Artículos

4.6: El método de coeficientes indeterminados I


En esta sección consideramos la ecuación de coeficiente constante

[ label {eq: 5.4.1} ay '' + by '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), ]

donde ( alpha ) es una constante y (G ) es un polinomio.

Del teorema 5.3.2, la solución general de la ecuación ref {eq: 5.4.1} es (y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2 ), donde (y_p ) es una solución particular de la ecuación ref {eq: 5.4.1} y ( {y_1, y_2 } ) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria

[ay '' + por '+ cy = 0. sin número ]

En la Sección 5.2 mostramos cómo encontrar ( {y_1, y_2 } ). En esta sección, mostraremos cómo encontrar (y_p ). El procedimiento que usaremos se llama el método de coeficientes indeterminados. Nuestro primer ejemplo es similar a Ejercicios 5.3.16-5.3.21.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.2} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}. ]

Luego encuentra la solución general.

Solución

Sustituir (y_p = Ae ^ {2x} ) por (y ) en la Ecuación ref {eq: 5.4.2} producirá un múltiplo constante de (Ae ^ {2x} ) en el lado izquierdo de la Ecuación ref {eq: 5.4.2}, por lo que puede ser posible elegir (A ) de modo que (y_p ) sea una solución de la Ecuación ref {eq: 5.4.2}. Vamos a intentarlo; si (y_p = Ae ^ {2x} ) entonces

[y_p '' - 7y_p '+ 12y_p = 4Ae ^ {2x} -14Ae ^ {2x} + 12Ae ^ {2x} = 2Ae ^ {2x} = 4e ^ {2x} nonumber ]

si (A = 2 ). Por lo tanto, (y_p = 2e ^ {2x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.2}. Para encontrar la solución general, observamos que el polinomio característico de la ecuación complementaria

[ label {eq: 5.4.3} y '' - 7y '+ 12y = 0 ]

es (p (r) = r ^ 2-7r + 12 = (r-3) (r-4) ), entonces ( {e ^ {3x}, e ^ {4x} } ) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.3}. Por tanto, la solución general de la Ecuación ref {eq: 5.4.2} es

[y = 2e ^ {2x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x}. sin número]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.4} y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. ]

Luego encuentra la solución general.

Solución

Recién salido de nuestro éxito al encontrar una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.2} - donde elegimos (y_p = Ae ^ {2x} ) porque el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 5.4.2} es un múltiplo constante de (e ^ {2x} ); puede parecer razonable probar (y_p = Ae ^ {4x} ) como una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}. Sin embargo, esto no funcionará, ya que vimos en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) que (e ^ {4x} ) es una solución de la ecuación complementaria Ecuación ref {eq: 5.4.3}, entonces sustituyendo (y_p = Ae ^ {4x} ) en el lado izquierdo de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}) produce cero a la izquierda, sin importar cómo elijamos (A ). Para descubrir una forma adecuada para (y_p ), usamos el mismo enfoque que usamos en la sección 5.2 para encontrar una segunda solución de

[ay '' + por '+ cy = 0 nonumber ]

en el caso donde la ecuación característica tiene una raíz real repetida: buscamos soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.4} en la forma (y = ue ^ {4x} ), donde (u ) es una función por determinar. Sustituyendo

[ label {eq: 5.4.5} y = ue ^ {4x}, quad y '= u'e ^ {4x} + 4ue ^ {4x}, quad text {y} quad y' ' = u''e ^ {4x} + 8u'e ^ {4x} + 16ue ^ {4x} ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.4} y cancelar el factor común (e ^ {4x} ) produce

[(u '' + 8u '+ 16u) -7 (u' + 4u) + 12u = 5, nonumber ]

o

[u '' + u '= 5. sin número]

Por inspección, vemos que (u_p = 5x ) es una solución particular de esta ecuación, entonces (y_p = 5xe ^ {4x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}. Por lo tanto

[y = 5xe ^ {4x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x} nonumber ]

es la solución general.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.6} y '' - 8y '+ 16y = 2e ^ {4x}. ]

Solución

Dado que el polinomio característico de la ecuación complementaria

[ label {eq: 5.4.7} y '' - 8y '+ 16y = 0 ]

es (p (r) = r ^ 2-8r + 16 = (r-4) ^ 2 ), tanto (y_1 = e ^ {4x} ) como (y_2 = xe ^ {4x} ) son soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.7}. Por lo tanto, la Ecuación ref {eq: 5.4.6}) no tiene una solución de la forma (y_p = Ae ^ {4x} ) o (y_p = Ax ^ {4x} ). Como en el Ejemplo ( PageIndex {2} ), buscamos soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.6} en la forma (y = ue ^ {4x} ), donde (u ) es una función por determinar. Sustituyendo de la Ecuación ref {eq: 5.4.5} en la Ecuación ref {eq: 5.4.6} y cancelando el factor común (e ^ {4x} ) da como resultado

[(u '' + 8u '+ 16u) -8 (u' + 4u) + 16u = 2, nonumber ]

o

[u '' = 2. sin número]

Integrar dos veces y tomar las constantes de integración como cero muestra que (u_p = x ^ 2 ) es una solución particular de esta ecuación, por lo que (y_p = x ^ 2e ^ {4x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}. Por lo tanto

[y = e ^ {4x} (x ^ 2 + c_1 + c_2x) nonumber ]

es la solución general.

Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relacionados con la forma de una solución particular (y_p ) de una ecuación de coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

donde (k ) es una constante distinta de cero:

  1. Si (e ^ { alpha x} ) no es una solución de la ecuación complementaria [ label {eq: 5.4.8} ay '' + by '+ cy = 0, ] entonces (y_p = Ae ^ { alpha x} ), donde (A ) es una constante. (Ver Ejemplo ( PageIndex {1} )).
  2. Si (e ^ { alpha x} ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.4.8} pero (xe ^ { alpha x} ) no lo es, entonces (y_p = Ax ^ { alpha x} ), donde (A ) es una constante. (Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).)
  3. Si tanto (e ^ { alpha x} ) como (xe ^ { alpha x} ) son soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.8}, entonces (y_p = Ax ^ 2e ^ { alpha x} ), donde (A ) es una constante. (Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).)

Ver Ejercicio 5.4.30 por las pruebas de estos hechos.

En los tres casos, puede simplemente sustituir la forma apropiada para (y_p ) y sus derivadas directamente en

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

y resuelva para la constante (A ), como hicimos en el Ejemplo ( PageIndex {1} ). (Ver Ejercicios 5.4.31-5.4.33.) Sin embargo, si la ecuación es

[ay '' + por '+ cy = k e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

donde (G ) es un polinomio de grado mayor que cero, le recomendamos que utilice la sustitución (y = ue ^ { alpha x} ) como hicimos en los Ejemplos ( PageIndex {2} ) y ( PageIndex {3} ). La ecuación para (u ) resultará ser

[ label {eq: 5.4.9} au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), ]

donde (p (r) = ar ^ 2 + br + c ) es el polinomio característico de la ecuación complementaria y (p '(r) = 2ar + b ) (Ejercicio 5.4.30); sin embargo, no debes memorizar esto ya que es fácil derivar la ecuación para (u ) en cualquier caso particular. Sin embargo, tenga en cuenta que si (e ^ { alpha x} ) es una solución de la ecuación complementaria, entonces (p ( alpha) = 0 ), por lo que la ecuación ref {eq: 5.4.9} se reduce a

[au '' + p '( alpha) u' = G (x), nonumber ]

mientras que si tanto (e ^ { alpha x} ) como (xe ^ { alpha x} ) son soluciones de la ecuación complementaria, entonces (p (r) = a (r- alpha) ^ 2 ) y (p '(r) = 2a (r- alpha) ), entonces (p ( alpha) = p' ( alpha) = 0 ) y Ecuación ref {eq: 5.4.9} ) reduce a

[au '' = G (x). sin número]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.10} y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} (- 1 + 2x + x ^ 2). ]

Solución

Sustituyendo

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {y} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.10}) y cancelando (e ^ {3x} ) produce

[(u '' + 6u '+ 9u) -3 (u' + 3u) + 2u = -1 + 2x + x ^ 2, nonumber ]

o

[ label {eq: 5.4.11} u '' + 3u '+ 2u = -1 + 2x + x ^ 2. ]

Como en el ejemplo 5.3.2, para adivinar una forma para una solución particular de la ecuación ref {eq: 5.4.11}), notamos que al sustituir un polinomio de segundo grado (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) para (u ) en el lado izquierdo de la ecuación ref {eq: 5.4.11}) produce otro polinomio de segundo grado con coeficientes que dependen de (A ), (B ) y (C ); por lo tanto,

[ text {si} quad u_p = A + Bx + Cx ^ 2 quad text {entonces} quad u_p '= B + 2Cx quad text {y} quad u_p' '= 2C. sin número]

Si (u_p ) debe satisfacer la Ecuación ref {eq: 5.4.11}), debemos tener

[ begin {alineado} u_p '' + 3u_p '+ 2u_p & = 2C + 3 (B + 2Cx) +2 (A + Bx + Cx ^ 2) & = (2C + 3B + 2A) + (6C + 2B) x + 2Cx ^ 2 = -1 + 2x + x ^ 2. End {alineado} nonumber ]

Al igualar coeficientes de potencias iguales de (x ) en los dos lados de la última igualdad se obtiene

[ begin {array} {rcr} 2C & = 1 phantom {.} 2B + 6C & = 2 phantom {.} 2A + 3B + 2C & = -1. end {matriz} nonumber ]

Resolviendo estas ecuaciones para (C ), (B ) y (A ) (en ese orden) se obtiene (C = 1/2, B = -1 / 2, A = -1 / 4 ). Por lo tanto

[u_p = - {1 over4} (1 + 2x-2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.11}, y

[y_p = u_pe ^ {3x} = - {e ^ {3x} over4} (1 + 2x-2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.10}.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.12} y '' - 4y '+ 3y = e ^ {3x} (6 + 8x + 12x ^ 2). ]

Solución

Sustituyendo

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {y} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.12}) y cancelando (e ^ {3x} ) produce

[(u '' + 6u '+ 9u) -4 (u' + 3u) + 3u = 6 + 8x + 12x ^ 2, nonumber ]

o

[ label {eq: 5.4.13} u '' + 2u '= 6 + 8x + 12x ^ 2. ]

No hay término (u ) en esta ecuación, ya que (e ^ {3x} ) es una solución de la ecuación complementaria para la Ecuación ref {eq: 5.4.12}). (Ver Ejercicio 5.4.30.) Por lo tanto, la Ecuación ref {eq: 5.4.13}) no tiene una solución particular de la forma (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) que usamos con éxito en el Ejemplo ( PageIndex {4} ), ya que con esta elección de (u_p ),

[u_p '' + 2u_p '= 2C + (B + 2Cx) nonumber ]

no puede contener el último término ( (12x ^ 2 )) en el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 5.4.13}). En su lugar, intentemos (u_p = Ax + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 ) con el argumento de que

[u_p '= A + 2Bx + 3Cx ^ 2 quad text {y} quad u_p' '= 2B + 6Cx nonumber ]

juntos contienen todas las potencias de (x ) que aparecen en el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 5.4.13}).

Sustituyendo estas expresiones en lugar de (u ') y (u' ') en la ecuación ref {eq: 5.4.13}) se obtiene

[(2B + 6Cx) +2 (A + 2Bx + 3Cx ^ 2) = (2B + 2A) + (6C + 4B) x + 6Cx ^ 2 = 6 + 8x + 12x ^ 2. sin número]

La comparación de coeficientes de potencias semejantes de (x ) en los dos lados de la última igualdad muestra que (u_p ) satisface la Ecuación ref {eq: 5.4.13}) si

[ begin {array} {rcr} 6C & = 12 phantom {.} 4B + 6C & = 8 phantom {.} 2A + 2B phantom {+ 6u_2} & = 6. end {matriz} nonumber ]

Resolver estas ecuaciones sucesivamente produce (C = 2 ), (B = -1 ) y (A = 4 ). Por lo tanto

[u_p = x (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.13}), y

[y_p = u_pe ^ {3x} = xe ^ {3x} (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.12}).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.14} 4y '' + 4y '+ y = e ^ {- x / 2} (- 8 + 48x + 144x ^ 2). ]

Solución

Sustituyendo

[y = ue ^ {- x / 2}, quad y '= u'e ^ {- x / 2} - {1 over2} ue ^ {- x / 2}, quad text {y} quad y '' = u''e ^ {- x / 2} -u'e ^ {- x / 2} + {1 over4} ue ^ {- x / 2} nonumber ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.14}) y cancelando (e ^ {- x / 2} ) produce

[4 left (u '' - u '+ {u over4} right) +4 left (u' - {u over2} right) + u = 4u '' = - 8 + 48x + 144x ^ 2, nonumber ]

o

[ label {eq: 5.4.15} u '' = - 2 + 12x + 36x ^ 2, ]

que no contiene (u ) o (u ') porque (e ^ {- x / 2} ) y (xe ^ {- x / 2} ) son ambas soluciones de la ecuación complementaria. (Ver Ejercicio 5.4.30.) Para obtener una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.15}) integramos dos veces, tomando las constantes de integración como cero; por lo tanto,

[u_p '= - 2x + 6x ^ 2 + 12x ^ 3 quad text {y} quad u_p = -x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 = x ^ 2 (-1 + 2x + 3x ^ 2). Nonumber ]

Por lo tanto

[y_p = u_pe ^ {- x / 2} = x ^ 2e ^ {- x / 2} (- 1 + 2x + 3x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.14}).

Resumen

Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relacionados con soluciones particulares de una ecuación de coeficiente constante de la forma

[ay '' + por '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

donde (G ) es un polinomio (ver Ejercicio 5.4.30):

  1. Si (e ^ { alpha x} ) no es una solución de la ecuación complementaria [ label {eq: 5.4.16} ay '' + by '+ cy = 0, ] entonces (y_p = e ^ { alpha x} Q (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ). (Ver Ejemplo ( PageIndex {4} )).
  2. Si (e ^ { alpha x} ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.4.16} pero (xe ^ { alpha x} ) no lo es, entonces (y_p = xe ^ { alpha x} Q (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ). (Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).)
  3. Si tanto (e ^ { alpha x} ) como (xe ^ { alpha x} ) son soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.16}, entonces (y_p = x ^ 2e ^ { alpha x} Q (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ). (Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).)

En los tres casos, puede simplemente sustituir la forma apropiada para (y_p ) y sus derivadas directamente en

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

y resuelve los coeficientes del polinomio (Q ). Sin embargo, si intenta esto, verá que los cálculos son más tediosos que los que encuentra al hacer la sustitución (y = ue ^ { alpha x} ) y encontrar una solución particular de la ecuación resultante para (u ). (Ver Ejercicios 5.4.34-5.4.36.) En el caso (a) la ecuación para (u ) será de la forma

[au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), nonumber ]

con una solución particular de la forma (u_p = Q (x) ), un polinomio del mismo grado que (G ), cuyos coeficientes se pueden encontrar mediante el método utilizado en el Ejemplo ( PageIndex {4} ). En el caso (b) la ecuación para (u ) será de la forma

[au '' + p '( alpha) u' = G (x) nonumber ]

(ningún término (u ) a la izquierda), con una solución particular de la forma (u_p = xQ (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ) cuyos coeficientes se pueden encontrar mediante el método utilizado en el Ejemplo ( PageIndex {5} ). En el caso (c), la ecuación para (u ) será de la forma

[au '' = G (x) nonumber ]

con una solución particular de la forma (u_p = x ^ 2Q (x) ) que se puede obtener integrando (G (x) / a ) dos veces y tomando las constantes de integración como cero, como en el Ejemplo ( PageIndex {6} ).

Usando el principio de superposición

El siguiente ejemplo muestra cómo combinar el método de coeficientes indeterminados y el Teorema 5.3.3, el principio de superposición.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.17} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x} + 5e ^ {4x}. ]

Solución

En el ejemplo ( PageIndex {1} ) encontramos que (y_ {p_1} = 2e ^ {2x} ) es una solución particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}, nonumber ]

y en el Ejemplo ( PageIndex {2} ) encontramos que (y_ {p_2} = 5xe ^ {4x} ) es una solución particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. sin número]

Por lo tanto, el principio de superposición implica que (y_p = 2e ^ {2x} + 5xe ^ {4x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.17}).


Ver el vídeo: Método por coeficientes indeterminados (Enero 2022).