u times r_v right | du wedge dv $, queremos mostrar que $ sigma = omega $, es decir, dados dos vectores cualesquiera $ xi $ y $ eta $, queremos mostrar que $ left | r_u times r_v right | du wedge dv ( xi, eta ) = det (n, xi, eta) $ Dado que ambas funciones son multilineales y simétricas sesgadas, solo necesitamos verificar la igualdad sobre la base $ r_u wedge r_v $. Es decir, conecte $ xi = r_u $ y $ eta = r_v $ obtenemos $ LHS = left | r_u times r_v right | $ y $ RHS = det ( frac< izquierda | r_u times r_v right |>, r_u, r_v) $ $ = frac< izquierda | r_u veces r_v right |> cdot (r_u times r_v) = frac < left | r_u times r_v right | ^ 2> < left | r_u times r_v right |> $ $ = LHS $ Consulte Producto triple para ver cómo el determinante se convierte en producto triple.


Prismas

Un prisma es una figura tridimensional con un par de extremos o bases paralelos y congruentes. Los lados de un prisma son paralelogramos. Los prismas se identifican por sus bases.

Área de superficie de un prisma usando redes

Los prismas de arriba son prismas rectos. En un prisma recto, los lados laterales son perpendiculares a las bases del prisma. Compare un prisma derecho con un prisma oblicuo, en el que los lados y las bases no son perpendiculares.

Dos postulados que se aplican al área son el Postulado de Congruencia de Área y el Postulado de Suma de Área.

Puedes usar una red y el Postulado de suma de áreas para encontrar el área de la superficie de un prisma recto.

En la red, se puede ver que el área de la superficie de todo el prisma es igual a la suma de las cifras que componen la red:

Superficie total = superficie A + área B + área C + área D + área mi + área F

Usando la fórmula para el área de un rectángulo, puede ver que el área del rectángulo A es:

A = l · w
A = 10 · 5 = 50 unidades cuadradas

De manera similar, las áreas de los otros rectángulos se vuelven a insertar en la ecuación anterior.

Superficie total = superficie A + área B + área C + área D + área mi + área F
Superficie total = (10 · 5) + (10 · 3) + (10 · 5) + (10 · 3) + (5 · 3) + (5 · 3)
Superficie total = 50 + 30 + 50 + 30 + 15 + 15
Superficie total = 190 unidades cuadradas

Ejemplo 3

Usa una red para encontrar el área de la superficie del prisma.

El área de la red es igual al área de la superficie de la figura. Para encontrar el área del triángulo, usamos la fórmula:

Tenga en cuenta que los triángulos A y mi son congruentes, por lo que podemos multiplicar el área del triángulo A por 2.

[látex] Displaystyle text= textoA + textoB + textoC + textoD + textoE [/ látex]
[látex] Displaystyle text <> = 2 ( textA) + textoB + textoC + textoD [/ látex]
[látex] Displaystyle text <> = 2 [ frac <1> <2> (9 cdot <12>)] + (6 cdot9) + (6 cdot12) + (6 cdot12) [ /látex]
[látex] Displaystyle text <> = 108 + 54 + 72 + 90 = 324 [/ látex]

Por lo tanto, el área de la superficie es de 324 unidades cuadradas.

Ejercicios de repaso

Para cada uno de los siguientes, encuentre la superficie usando el método de redes y el perímetro

  1. La base de un prisma es un triángulo rectángulo cuyos catetos son 3 y 4 y muestran una altura de 20. ¿Cuál es el área total del prisma?
  2. Un prisma hexagonal derecho mide 24 pulgadas de alto y tiene bases que son hexágonos regulares que miden 8 pulgadas de lado. ¿Cuál es la superficie total?
  3. ¿Cuál es el volumen del prisma en el problema n. ° 4?

En las siguientes preguntas, un granero tiene la forma de un prisma pentagonal con dimensiones que se muestran en pies:

  1. ¿Cuántos pies cuadrados (excluyendo el techo) hay en la superficie del granero que se va a pintar?
  2. Si un galón de pintura cubre 250 pies cuadrados, ¿cuántos galones de pintura se necesitan para pintar el granero?
  3. Una caja de cartón es un cubo perfecto con un borde que mide 17 pulgadas. ¿Cuántos pies cúbicos puede contener?
  4. Una piscina tiene 16 pies de ancho, 32 pies de largo y uniformemente 4 pies de profundidad. ¿Cuántos pies cúbicos de agua puede contener?
  5. Una caja de cereal tiene 25 cm de largo, 9 cm de ancho y 30 cm de alto. ¿Cuánto cereal puede contener?

Respuestas

  1. 40,5 en 2
  2. 838 cm 2
  3. 252 unidades cuadradas
  4. 1484.6 unidades cuadradas
  5. 3990.7 pulgadas cúbicas
  1. 2450 pies cuadrados
  2. 10 galones de pintura
  3. 2,85 pies cúbicos (tenga cuidado aquí. Las unidades del problema se dan en pulgadas, pero la pregunta se refiere a pies).
  4. 2048 pies cúbicos
  5. 6750 cm 3

Forma geométrica de prismas rectangulares

Figura 10: Prismas rectangulares con capas de cubos

Mis alumnos entenderán que el espacio dentro de una forma sólida como un prisma rectangular se llama volumen. Haré que mis alumnos examinen ejemplos de sólidos geométricos de la vida real, para que puedan entender el volumen: cajas de cereal (prismas rectangulares), latas de refresco (cilindros o prismas circulares), cono de helado (cono). Compararé y contrastaré las áreas de superficie y los volúmenes de estos sólidos para que podamos comenzar a comprender los diferentes aspectos de las fórmulas: largo, ancho y alto. Los estudiantes aprenderán el volumen de los prismas rectangulares contando la cantidad de cubos necesarios para llenar el prisma, comenzando con una capa rectangular en la parte inferior y trabajando, capa por capa, hasta la cantidad de capas necesarias para llenar hasta la parte superior del prisma (ver figura 10). Esta representación visual del volumen usando capas de arreglos rectangulares de bloques de conteo ayudará a los estudiantes a comenzar a usar fórmulas para el volumen V = L & # 8729 W & # 8729 H. Enfatizaré la analogía con el área de un rectángulo. El proceso es similar, pero ahora hay una tercera dimensión de la que preocuparse.


Consulta de volumen y superficie

Procesos de investigación matemática: Explore la razón de casos particulares de prueba. Campo conceptual de investigación: Sólidos geométricos del volumen del área superficial.

Aunque la indicación es falsa, a menudo los estudiantes necesitan algo de tiempo para encontrar un contraejemplo. Las clases han decidido explorar cuboides & # 39pequeños & # 39 dibujando representaciones bidimensionales de los cuboides (en papel isométrico) y sus redes. La conclusión sigue que la afirmación es verdadera. Sin embargo, el volumen y el área de la superficie de un cubo con una longitud de lado de 6 unidades son numéricamente iguales. Los cuboides más grandes muestran que la afirmación es falsa.

Zane Latve , un profesor de matemáticas en Letonia, publicó este comentario sobre la investigación en Twitter.

Esta es otra indagación que les enseña a los estudiantes a pensar estructura del objeto matemático en cuestión. Como comentó un estudiante, "Necesitamos visualizar un caso en el que el espacio dentro del cuboide se agranda mientras que el área de la superficie permanece lo más pequeña posible". Esto ocurre cuando el cuboide se hace "más compacto", es decir, cuando los valores de las tres dimensiones se acercan entre sí.

Un punto importante a destacar en esta investigación (hecho ocasionalmente por un estudiante en el fase de orientación de la investigación) es que estamos comparando dos unidades de medida diferentes, una observación que puede llevar a una discusión productiva sobre las dimensiones.

En la fase inicial de la investigación, el profesor puede sugerir que se impongan condiciones limitantes a los cuboides que dibujan los alumnos. La clase podría estar de acuerdo en que, por ejemplo, la longitud ( l ) + ancho ( w ) + altura ( h ) = 10, cambiando el número a medida que avanza la consulta. Si bien la restricción hace que los cálculos sean manejables para los estudiantes, les niega, al menos a corto plazo, la oportunidad de mostrar la indicación es falsa.

Es poco probable que los estudiantes sugieran un enfoque algebraico de forma espontánea, pero podrían adoptar uno cuando se les muestre después de una etapa concreta inicial. Hacer iguales las fórmulas para el volumen y el área de superficie de un cuboide conduce a una exploración numérica: ¿Es posible encontrar valores de l , w y h , tal que lwh = 2( lw + lh + wh ).

En el aula, los estudiantes han sugerido ampliar la investigación considerando otros sólidos. Los cilindros pueden ser más fáciles de usar que los prismas triangulares porque estos últimos requieren el conocimiento del teorema de Pitágoras para calcular el área de la superficie con precisión. Los estudiantes de secundaria mayores han extendido sus investigaciones a pirámides e incluso esferas. Es mucho más probable que empleen un enfoque algebraico.

La imagen muestra las preguntas y observaciones de una clase de Year 10 en Escuela de Haverstock (Camden, Londres, Reino Unido). La investigación comenzó con un período de exploración durante el cual los estudiantes intentaron encontrar un contraejemplo de la contención en la pregunta. Sin embargo, la investigación fue seguir un nuevo camino después de que un par de estudiantes notaron que, para un cuboide con dimensiones l = 5, w = 5 y h = 10, el valor numérico del volumen es igual al de la superficie. El descubrimiento abrió el camino a los estudiantes que buscaban otros ejemplos en los que l = w . Por ejemplo, cuando l = w = 8

La clase luego pasó a las declaraciones generales de la relación entre norte y h Cuándo l = w = norte y otros casos cuando l = norte y w es igual a un múltiplo de norte . Los estudiantes ampliaron la investigación para incorporar otros sólidos, adoptando un enfoque algebraico consistente para deducir la relación entre las dimensiones cuando el volumen es igual al área de la superficie.

Rachel Mahoney blogs sobre el uso de la indicación con su clase de séptimo año aquí . Ella comenta cómo & quot; el valor que los estudiantes obtienen de las lecciones de Inquiry Maths es fantástico y me encanta que les haga pensar por sí mismos y les anime a hacer preguntas & quot. comenzando a hacer vínculos y conjeturas & quot mientras que al mismo tiempo practicaban cómo calcular el volumen y el área de superficie de los cuboides. Al final del blog, puede encontrar los recursos que Rachel preparó para la lección.

James Thorpe probó la pauta con su clase de décimo año (serie 4). Las respuestas y preguntas de los estudiantes se muestran arriba. James informa que algunos estudiantes, al principio, se mostraron un poco escépticos sobre el proceso de indagación, pero demostraron la capacidad de recuperación para que la indagación fuera un éxito. James estaba ansioso por elogiar a la clase: "Los estudiantes fueron fantásticos y orgullosos de refutar el mensaje. La parte realmente agradable fue cuando un estudiante hizo esta pregunta: & # 39¿Y si el área de superficie y el volumen son iguales? & # 39 ¡Estaba orgulloso de los niños! & Quot.

James también probó la pauta con su parte inferior en el año 11. Nuevamente, los estudiantes lograron refutar la pauta y pasaron a considerar qué tipo de cuboides serían contraejemplos. James comentó sobre el tipo de aprendizaje que se produjo durante la investigación: "Como herramienta para aprender, repasar y practicar las habilidades de área y volumen, la investigación fue excelente y también llevó las habilidades de pensamiento de los estudiantes más allá".

En el momento de la consulta, Jaime fue profesor de matemáticas en John Taylor High School, Staffordshire (Reino Unido).

Matthew Bernstein , un maestro de una clase de grado 5/6 en la Escuela Pública Fred Varley (Markham, Ontario), publicó las imágenes a continuación en gorjeo . Muestran a los estudiantes las preguntas iniciales y la exploración de la pauta. Matthew informa que, & quotLos estudiantes estaban mirando los conceptos de volumen y área de superficie por primera vez este año y pudieron descubrir mucho. Utilizaron dibujos, mosaicos magnéticos y gráficos para mostrar su pensamiento. Además, los estudiantes no solo pudieron probar que la declaración era falsa, sino que también pudieron desarrollar una regla para la situación simplemente jugando con la aritmética, que es la intención de la pregunta (vea más imágenes a continuación). dibujado y nos llevó a ideas sobre notaciones para unidades al cubo y al cuadrado. Me impresionó su trabajo. & Quot

Estas son las preguntas y observaciones iniciales de las clases de rendimiento mixto de octavo año. El vías de consulta que podrían desarrollarse a partir de estas preguntas y comentarios incluyen:

Discusión o instrucción sobre los significados de volumen y área de superficie y cómo calcularlos.

Distinguir entre área y volumen y sus unidades de medida

Desarrollar y usar una fórmula para el área de superficie y el volumen de un cuboide

Dibujar representaciones bidimensionales de cuboides en papel isométrico y sus redes en papel cuadriculado

La verificación de la contención en la solicitud es válida para cuboides y cubos

Encontrar contraejemplos y explicar el & # 39tipo & # 39 de cuboide que muestra que el argumento es falso


Estrategias para enseñar matemáticas elementales

Área de superficie : En general, el área de la superficie es la suma de todas las áreas de todas las formas que cubren la superficie del objeto.

Para que los estudiantes comprendan el área de la superficie, primero deben comprender conceptos como base, altura, diámetro, radio, pi, etc.

El área de la superficie puede ser un concepto desafiante para los estudiantes debido a las diferentes fórmulas que se utilizan al tratar con diferentes formas geométricas.

http://www.math.com/tables/geometry/surfareas.htm -Este es un enlace a un sitio web que enumera las fórmulas para encontrar el área de superficie de formas específicas.

Aquí están los enlaces al plan de estudios básico del estado de Utah para la superficie de enseñanza.

http://www.uen.org/core/core.do?courseNum=5060 -Núcleo de quinto grado para la superficie. Se encuentra en el Estándar 4.

http://www.uen.org/core/core.do?courseNum=5050 -Núcleo de sexto grado para la superficie. También se encuentra en el Estándar 4.

El estándar de NCTM para 5 ° grado se enumera así:

Geometría y medición y álgebra: Describir formas tridimensionales y analizar sus propiedades, incluido el volumen y el área de la superficie.
Los estudiantes relacionan formas bidimensionales con formas tridimensionales y analizan las propiedades de los sólidos poliédricos, describiéndolos por el número de aristas, caras o vértices, así como por los tipos de caras. Los estudiantes reconocen el volumen como un atributo del espacio tridimensional. Entienden que pueden cuantificar el volumen encontrando el número total de unidades de volumen del mismo tamaño que necesitan para llenar el espacio sin espacios ni superposiciones. Entienden que un cubo que tiene 1 unidad en un borde es la unidad estándar para medir el volumen. Seleccionan unidades, estrategias y herramientas apropiadas para resolver problemas que involucran estimar o medir el volumen. Descomponen formas tridimensionales y encuentran áreas de superficie y volúmenes de prismas. A medida que trabajan con el área de la superficie, encuentran y justifican las relaciones entre las fórmulas para las áreas de diferentes polígonos. Miden los atributos necesarios de las formas para usar fórmulas de área para resolver problemas. (http://www.nctm.org/standards/focalpoints.aspx?id=334)

Planes de lecciones -Aquí hay algunos enlaces a algunos sitios web que tienen grandes ideas para planes de lecciones de superficie:

Ocupaciones -Aquí hay algunos enlaces a algunos sitios web que tienen grandes actividades que se pueden utilizar para enseñar el área de la superficie. Los dos primeros enlaces son ideas especialmente buenas para enseñar el área de superficie de los cilindros.