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3.3: Desigualdades en valores absolutos - Matemáticas


3.3: Desigualdades en valores absolutos - Matemáticas

Ecuaciones de valor absoluto y desigualdades

Valor absoluto (o módulo) representado por | x | de un número real x es el valor no negativo de x sin tener en cuenta su signo.

Valor absoluto de -3 = & gt | -3 | = 3
Valor absoluto de 7 = & gt | 7 | = 7

¿Valor absoluto como distancia?

También podemos pensar en el valor absoluto de un número como su distancia desde cero. Por ejemplo, considere esta recta numérica,

Aquí, el número entero 3 está a una distancia de 3 unidades del número 0. De manera similar, el número -3 también está a una distancia de 3 unidades del 0. Dado que la distancia es siempre positiva, podemos decir que,

La distancia de 3 desde 0 = & gt | 3 | = 3 y amperio
La distancia de -3 desde 0 = & gt | -3 | = 3

Ahora, si | x | = 3, entonces x está a una distancia de 3 unidades de 0. De la recta numérica, obtenemos que el absoluto de x = 3 o x = -3

En general, si | x | = a = & gt x = a o x = -a. (Dado que x está a una distancia de & # 8216a & # 8217 unidades de 0).

Si | x | = a es la distancia de x desde 0, entonces, ¿cuál es | x-a |?

La distancia de x desde un número & # 8216a & # 8217 en la recta numérica se puede representar mediante | x-a |.

1. Resuelve la ecuación | x-2 | = 3.
| x-2 | = 3 implica que x está a una distancia de 3 unidades de 2. Representando esto en la recta numérica,

Los números en la recta numérica que están a una distancia de 3 unidades del 2 son 5 y -1. Por lo tanto, x = 5 o x = -1 son los valores de la ecuación | x-2 | = 3.

2. Resuelve la desigualdad | x-2 | & lt 3
| x-2 | = 3 implica que x está a menos de 3 unidades de 2. Representando esto en la recta numérica,

De la recta numérica, vemos que todos los puntos entre -1 y 5 están a una distancia menor de 3 unidades de 2. Por lo tanto, los valores tomados por x están dados por -1 & lt x & lt 5.

Si sabe lo que es | x | = a, ¿puede explicar qué se entiende por | x-a | + | x-b | ?

De nuestra comprensión del valor absoluto hasta ahora, sabemos que
| x & # 8211 a | representa la distancia de x desde a. Del mismo modo | x & # 8211 b | representa la distancia de x desde b. Lo que implica que | x-a | + | x-b | es la suma de las distancias de x desde ayb! :). Esto es evidente en la recta numérica,

Resuelva para x, | x + 2 | + | x-3 | = 7
= & gt | x - (- 2) | + | x-3 | = 7
es decir, tenemos que calcular la suma de las distancias de x desde -2 y 3.

Representando esto en la recta numérica,
/>

De la imagen, vemos que 4 está a una distancia de 1 unidad de 3 y 6 unidades de -2. Por tanto, la suma de las distancias de 4 a 3 y -2 es 7.
De manera similar, la suma de las distancias de -3 a 4 y 3 es 7.

Por lo tanto, x = 4 o x = -3 son los valores de la ecuación | x + 2 | + | x-3 | = 7.

¿Cuándo es mínima la distancia de x desde & # 8216a & # 8217 y & # 8216b & # 8217?

Sabemos que la suma de las distancias de x desde ayb se representa en términos de valor absoluto por | x & # 8211 a | + | x & # 8211 b |.

Ahora, | x & # 8211 a | + | x & # 8211 b | es mínimo cuando x se encuentra entre ay b. El valor mínimo viene dado por | b-a |.

¿Cuál es el valor mínimo de | x + 2 | + | x-3 |?
= & gt Valor mínimo = | 3 - (- 2) | = 5, que ocurre para -2 ≤ x ≤ 3


Ecuaciones de valor absoluto y desigualdades - Ayuda de asignación de matemáticas


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Preguntas

Para las preguntas 1 a 33, resuelve cada desigualdad, representa gráficamente su solución y da la notación de intervalo.

  1. & gt
  2. & gt
  3. & gt
  4. & gt
  5. & gt
  6. & gt
  7. & gt
  8. & gt

& lta href = & # 8221 / intervalalgebraberg / back-matter / answer-key-4-3 / & # 8221 & gt Clave de respuesta 4.3


Queja de DMCA

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El valor absoluto de cualquier número es cero (0) o positivo, que nunca puede ser menor o igual a un número negativo.

La respuesta a este caso es siempre sin solución .

El valor absoluto de cualquier número es cero (0) o positivo. Tiene sentido que siempre debe ser mayor que cualquier número negativo.

La respuesta a este caso es siempre todos los números reales .

Ejemplos de cómo resolver desigualdades de valor absoluto

Ejemplo 1: Resuelve la desigualdad de valor absoluto.

Si aún no está familiarizado con los diferentes casos, le sugiero que guarde una copia de la lista de casos anterior como referencia. Esto definitivamente te ayudará a resolver los problemas fácilmente.

El problema sugiere que existe un valor de & # 8220 x & # 8221 que puede hacer que la afirmación sea verdadera. Bueno, el valor absoluto de algo es siempre cero o positivo, que nunca es menor que un número negativo. Esta afirmación debe ser falsa, por lo tanto, hay sin solución . Esto es un ejemplo de caso 3.

Elija algunos valores de prueba para verificar:

Ejemplo 2: Resuelve la desigualdad de valor absoluto.

Si lo piensa, cualquier valor de & # 8220 x & # 8221 puede hacer que la afirmación sea verdadera. Pruebe algunos números, incluido el cero y cualquier número negativo o positivo. ¿Qué obtienes?

Recuerde, la expresión de valor absoluto producirá una respuesta cero o positiva que siempre es mayor que un número negativo. Por tanto, la respuesta es todos los números reales . Esto es caso 4.

Ejemplo 3: Resuelve la desigualdad de valor absoluto.

Esta es una desigualdad de valor absoluto & # 8220 menor que & # 8221 que es un ejemplo de caso 1. Elimine el símbolo de valor absoluto aplicando la regla. Luego resuelve la desigualdad lineal que surge.

El objetivo es aislar la variable & # 8220 x & # 8221 en el medio. Para hacer eso, restamos las partes izquierda, media y derecha de la desigualdad por 6.

La respuesta en forma de símbolo de desigualdad establece que las soluciones son todos los valores de x entre -8 y -4, pero sin incluir -8 y -4.

También podemos escribir la respuesta en notación de intervalo usando un paréntesis para denotar que -8 y -4 no son parte de las soluciones.

O escribe la respuesta en una recta numérica donde usamos círculos abiertos para excluir -8 y -4 de la solución.

Ejemplo 4: Resuelve la desigualdad de valor absoluto.

Esta es una desigualdad de valor absoluto & # 8220 menor o igual a & # 8221 que todavía se encuentra bajo caso 1. Limpia el símbolo del valor absoluto usando la regla y resuelve la desigualdad lineal.

Aísle la variable & # 8220 x & # 8221 en el medio sumando todos los lados por 6 y luego dividiendo por 3 (coeficiente de x).

El símbolo de desigualdad sugiere que la solución son todos los valores de x entre -3 y 7, y también incluyen los puntos finales -3 y 7. Incluimos los puntos finales porque estamos usando el símbolo & # 8220 ≤ & # 8220.

Para escribir la respuesta en notación de intervalo, utilizaremos los corchetes en lugar del paréntesis regular para denotar que -3 y 7 son parte de la solución.

Y finalmente, usaremos círculos cerrados o sombreados para mostrar que -3 y 7 están incluidos.

Ejemplo 5: Resuelve la desigualdad de valor absoluto.

Este es un ejemplo de una desigualdad de valor absoluto & # 8220 mayor que & # 8221 que es un ejemplo de caso 2. Deje que & # 8217s elimine la expresión de valor absoluto utilizando la regla siguiente.

Como puede ver, estamos resolviendo dos desigualdades lineales separadas.

En notación de intervalo, la palabra & # 8220o& # 8221 se reemplaza por el símbolo & # 8220 cup & # 8221 para significar & # 8220Unión& # 8220. La unión de conjuntos significa que estamos juntando los elementos no superpuestos de dos o más conjuntos de soluciones.

La respuesta en notación de intervalo tiene más sentido si observa cómo se ve en la recta numérica. En el caso 2, las flechas siempre estarán en direcciones opuestas. Los círculos abiertos implican que -3 y 7 no están incluidos en las soluciones que son consecuencia del símbolo & # 8220 & gt & # 8220.

Ejemplo 6: Resuelve la desigualdad de valor absoluto.

Divida esto en dos desigualdades lineales y luego resuelva cada una por separado. Aquí & # 8217s la regla para caso 2.


Recursos abiertos de ORCCA para álgebra de colegios comunitarios

Ya sea que se trate de una arandela, una tuerca, un perno o un engranaje, cuando se fabrica una pieza de la máquina, se debe hacer que encaje con todas las demás partes del sistema. Dado que ningún proceso de fabricación es perfecto, existen pequeñas desviaciones de la norma cuando se fabrica cada pieza. De hecho, los fabricantes tienen abarcar de valores aceptables para cada medida de cada tornillo, perno, etc.

Figura 11.3.1 Lección en video alternativa

Digamos que estábamos examinando algunos tornillos nuevos recién salidos de fábrica. El fabricante especifica que cada perno debe estar dentro de un tolerancia de 0,04 mm a 10 mm de diámetro. Entonces, el diámetro más bajo que podría tener el perno para pasar el control de calidad es 0.04 mm menor que 10 mm, que es 9.96 mm. De manera similar, el diámetro más grande que podría tener el perno es 0.04 mm mayor que 10 mm, que es 10.04 mm.

Resumiendo, queremos que la diferencia entre el diámetro real y la especificación sea menor o igual a 0.04 mm. Dado que los valores absolutos se utilizan para describir distancias, podemos resumir matemáticamente nuestros pensamientos como ( abs le 0.04 text <,> ) donde (x ) representa el diámetro de un perno de tamaño aceptable, en milímetros. Dado que el valor mínimo es 9,96 mm y el valor máximo es 10,04 mm, nuestro rango de valores aceptables debería ser (9,96 le x le 10,04 text <.> )

En esta sección examinaremos una variedad de problemas y aplicaciones que se relacionan con este tipo de matemáticas con valores absolutos.

Subsección 11.3.1 Resolución de ecuaciones de valor absoluto

Recuerde que en la sección 11.1 aprendimos que las gráficas de la función de valor absoluto tienen en general la forma de “V”. Ahora podemos resolver gráficamente algunas ecuaciones de valor absoluto.


Gráficamente

Grafiquemos ese ejemplo:

Es más fácil graficar cuando tenemos una ecuación & quot = 0 & quot, así que resta 5 de ambos lados:

Entonces ahora podemos trazar y = | x + 2 | & menos5 y encuentre dónde es igual a cero.

Aquí está la gráfica de y = | x + 2 | & minus5, pero solo para divertirnos haz la gráfica moviéndola:

Empezar con y = | x | luego muévelo a la izquierda para hacer
eso y = | x + 2 |
luego muévelo hacia abajo para hacer
eso y = | x + 2 | & menos5

Y las dos soluciones (encerradas en un círculo) son & minus7 y +3.


3.3: Desigualdades en valores absolutos - Matemáticas

La definición de "olvidar el signo menos" del valor absoluto es inútil para nuestros propósitos. En su lugar, usaremos principalmente la definición geométrica del valor absoluto:

El valor absoluto de un número mide su distancia al origen en la recta numérica real.

Dado que 5 está a 5 unidades de distancia del origen 0, el valor absoluto de 5 es 5, | 5 | = 5

Dado que -5 también está a una distancia de 5 unidades del origen, el valor absoluto de -5 es 5, | -5 | = 5:

Estamos preparados para nuestra primera desigualdad. Encuentra el conjunto de soluciones para

Traducir al inglés: buscamos aquellos números reales x cuya distancia al origen sea menor a 5 unidades.

Obviamente estamos hablando del intervalo (-5,5):

¿Qué pasa con las soluciones a?

En inglés: ¿qué números, x, están al menos a 2 unidades del origen? En el lado izquierdo, los números reales menores o iguales a -2 califican, a la derecha todos los números reales mayores o iguales que 2:

Podemos escribir esta notación de intervalo como

Cuál es el significado geométrico de | x - y |?

| x - y | es la distancia entre xey en la recta numérica real.

Considere el ejemplo | (-4) -3 |. La distancia en la recta numérica real entre los puntos -4 y +3 es 7, por lo tanto

Encontremos las soluciones a la desigualdad:

En inglés: ¿Qué números reales no son más de 1 unidad aparte de 2?

Estamos hablando de los números en el intervalo [1,3].

que podemos traducir en la búsqueda de esos números x cuya distancia a -1 es al menos 3.

Con un poco de ajuste, nuestro método también puede manejar desigualdades como

Primero dividimos ambos lados por 2. Tenga en cuenta que los valores absolutos interactúan muy bien con la multiplicación y la división:

después de la simplificación, obtenemos la desigualdad

haciendo la pregunta, ¿qué números son menos de 1 unidad aparte de

Entonces, la desigualdad original tiene como conjunto de soluciones el intervalo.

¿De qué números se encuentran al menos distanciados? El conjunto de soluciones viene dado por

Nuestro método falla para ejemplos más elaborados.

Consideremos la desigualdad

Ha vuelto al álgebra básica con un giro.

La definición estándar de la función de valor absoluto viene dada por:

Por lo tanto, podemos deshacernos del signo en nuestra desigualdad si sabemos si la expresión interior, x -3, es positiva o negativa.

Consideremos primero solo aquellos valores de x para los cuales:

En este caso sabemos que | x -3 | = x -3, por lo que nuestra desigualdad se convierte en

Resolviendo la desigualdad, obtenemos

Hemos encontrado algunas soluciones a nuestra desigualdad:

¡x es una solución si y x & gt1 al mismo tiempo! Hablamos de números.

Esta vez x -3 & lt0, entonces | x -3 | = - (x -3) = 3- x, entonces nuestra desigualdad se lee como

Aplicando las técnicas estándar, esto se puede simplificar para

Nuestra desigualdad tiene algunas soluciones más:

Bajo nuestro supuesto de caso x & lt3, las soluciones son aquellos números reales que satisfacen frac <7> <3> $ ->.

Estamos hablando de números en el intervalo.

Combinando las soluciones que encontramos para ambos casos, concluimos que el conjunto de soluciones para la desigualdad


Puntos clave para recordar al resolver ecuaciones de valor absoluto

Punto clave # 1: El signo de left | x right | debe ser positivo. Para enfatizar, left | x right | a + izquierda | x right | .

Punto clave # 2: La x dentro del símbolo de valor absoluto, left | <, , , , ,> derecha | , podría ser cualquier expresión.

Punto clave n. ° 3: La a en el lado derecho de la ecuación debe ser un numero positivo o cero tener una solución.

Punto clave n. ° 4: si la a del lado derecho es una numero negativo, entonces no tiene solución.

Ejemplos de cómo resolver ecuaciones de valor absoluto

Ejemplo 1: Resuelve la ecuación de valor absoluto left | x right | = , - 5.

El valor absoluto de cualquier número es positivo o cero. Pero esta ecuación sugiere que hay un número cuyo valor absoluto es negativo. ¿Puedes pensar en algún número que pueda hacer que la ecuación sea verdadera? Bueno, no hay ninguno.

Como no hay ningún valor de x que pueda satisfacer la ecuación, decimos que tiene sin solución.

De hecho, las siguientes ecuaciones de valor absoluto no tienen solución también.

Ejemplo 2: Resuelve la ecuación de valor absoluto - left | x right | = , - 5.

No se apresure a concluir que esta ecuación no tiene solución. Aunque el lado derecho de la ecuación es negativo, la expresión del valor absoluto en sí debe ser positiva. Pero no lo es, ¿verdad?

Punto clave # 1 : El signo de izquierda | x right | debe ser positivo. Para enfatizar, left | x right | a + izquierda | x right | .

Lo que necesitamos es eliminar primero el signo negativo del símbolo de valor absoluto antes de poder continuar.

Observe que la ecuación dada tiene un coeficiente de -1. Divide ambos lados de la ecuación por este valor para eliminar el signo negativo.

Dado que la expresión de valor absoluto y el número son positivos, ahora podemos aplicar el procedimiento para dividirlo en dos ecuaciones.

Por tanto, la solución al problema pasa a ser

Puede verificar nuestras respuestas sustituyéndolas por la ecuación original. Te lo dejo a ti.

Ejemplo 3: Resuelve la ecuación de valor absoluto left | right | = 3.

Este problema se está volviendo interesante ya que la expresión dentro del símbolo de valor absoluto ya no es una sola variable. No se preocupe, la configuración sigue siendo la misma. Solo tenga cuidado cuando divida la ecuación de valor absoluto dada en dos ecuaciones lineales más simples, luego proceda como suele resolver las ecuaciones.

Puede comprobar las respuestas a la ecuación original.

Ejemplo 4: Resuelve la ecuación de valor absoluto left | <- 2x + 7> derecha | = 25.

Puede pensar que este problema es complejo debido al –2 junto a la variable x. Sin embargo, eso no debería intimidarle porque la idea clave sigue siendo la misma. Tenemos el símbolo de valor absoluto aislado en un lado y un número positivo en el otro. ¡Resolver esto es como otro día en el parque!

Divídalo en los componentes + y -, luego resuelva cada ecuación.

Ejemplo 5: Resuelve la ecuación de valor absoluto left | <- 6x + 3> derecha | - 7 = 20.

Este es no está listo aún no se ha separado en dos componentes. ¿Por qué? Es porque el símbolo de valor absoluto no está solo en un lado de la ecuación. Si lo miras, hay un -7 en el lado izquierdo que debes eliminar primero. Una vez que nos deshagamos de eso, entonces deberíamos estar bien para proceder como de costumbre.

Elimina el -7 en el lado izquierdo agregando ambos lados por color7 .

Ahora, tenemos una ecuación de valor absoluto que se puede dividir en dos partes.

Ejemplo 6: Resuelve la ecuación de valor absoluto - 7 left | <9 , - 2x> derecha | + 9 = , - 12.

La expresión de valor absoluto aún no está aislada. Elimine el +9 primero y luego el -7 que actualmente multiplica la expresión de valor absoluto.

Ahora, dividamos & # 8217s en dos casos y resuelva cada ecuación.

Ejemplo 7: Resuelve la ecuación de valor absoluto left | <+ 2x - 4> derecha | = 4.

Este es un problema interesante porque tenemos una expresión cuadrática dentro del símbolo de valor absoluto. ¡Espero que no se distraiga con su apariencia! Si se enfrenta a una situación en la que no está seguro de cómo proceder, apéguese a lo básico y lo que ya sabe.

No nos importa el & # 8220stuff & # 8221 dentro del símbolo de valor absoluto. Siempre que esté aislado y el otro lado sea un número positivo, definitivamente podemos aplicar la regla para dividir la ecuación en dos casos.

De hecho, la única diferencia de este problema con lo que ha estado haciendo hasta ahora es que estará resolviendo ecuaciones cuadráticas en lugar de ecuaciones lineales.

Podemos verificar que nuestras cuatro respuestas o soluciones son x = - , 4, -2, 0 y 2, graficando las dos funciones y observando sus puntos de intersección.


Ver el vídeo: Absolute value inequalities. Linear equations. Algebra I. Khan Academy (Enero 2022).