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Dominio e imagen de una función.


El dominio de una función de A a B es siempre el conjunto inicial en sí mismo, es decir, D = A. Si un elemento x A está asociado con un elemento y B, decimos que y es un foto x (indique y = f (x) y lea "y es igual a f de x").

Observe el dominio y la imagen en la función a continuación.

Otro ejemplo: si f es una función de IN en IN (esto significa que dominio y contradicción son números naturales) definidos por y = x + 2, entonces tenemos que:

  • La imagen de 1 a f es 3, es decir, f (1) = 1 + 2 = 3;
  • La imagen de 2 a f es 4, es decir, f (2) = 2 + 2 = 4;

En general, la imagen de x a f es x + 2, es decir: f (x) = x + 2.

En una función f de A a B, los elementos de B que son imágenes de los elementos de A aplicando f forman el conjunto de imágenes de f. Según el concepto de función, hay dos condiciones para que una relación f sea una función:

1ª) El dominio siempre debe coincidir con el conjunto inicial, es decir cada elemento de A Es el punto de partida de la flecha. Si tenemos un elemento de Un de donde no sale ninguna flecha, la relación no es una función. 2ª) De cada elemento de Un debe irse un solo flecha Si de un elemento de Un Desde más de una flecha, la relación no es una función.

Observaciones:

  • Dado que xey tienen sus valores que varían en los conjuntos A y B, se denominan variables.
  • La variable x se llama variable independiente y la variable y, la variable dependiente, porque para obtener el valor de y dependemos de un valor de x.
  • Una función f se define cuando se dan su dominio (conjunto A), su contradicción (conjunto B) y la ley de asociación y = f (x).

Ejercicios resueltos

1) Considere la función f: A B representado por el siguiente diagrama:


Determinar:

a) el dominio (D) de f;
b) f (1), f (-3), f (3) yf (2);
c) el conjunto de imágenes (Im) de f;
d) la ley de asociación

Resolución:

a) El dominio es igual al conjunto inicial, es decir, D = A.
b) f (1) = 1, f (-3) = 9, f (3) = 9 yf (2) = 4.
c) El conjunto de imágenes está formado por todas las imágenes de los elementos del dominio, por lo tanto:
Im = {1,4,9}.
d) Como 12=1, (-3)2=9, 32= 9 y 22= 4, tenemos y = x2.

2) Dada la función f: IRIR (es decir, dominio y contradicción son números reales) definidos por f (x) = x2-5x + 6, calcular:

a) f (2), f (3) yf (0);
b) el valor de x cuya imagen vale 2.

Resolución:

a) f (2) = 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f (3) = 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f (0) = 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular el valor de x cuya imagen vale 2 es igual a resolver la ecuación f (x) = 2, es decir, x2-5x + 6 = 2. Usando la fórmula de Bhaskara encontramos las raíces 1 y 4. Por lo tanto, los valores de x que tienen la imagen 2 son 1 y 4.

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