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11.5: Matrices y operaciones con matrices


Objetivos de aprendizaje

  • Encuentra la suma y la diferencia de dos matrices.
  • Encuentra múltiplos escalares de una matriz.
  • Encuentra el producto de dos matrices.

Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para la próxima temporada. La tabla ( PageIndex {1} ) muestra las necesidades de ambos equipos.

Tabla ( PageIndex {1} )
Gatos montesesGatos de barro
Metas610
Pelotas3024
Camisetas1420

Una meta cuesta ($ 300 ); una pelota cuesta ($ 10 ); y una camiseta cuesta ($ 30 ). ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo? En esta sección, descubrimos un método en el que los datos de la tabla del equipo de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipo.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito para los equipos de fútbol, ​​podemos usar una matriz, que es una matriz rectangular de números. Una columna en una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamada elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran entre [] o (), y normalmente se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, a continuación se muestran tres matrices llamadas (A ), (B ) y (C ).

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o dimensiones: (m × n ) indicando (m ) filas y (n ) columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para ubicar la entrada en la matriz (A ) identificada como (a_ {ij} ), buscamos la entrada en la fila (i ), columna (j ). En la matriz (A ), que se muestra a continuación, la entrada en la fila (2 ), columna (3 ) es (a_ {23} ).

[A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

  • A matriz cuadrada es una matriz con dimensiones (n × n ), lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz (3 × 3 ) anterior es un ejemplo de una matriz cuadrada.
  • A matriz de filas es una matriz que consta de una fila con dimensiones (1 × n ). [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} nonumber ]
  • A matriz de columna es una matriz que consta de una columna con dimensiones (m × 1 ). [ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {21} a_ {31} end {bmatrix} nonumber ]

Se puede usar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices a menudo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están abrumadas por variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos los conceptos básicos operaciones matriciales.

Definición: MATRICES

A matriz es una matriz rectangular de números que generalmente se nombra con una letra mayúscula: (A ), (B ), (C ), etc. Cada entrada en una matriz se denomina (a_ {ij} ), de modo que (i ) representa la fila y (j ) representa la columna. Las matrices a menudo se denominan por sus dimensiones: (m × n ) indicando (m ) filas y (n ) columnas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar las dimensiones de la matriz dada y ubicar entradas

Dada la matriz (A ):

  1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz (A )?
  2. ¿Cuáles son las entradas en (a_ {31} ) y (a_ {22} )?

[A = begin {bmatrix} 2 & 1 & 0 2 & 4 & 7 3 & 1 & −2 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

  1. Las dimensiones son (3 times 3 ) porque hay tres filas y tres columnas.
  2. La entrada (a_ {31} ) es el número en la fila 3, columna 1, que es (3 ). La entrada (a_ {22} ) es el número en la fila 2, columna 2, que es (4 ). Recuerde, la fila viene primero, luego la columna.
Sumar y restar matrices

Usamos matrices para listar datos o representar sistemas. Debido a que las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices sumando o restando las entradas correspondientes. Para hacer esto, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz (3 times 3 ) y otra matriz (3 times 3 ), pero no podemos sumar o restar una matriz (2 times 3 ) y una matriz (3 times 3 ) matriz porque algunas entradas en una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

MATRICES DE AGREGAR Y RESTAR

Dadas matrices (A ) y (B ) de dimensiones similares, la suma y la resta de (A ) y (B ) producirán la matriz (C ) o la matriz (D ) de la misma dimensión.

[A + B = C ]

tal que (a_ {ij} + b_ {ij} = c_ {ij} )

[A − B = D ]

tal que (a_ {ij} −b_ {ij} = d_ {ij} )

La suma de matrices es conmutativo.

[A + B = B + A ]

Tambien es de asociación.

[(A + B) + C = A + (B + C) ]

Ejemplo ( PageIndex {2A} ): encontrar la suma de matrices

Encuentra la suma de (A ) y (B ), dado

[A = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} e & f g & h end {bmatrix} nonumber ]

Solución

Agregue las entradas correspondientes.

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} + begin {bmatrix} e & f g & h end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} a + e & b + f c + g & d + h end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2B} ): Agregar matriz (A ) y matriz (B )

Encuentra la suma de (A ) y (B ).

[A = begin {bmatrix} 4 & 1 3 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} 5 y 9 0 y 7 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

Agregue las entradas correspondientes. Agregue la entrada en la fila 1, columna 1, (a_ {11} ), de la matriz (A ) a la entrada en la fila 1, columna 1, (b_ {11} ), de (B ). Continúe con el patrón hasta que se hayan agregado todas las entradas.

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 4 & 1 3 & 2 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 5 & 9 0 & 7 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 4 + 5 & 1 + 9 3 + 0 & 2 + 7 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 9 & 10 3 & 9 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2C} ): hallar la diferencia de dos matrices

Encuentra la diferencia de (A ) y (B ).

(A = begin {bmatrix} −2 & 3 0 & 1 end {bmatrix} ) y (B = begin {bmatrix} 8 & 1 5 & 4 end {bmatrix} )

Solución

Restamos las entradas correspondientes de cada matriz.

[ begin {align} A − B & = begin {bmatrix} −2 & 3 0 & 1 end {bmatrix} - begin {bmatrix} 8 & 1 5 & 4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −2−8 & 3−1 0−5 & 1−4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −10 & 2 - 5 & −3 end {bmatrix } nonumber end {align} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2D} ): hallar la suma y la diferencia de dos matrices de 3 x 3

Dado (A ) y (B ):

  1. Encuentra la suma.
  2. Encuentra la diferencia.

[A = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 14 & 12 & 10 4 & −2 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} 6 & 10 & −2 0 & −12 & −4 - 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

  1. Agregue las entradas correspondientes.

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 14 & 12 & 10 4 & −2 & 2 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 6 & 10 & −2 0 & −12 & −4 - 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2 + 6 & −10 + 10 & −2−2 14 + 0 & 12−12 & 10−4 4−5 & −2 + 2 & 2−2 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 8 & 0 & −4 14 & 0 & 6 - 1 & 0 & 0 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

  1. Resta las entradas correspondientes.

[ begin {align} A − B & = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 14 & 12 & 10 4 & −2 & 2 end {bmatrix} - begin {bmatrix} 6 & 10 & −2 0 & −12 & - 4 - 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2−6 & −10−10 & −2 + 2 14−0 & 12 + 12 & 10 +4 4 + 5 & −2−2 & 2 + 2 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −4 & −20 & 0 14 & 24 & 14 9 & −4 & 4 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Suma la matriz (A ) y la matriz (B ).

[A = begin {bmatrix} 2 & 6 1 & 0 1 & −3 end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} 3 & −2 1 & 5 - 4 & 3 end {bmatrix} nonumber ]

Respuesta

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 2 & 6 1 & 0 1 & −3 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 3 & -2 1 & 5 - 4 & 3 end { bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2 + 3 & 6 + (- 2) 1 + 1 & 0 + 5 1 + (- 4) & - 3 + 3 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 5 & 4 2 & 5 - 3 & 0 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Encontrar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante llamada escalar. Recuerde que un escalar es un número real que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. El proceso de multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de la multiplicación escalar.

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita agregar a su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de la inscripción. Estiman que se necesita (15% ) más equipo en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la Tabla ( PageIndex {2} ).

Tabla ( PageIndex {2} )
Laboratorio ALaboratorio B
Ordenadores1527
Mesas de computadora1634
Sillas1634

Al convertir los datos en una matriz, tenemos

[C_ {2013} = begin {bmatrix} 15 y 27 16 y 34 16 y 34 end {bmatrix} nonumber ]

Para calcular cuánto equipo de computación se necesitará, multiplicamos todas las entradas en la matriz (C ) por (0.15 ).

[(0.15) C_ {2013} = begin {bmatrix} (0.15) 15 & (0.15) 27 (0.15) 16 & (0.15) 34 (0.15) 16 & (0.15) 34 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 2.25 y 4.05 2.4 y 5.1 2.4 y 5.1 end {bmatrix} nonumber ]

Debemos redondear al siguiente entero, por lo que la cantidad de equipo nuevo necesario es

[ begin {bmatrix} 3 y 5 3 y 6 3 y 6 end {bmatrix} nonumber ]

Sumando las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.

[ begin {bmatrix} 15 & 27 16 & 34 16 & 34 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 3 & 5 3 & 6 3 & 6 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 18 & 32 19 & 40 19 & 40 end {bmatrix} nonumber ]

Esto significa

[C_ {2014} = begin {bmatrix} 18 y 32 19 y 40 19 y 40 end {bmatrix} nonumber ]

Así, el laboratorio A tendrá (18 ) computadoras, (19 ) mesas de computadora y (19 ) sillas; El laboratorio B tendrá (32 ) computadoras, (40 ) mesas de computadora y (40 ) sillas.

MULTIPLICACIÓN ESCALAR

La multiplicación escalar implica encontrar el producto de una constante por cada entrada en la matriz. Dado

[A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

el múltiplo escalar (cA ) es

[cA = c begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

[= begin {bmatrix} ca_ {11} & ca_ {12} ca_ {21} & ca_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices (A ), (B ) y (C ) con escalares (a ) y (b ),

[a (A + B) = aA + aB ]

[(a + b) A = aA + bA ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): multiplicar la matriz por un escalar

Multiplica la matriz (A ) por el escalar (3 ).

[A = begin {bmatrix} 8 y 1 5 y 4 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

Multiplica cada entrada en (A ) por el escalar (3 ).

[ begin {align} 3A & = 3 begin {bmatrix} 8 & 1 5 & 4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3⋅8 & 3⋅1 3⋅5 & 3⋅4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 24 & 3 15 & 12 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dada la matriz (B ), encuentre (- 2B ) donde

[B = begin {bmatrix} 4 & 1 3 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

Respuesta

[- 2B = begin {bmatrix} −8 & −2 - 6 & −4 end {bmatrix} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar la suma de múltiplos escalares

Encuentra la suma (3A + 2B ).

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 & 0 0 & −1 & 2 4 & 3 & −6 end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} −1 & 2 & 1 0 & −3 & 2 0 & 1 & −4 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

Primero, encuentra (3A ), luego (2B ).

[ begin {align} 3A & = begin {bmatrix} 3⋅1 & 3 (−2) & 3⋅0 3⋅0 & 3 (−1) & 3⋅2 3⋅4 & 3⋅3 & 3 (−6) end { bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & −6 & 0 0 & −3 & 6 12 & 9 & −18 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

[ begin {align} 2B & = begin {bmatrix} 2 (−1) & 2⋅2 & 2⋅1 2⋅0 & 2 (−3) & 2⋅2 2⋅0 & 2⋅1 & 2 (−4) end { bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −2 & 4 & 2 0 & −6 & 4 0 & 2 & −8 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Ahora, agregue (3A + 2B ).

[ begin {align} 3A + 2B & = begin {bmatrix} 3 & −6 & 0 0 & −3 & 6 12 & 9 & −18 end {bmatrix} + begin {bmatrix} −2 & 4 & 2 0 & −6 & 4 0 & 2 & −8 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3−2 & −6 + 4 & 0 + 2 0 + 0 & −3−6 & 6 + 4 12 + 0 & 9 + 2 & −18 −8 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & −2 & 2 0 & −9 & 10 12 & 11 & −26 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Hallar el producto de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Encontrar el producto de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son las mismas, lo que significa que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si (A ) es una matriz (m × r ) y (B ) es una matriz (r × n ), entonces la matriz del producto (AB ) es una (m × n ) matriz. Por ejemplo, el producto (AB ) es posible porque el número de columnas en (A ) es el mismo que el número de filas en (B ). Si las dimensiones internas no coinciden, el producto no está definido.

Multiplicamos entradas de (A ) con entradas de (B ) de acuerdo con un patrón específico como se describe a continuación. El proceso de multiplicación de matrices se vuelve más claro cuando se trabaja en un problema con números reales.

Para obtener las entradas en la fila (i ) de (AB ), multiplicamos las entradas en la fila (i ) de (A ) por la columna (j ) en (B ) y sumamos . Por ejemplo, dadas las matrices (A ) y (B ), donde las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ) y las dimensiones de (B ) son (3 times 3 ), el producto de (AB ) será una matriz (2 times 3 ).

[A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & b_ {13} b_ {21} & b_ {22} & b_ {23} b_ {31} & b_ {32} & b_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

Multiplica y suma como sigue para obtener la primera entrada de la matriz del producto (AB ).

  1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de (AB ), multiplique la primera fila en (A ) por la primera columna en (B ) y sume.

    [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {11} b_ {21} b_ {31} end {bmatrix } = a_ {11} ⋅b_ {11} + a_ {12} ⋅b_ {21} + a_ {13} ⋅b_ {31} nonumber ]

  2. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de (AB ), multiplique la primera fila de (A ) por la segunda columna en (B ) y sume.

    [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {12} b_ {22} b_ {32} end {bmatrix } = a_ {11} ⋅b_ {12} + a_ {12} ⋅b_ {22} + a_ {13} ⋅b_ {32} nonumber ]

  3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de (AB ), multiplique la primera fila de (A ) por la tercera columna en (B ) y sume.

    [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {13} b_ {23} b_ {33} end {bmatrix } = a_ {11} ⋅b_ {13} + a_ {12} ⋅b_ {23} + a_ {13} ⋅b_ {33} nonumber ]

Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de (AB ). En otras palabras, la fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 1 de (B ); fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 2 de (B ); la fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 3 de (B ).Cuando esté completo, la matriz del producto será

[AB = begin {bmatrix} a_ {11} ⋅b_ {11} + a_ {12} ⋅b_ {21} + a_ {13} ⋅b_ {31} & a_ {11} ⋅b_ {12} + a_ { 12} ⋅b_ {22} + a_ {13} ⋅b_ {32} & a_ {11} ⋅b_ {13} + a_ {12} ⋅b_ {23} + a_ {13} ⋅b_ {33} a_ { 21} ⋅b_ {11} + a_ {22} ⋅b_ {21} + a_ {23} ⋅b_ {31} & a_ {21} ⋅b_ {12} + a_ {22} ⋅b_ {22} + a_ {23 } ⋅b_ {32} & a_ {21} ⋅b_ {13} + a_ {22} ⋅b_ {23} + a_ {23} ⋅b_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN MATRIZ

Para las matrices (A, B ) y (C ) se cumplen las siguientes propiedades.

  • La multiplicación de matrices es de asociación: [(AB) C = A (BC). ]
  • La multiplicación de matrices es distributivo: [C (A + B) = CA + CB ] [(A + B) C = AC + BC. ]

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Ejemplo ( PageIndex {5A} ): multiplicar dos matrices

Multiplica la matriz (A ) y la matriz (B ).

[A = begin {bmatrix} 1 y 2 3 y 4 end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} 5 y 6 7 y 8 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

Primero, verificamos las dimensiones de las matrices. La matriz (A ) tiene dimensiones (2 × 2 ) y la matriz (B ) tiene dimensiones (2 × 2 ). Las dimensiones internas son las mismas para que podamos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones (2 × 2 ).

Realizamos las operaciones descritas anteriormente.

Ejemplo ( PageIndex {5B} ): multiplicar dos matrices

Dado (A ) y (B ):

  1. Encuentra (AB ).
  2. Encuentra (BA ).

[A = begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {bmatrix} nonumber ]

y

[B = begin {bmatrix} 5 & −1 - 4 & 0 2 & 3 end {bmatrix} nonumber ]

Solución

  1. Como las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ) y las dimensiones de (B ) son (3 times 2 ), estas matrices se pueden multiplicar juntas porque el número de columnas en (A ) coincide con el número de filas en (B ). El producto resultante será una matriz (2 times 2 ), el número de filas en (A ) por el número de columnas en (B ).

[ begin {align} AB & = begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 & −1 - 4 & 0 2 & 3 end {bmatrix} nonumber [4pt ] & = begin {bmatrix} −1 (5) +2 (−4) +3 (2) & - 1 (−1) +2 (0) +3 (3) 4 (5) +0 ( −4) +5 (2) y 4 (−1) +0 (0) +5 (3) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −7 y 10 30 y 11 end { bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

  1. Las dimensiones de (B ) son (3 times 2 ) y las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ). Las dimensiones internas coinciden, por lo que el producto está definido y será una matriz (3 times 3 ).

[ begin {align} BA & = begin {bmatrix} 5 & −1 - 4 & 0 2 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {bmatrix} nonumber [4pt ] & = begin {bmatrix} 5 (−1) + - 1 (4) & 5 (2) + - 1 (0) & 5 (3) + - 1 (5) - 4 (−1) +0 ( 4) y - 4 (2) +0 (0) y - 4 (3) +0 (5) 2 (−1) +3 (4) y 2 (2) +3 (0) y 2 (3) +3 (5) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −9 & 10 & 10 4 & −8 & −12 10 & 4 & 21 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Análisis

Observe que los productos (AB ) y (BA ) no son iguales.

[AB = begin {bmatrix} −7 & 10 30 & 11 end {bmatrix} ≠ begin {bmatrix} −9 & 10 & 10 4 & −8 & −12 10 & 4 & 21 end {bmatrix} = BA nonumber ]

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices es no conmutativo.

Preguntas y respuestas: ¿Es posible definir AB pero no BA?

Sí, considere una matriz (A ) con dimensión (3 × 4 ) y una matriz (B ) con dimensión (4 × 2 ). Para el producto (AB ) las dimensiones internas son (4 ) y el producto está definido, pero para el producto (BA ) las dimensiones internas son (2 ) y (3 ) por lo que el producto es indefinido.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de matrices en problemas del mundo real

Regresemos al problema presentado al comienzo de esta sección. Tenemos la Tabla ( PageIndex {3} ), que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol.

Tabla ( PageIndex {3} )
Gatos montesesGatos de barro
Metas610
Pelotas3024
Camisetas1420

También se nos dan los precios del equipo, como se muestra en la Tabla ( PageIndex {4} ).

Tabla ( PageIndex {4} )
Meta$300
Pelota$10
Jersey$30

Convertiremos los datos a matrices. Por lo tanto, la matriz de necesidades del equipo se escribe como

[E = begin {bmatrix} 6 y 10 30 y 24 14 y 20 end {bmatrix} nonumber ]

La matriz de costos se escribe como

[C = begin {bmatrix} 300 & 10 & 30 end {bmatrix} nonumber ]

Realizamos multiplicación de matrices para obtener costos del equipo.

[ begin {align} CE & = begin {bmatrix} 300 & 10 & 30 end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} 6 & 10 30 & 24 14 & 20 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin { bmatrix} 300 (6) +10 (30) +30 (14) y 300 (10) +10 (24) +30 (20) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2,520 & 3,840 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

El costo total del equipo para los Wildcats es ($ 2,520 ) y el costo total del equipo para los Mud Cats es ($ 3,840 ).

Cómo: Dada una operación matricial, evaluar usando una calculadora

  1. Guarde cada matriz como una variable de matriz ([A], [B], [C], ... )
  2. Ingrese la operación en la calculadora, llamando a cada variable de matriz según sea necesario.
  3. Si la operación está definida, la calculadora presentará la matriz de solución; si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): uso de una calculadora para realizar operaciones matriciales

Encuentra (AB − C ) dado

(A = begin {bmatrix} −15 & 25 & 32 41 & −7 & −28 10 & 34 & −2 end {bmatrix} ), (B = begin {bmatrix} 45 & 21 & −37 - 24 & 52 & 19 6 & −48 & −31 end {bmatrix} ), y (C = begin {bmatrix} −100 & −89 & −98 25 & −56 & 74 - 67 & 42 & −75 end {bmatrix} )

Solución

En la página de la matriz de la calculadora, ingresamos la matriz (A ) arriba como la variable de la matriz ([A] ), la matriz (B ) arriba como la variable de la matriz ([B] ) y la matriz (C ) anterior como la variable de matriz ([C] ).

En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y recuperamos cada variable de matriz según sea necesario.

[[A] × [B] - [C] nonumber ]

La calculadora nos da la siguiente matriz.

[ begin {bmatrix} −983 & −462 & 136 1,820 & 1,897 & −856 - 311 & 2,032 & 413 end {bmatrix} nonumber ]

Conceptos clave

  • Una matriz es una matriz rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
  • Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Una matriz (3 × 2 ) tiene tres filas y dos columnas. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • Sumamos y restamos matrices de iguales dimensiones sumando y restando las entradas correspondientes de cada matriz. Consulte Ejemplo ( PageIndex {2} ), Ejemplo ( PageIndex {3} ), Ejemplo ( PageIndex {4} ) y Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • La multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por una constante. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  • A menudo se requiere la multiplicación escalar antes de que pueda ocurrir la suma o la resta. Vea Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  • Es posible multiplicar matrices cuando las dimensiones internas son las mismas: el número de columnas en la primera matriz debe coincidir con el número de filas en la segunda.
  • El producto de dos matrices, (A ) y (B ), se obtiene multiplicando cada entrada en la fila 1 de (A ) por cada entrada en la columna 1 de (B ); luego multiplique cada entrada de la fila 1 de (A ) por cada entrada en las columnas 2 de (B ), y así sucesivamente. Vea Ejemplo ( PageIndex {8} ) y Ejemplo ( PageIndex {9} ).
  • Muchos problemas del mundo real a menudo se pueden resolver utilizando matrices. Vea Ejemplo ( PageIndex {10} ).
  • Podemos usar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea Ejemplo ( PageIndex {11} ).

Propiedades de las operaciones matriciales

Se presentan las principales propiedades de las operaciones matriciales como la suma, la multiplicación, la transposición y la inversa.
En lo que sigue, (A, B ) y (C ) son matrices cuyos tamaños son tales que las operaciones están bien definidas y (k ) y (m ) son escalares.
(I_n ) es la matriz identidad de tamaño (n veces n ) cuyas entradas diagonales son todas iguales a 1 y todas las entradas no diagonales iguales a cero.
(0 ) es la matriz cero cuyas entradas son todas ceros.


Operaciones de matriz

Este ejemplo muestra cómo utilizar operadores aritméticos en matrices. Puede utilizar estas operaciones aritméticas para realizar cálculos numéricos.

MATLAB le permite procesar todos los valores en una matriz usando un solo operador o función aritmética.

Puede agregar un escalar a cada elemento de la matriz con un solo operador.

Puede calcular el seno para cada uno de esos valores usando una sola función.

Para transponer una matriz, utilice comillas simples (').

También puede realizar una multiplicación de matrices estándar, que calcula los productos internos entre filas y columnas, utilizando el operador de multiplicación '*'. Este ejemplo confirma que una matriz multiplicada por su inverso devuelve la matriz identidad.

Para realizar la multiplicación en cada elemento individual, use el operador de multiplicación por elemento '. *'.


El producto de dos matrices no está definido para dos matrices, ni siquiera está definido para dos matrices de las mismas dimensiones.

En primer lugar, considere la multiplicación de vector de fila por vector de columna. Sean las dimensiones del vector $ mathbf $ $ 1 times n $, y $ n times 1 $ del vector $ mathbfPS Entonces su producto es:

Su producto es un escalar.

Usaremos previamente en el ejemplo:

$ begin 2 y amp 4 y amp -1 y amp 3 end cdot begin -1 6 -2 0 end = 2 cdot (-1) + 4 cdot 6 + (-1) cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2 + 24 +2 +0 = 24. $

Sigue la definición adecuada.

Esto significa que el elemento $ c_$ es el producto escalar de los elementos que se encuentran en $ i $ -ésima fila de la matriz $ mathbf $ y en $ j $ -ésima columna de la matriz $ mathbf$.

Multiplica las siguientes matrices:

$ = begin 1 cdot 2 + (-3) cdot 0 + (-2) cdot 7 + (- 1) cdot (-1) & amp 1 cdot (-1) + (-3) cdot 3 + (- 2) cdot 1 + (- 1) cdot (-8) 6 cdot 2 + 0 cdot 0 + 5 cdot 7 + 2 cdot (-1) & amp 6 cdot (-1) + 0 cdot 3 + 5 cdot 1 + 2 cdot (-8) -1 cdot 2 + 7 cdot 0 + 4 cdot 7 + 0 cdot (-1) & amp -1 cdot (-1) + 7 cdot 3 + 4 cdot 1 + 0 cdot (-8) end =$

$ = begin 2 + 0-14 +1 & amp -1-9-2 +8 12 + 0 +35-2 & amp -6 + 0 +5-16 -2 + 0 +28 + 0 & amp 1 +21 +4 + 0 end = comenzar -11 & amp -4 45 & amp -17 26 & amp 26 end. $

La multiplicación de matrices no es conmutativa, como podemos ver en el ejemplo anterior. El producto $ mathbf mathbf $ ni siquiera está definido, porque la matriz $ mathbf$ tiene dos columnas y la matriz $ mathbf $ tres filas.

Las siguientes propiedades son válidas para la multiplicación de matrices (si los productos especificados están bien definidos):


Matrices y operaciones con matrices

Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para la próxima temporada. [enlace] muestra las necesidades de ambos equipos.

Gatos monteses Gatos de barro
Metas 6 10
Pelotas 30 24
Camisetas 14 20

Un gol cuesta $ 300, una pelota cuesta $ 10 y una camiseta cuesta $ 30. ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo? En esta sección, descubrimos un método en el que los datos de la tabla del equipo de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipo.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito para los equipos de fútbol, ​​podemos utilizar un matriz, que es una matriz rectangular de números. A hilera en una matriz hay un conjunto de números alineados horizontalmente. A columna en una matriz hay un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es un entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran entre [] o (), y normalmente se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices llamadas A, B,

Describir matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o dimensiones: m × n

columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para ubicar la entrada en la matriz A

buscamos la entrada en la fila i,

que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es un 23.

A matriz cuadrada es una matriz con dimensiones n × n,

lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. El 3 × 3

La matriz anterior es un ejemplo de una matriz cuadrada.

A matriz de filas es una matriz que consta de una fila con dimensiones 1 × n.

A matriz de columna es una matriz que consta de una columna con dimensiones m × 1.

Se puede usar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices a menudo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están abrumadas por variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos los conceptos básicos operaciones matriciales.

A matriz es una matriz rectangular de números que generalmente se nombra con una letra mayúscula: A, B, C,

etcétera. Cada entrada en una matriz se conoce como a i j,

representa la columna. A menudo se hace referencia a las matrices por sus dimensiones: m × n

  1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz A?
  2. ¿Cuáles son las entradas en un 31

porque hay tres filas y tres columnas.

es el número en la fila 3, columna 1, que es 3. La entrada

es el número en la fila 2, columna 2, que es 4. Recuerde, la fila viene primero, luego la columna.

Sumar y restar matrices

Usamos matrices para listar datos o representar sistemas. Debido a que las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices sumando o restando las entradas correspondientes.

Para hacer esto, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar un 3 × 3

matriz, pero no podemos sumar o restar un 2 × 3

matriz porque algunas entradas en una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

de dimensiones similares, suma y resta de A

La suma de matrices es conmutativa.

Agregue las entradas correspondientes.

Agregue las entradas correspondientes. Agregue la entrada en la fila 1, columna 1, un 11,

a la entrada en la fila 1, columna 1, b 11,

Continúe con el patrón hasta que se hayan agregado todas las entradas.

Restamos las entradas correspondientes de cada matriz.

Encontrar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante llamada escalar. Recuerde que un escalar es un número real que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. El proceso de multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. A múltiple escalar es cualquier entrada de una matriz que resulte de la multiplicación escalar.

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita agregar a su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de la inscripción. Calculan que se necesita un 15% más de equipo en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en [enlace].

Laboratorio A Laboratorio B
Ordenadores 15 27
Mesas de computadora 16 34
Sillas 16 34

Al convertir los datos en una matriz, tenemos

Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas en la matriz C

Debemos redondear al siguiente entero, por lo que la cantidad de equipo nuevo necesario es

Sumando las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.

Por lo tanto, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas. El laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.

La multiplicación escalar implica encontrar el producto de una constante por cada entrada en la matriz. Dado


Tabla de contenido

El uso de varias técnicas disponibles en álgebra lineal es imposible sin operaciones matriciales. Veamos cuáles son estas operaciones matriciales y sus propiedades en detalle.

Igualdad de matrices

Las condiciones de igualdad de dos matrices (A ) y (B ) son:

  1. Las matrices (A ) y (B ) deben ser del mismo orden, es decir, el número de filas ( (m )) de (A ) debe ser igual al de (B ) , y el número de columnas ( (n )) de (A ) debe ser igual al de (B ).
  2. Todos los elementos de la matriz (A ) deben ser iguales a los elementos correspondientes de (B ).

Aquí, las matrices (A ) y (B ) son iguales.

Suma y resta de matrices

El orden de dos matrices debe ser el mismo para poder realizar la operación de suma o resta.

La suma (A ) + (B ) está definida, de modo que cada elemento de la matriz (A ) se suma al elemento correspondiente en la matriz (B ).

De manera similar, podemos restar la matriz (B ) de la matriz (A ), restando cada elemento de (B ) del elemento correspondiente de (A ).

Propiedades de la operación de suma y resta

A continuación se muestran las propiedades de la operación de suma y resta:

  • La suma de matrices es conmutativo. $ begin A + B = B + A end $
  • La suma y resta de matrices es de asociación. $ begin (A + B) -C = A + (B-C) end$
  • La matriz nula ( (O )) del mismo orden es una aditivo (y sustractivo) identidad, es decir, la matriz permanece igual después de la suma o resta por la matriz (O ). $ begin A + O = A hspace <1em> y hspace <1em> A-O = A end$
  • El aditivo inverso de una matriz es una matriz, cuando se agrega a la matriz original, da como resultado la Matriz nula. Se puede calcular negando cada elemento de la matriz, es decir, cambiando el signo del elemento. El inverso aditivo de la matriz (A ) se denota por (- A ). $ Begin
    A =
    comenzar
    a & amp b
    c & amp d
    e & amp f
    fin hspace <2em>
    -A =
    comenzar
    -a & amp -b
    -c & amp -d
    -e & amp -f
    fin [2em]
    A + (- A) = O =
    comenzar
    0 & amp 0
    0 & amp 0
    0 y amp 0
    fin
    hspace <2em>
    fin$

Matriz multiplicada por un escalar

Cuando la matriz se multiplica por un valor escalar, digamos (p ), obtenemos la matriz resultante al multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar (p ).

Nota: Cuando el determinante de una matriz se multiplica por un valor escalar, solo una línea (fila o columna) se multiplica por ese valor.

Propiedades de la operación de multiplicación escalar

La matriz multiplicada por un valor escalar es un distributivo operación.

Multiplicación de matrices

Podemos multiplicar dos matrices (el producto (AB ) está definido) solo cuando son conforme, es decir, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda.

La matriz resultante tiene el mismo número de filas que la primera matriz y el número de columnas es el mismo que el de la segunda matriz.

En la multiplicación de matrices (AB ), la matriz (A ) es post-multiplicado por la matriz (B ) y en la multiplicación (BA ), la matriz (A ) es pre-multiplicado por la matriz (B ).

La multiplicación de matrices (BA ) se define solo cuando el número de filas en la matriz (A ) ( (m )) es igual al número de columnas en la matriz (B ) ( (k ) ).

En general, si (A_) y B_) son dos matrices conformes, entonces la matriz ((AB) _) Se define como:

donde el término (c_) se llama el producto interno de (i ^) fila de (A ) y la (j ^) columna de (B ) y se obtiene sumando la multiplicación de los elementos de (i ^) fila por los elementos correspondientes de (j ^) columna.

Propiedades de la multiplicación de matrices

A continuación se muestran las propiedades de la operación de multiplicación de matrices:

  • La multiplicación de matrices es NO conmutativo. $ begin AB neq BA end$ siempre que se defina (BA ). Además, (AB ) puede ser igual a (BA ) para algunos casos de (A ) y (B ), pero es muy raro.
  • La multiplicación de matrices es de asociación. $ begin (AB) C = A (BC) end$ donde A, B y B, C deben ser conformes para que los productos AB y BC se definan, respectivamente.
  • La multiplicación de matrices es distributivo. $ begin
    A (B + C) & amp = AB + AC [0.5em] (A + B) C & amp = AC + BC end$

Poder de una matriz

Podemos definir la potencia de una matriz como la multiplicación de dos matrices. El cuadrado de la matriz (A ) se puede definir como el producto (AA ) y el cubo de la matriz (A ) se define como la multiplicación de (A ) y (A ^ 2 ).

En general, el (n ^) la potencia de la matriz (A ) se define como:

Propiedades de la operación de energía

  • Si el cuadrado de una matriz es una matriz identidad, entonces se dice que esa matriz es una matriz involutiva, es decir, (A ^ 2 = I ).
  • Si el cuadrado de la matriz da como resultado la misma matriz, es decir, si (A ^ 2 = A ), entonces la matriz A se llama matriz idempotente.
  • Si el cuadrado de la matriz da como resultado la Matriz nula, es decir, si (A ^ 2 = 0 ), entonces la matriz A se llama Matriz nilpotente.

Matrices y operaciones con matrices

Figura 1. (crédito: "SD Dirk", Flickr)

Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para la próxima temporada. (Figura) muestra las necesidades de ambos equipos.

Gatos monteses Gatos de barro
Metas 6 10 Pelotas 30 24 Camisetas 14 20

Un gol cuesta $ 300, una pelota cuesta $ 10 y una camiseta cuesta $ 30. ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo? En esta sección, descubrimos un método en el que los datos de la tabla del equipo de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipo.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito para los equipos de fútbol, ​​podemos usar una matriz, que es una matriz rectangular de números. Una fila en una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. Una columna en una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamada elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran entre [] o (), y normalmente se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices llamadasyse muestran a continuación.

Describir matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o dimensiones:indicandofilas ycolumnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para ubicar la entrada en la matrizidentificado comobuscamos la entrada en filacolumnaEn matrizque se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es

Una matriz cuadrada es una matriz con dimensioneslo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. ElLa matriz anterior es un ejemplo de una matriz cuadrada.

Una matriz de filas es una matriz que consta de una fila con dimensiones

Una matriz de columna es una matriz que consta de una columna con dimensiones

Se puede usar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices a menudo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están abrumadas por variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones matriciales básicas.

Matrices

Una matriz es una matriz rectangular de números que generalmente se nombra con una letra mayúscula:etcétera. Cada entrada en una matriz se denominatal querepresenta la fila yrepresenta la columna. A menudo se hace referencia a las matrices por sus dimensiones:indicandofilas ycolumnas.

Encontrar las dimensiones de la matriz dada y localizar entradas

Matriz dada

  1. Cuales son las dimensiones de la matriz
  2. ¿Cuáles son las entradas eny

  1. Las dimensiones sonporque hay tres filas y tres columnas.
  2. Entradaes el número en la fila 3, columna 1, que es 3. La entradaes el número en la fila 2, columna 2, que es 4. Recuerde, la fila viene primero, luego la columna.

Sumar y restar matrices

Usamos matrices para listar datos o representar sistemas. Debido a que las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices sumando o restando las entradas correspondientes.

Para hacer esto, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar unmatrix y otromatriz, pero no podemos sumar o restar unamatriz y unamatriz porque algunas entradas en una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

Sumar y restar matrices

Matrices dadasyde dimensiones similares, suma y resta deyproducirá matrizo

La suma de matrices es conmutativa.

Hallar la suma de matrices

Encuentra la suma deydado

Agregue las entradas correspondientes.

[/ respuesta-oculta]

Agregar matriz A y Matrix B

Encuentra la suma dey

Agregue las entradas correspondientes. Agregue la entrada en la fila 1, columna 1,de matriza la entrada en la fila 1, columna 1,deContinúe con el patrón hasta que se hayan agregado todas las entradas.

[/ respuesta-oculta]

Hallar la diferencia de dos matrices

Encuentra la diferencia dey

Restamos las entradas correspondientes de cada matriz.

[/ respuesta-oculta]

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices de 3 x 3

Dadoy

    Agregue las entradas correspondientes.

Intentalo

Agregar matrizy matriz

[/ respuesta-oculta]

Encontrar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante llamada escalar. Recuerde que un escalar es un número real que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. El proceso de multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de la multiplicación escalar.

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita agregar a su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de la inscripción. Calculan que se necesita un 15% más de equipo en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la (Figura).

Laboratorio A Laboratorio B
Ordenadores 15 27
Mesas de computadora 16 34
Sillas 16 34

Al convertir los datos en una matriz, tenemos

Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas en la matrizpor 0,15.

Debemos redondear al siguiente entero, por lo que la cantidad de equipo nuevo necesario es

Sumando las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.

Por lo tanto, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas. El laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar implica encontrar el producto de una constante por cada entrada en la matriz. Dado

el escalar múltiplees

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matricesy con escalaresy

Multiplicar la matriz por un escalar

Multiplicar matrizpor el escalar 3.

Multiplica cada entrada enpor el escalar 3.

[/ respuesta-oculta]

Intentalo

Matriz dadaencontrardonde

Hallar la suma de múltiplos escalares

Encuentra la suma

Primero, encuentraluego

Ahora, agregue

[/ respuesta-oculta]

Hallar el producto de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Encontrar el producto de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son las mismas, lo que significa que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Sies unmatriz yes unmatriz, luego la matriz del productoes unmatriz. Por ejemplo, el productoes posible porque el número de columnas enes el mismo que el número de filas enSi las dimensiones internas no coinciden, el producto no está definido.

Multiplicamos entradas decon entradas dede acuerdo con un patrón específico como se describe a continuación. El proceso de multiplicación de matrices se vuelve más claro cuando se trabaja en un problema con números reales.

Para obtener las entradas en filademultiplicamos las entradas en filade por columnaeny añadir. Por ejemplo, matrices dadas ydonde las dimensiones desony las dimensiones desonel producto deserá unmatriz.

Multiplica y suma de la siguiente manera para obtener la primera entrada de la matriz del producto.

    Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 demultiplica la primera fila enpor la primera columna eny añadir.

Procedemos de la misma forma para obtener la segunda fila deEn otras palabras, la fila 2 deveces la columna 1 defila 2 deveces la columna 2 defila 2 deveces la columna 3 deCuando esté completo, la matriz del producto será

Propiedades de la multiplicación de matrices

Para las matricesyse mantienen las siguientes propiedades.

  • La multiplicación de matrices es asociativa:
  • La multiplicación de matrices es distributiva:

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Multiplicar dos matrices

Multiplicar matrizy matriz

Primero, verificamos las dimensiones de las matrices. Matriztiene dimensionesy matriztiene dimensionesLas dimensiones internas son las mismas para que podamos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones

Realizamos las operaciones descritas anteriormente.

[/ respuesta-oculta]

Multiplicar dos matrices

Dadoy

  1. Encontrar
  2. Encontrar

    Como las dimensiones desony las dimensiones desonestas matrices se pueden multiplicar juntas porque el número de columnas encoincide con el número de filas enEl producto resultante será unmatriz, el número de filas enpor el número de columnas en

Análisis

Tenga en cuenta que los productosyno son iguales.

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

¿Es posible para AB por definir pero no licenciado en Letras?

Sí, considere una matriz A con dimensióny matriz B con dimensiónPara el producto AB, las dimensiones internas son 4 y el producto está definido, pero para el producto BA, las dimensiones internas son 2 y 3, por lo que el producto no está definido.

Uso de matrices en problemas del mundo real

Regresemos al problema presentado al comienzo de esta sección. Tenemos (Figura), que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol.

Gatos monteses Gatos de barro
Metas 6 10
Pelotas 30 24
Camisetas 14 20

También se nos dan los precios de los equipos, como se muestra en la (Figura).

Meta $300
Pelota $10
Jersey $30

Convertiremos los datos a matrices. Por lo tanto, la matriz de necesidades del equipo se escribe como

La matriz de costos se escribe como

Realizamos multiplicación de matrices para obtener costos del equipo.

El costo total del equipo para los Wildcats es de $ 2,520 y el costo total del equipo para los Mud Cats es de $ 3,840.

Cómo

Dada una operación matricial, evalúe usando una calculadora.

  1. Guarde cada matriz como una variable de matriz
  2. Ingrese la operación en la calculadora, llamando a cada variable de matriz según sea necesario.
  3. Si la operación está definida, la calculadora presentará la matriz de solución si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error.

Usar una calculadora para realizar operaciones matriciales

Encontrar dado

[revel-answer q = & # 8221301100 & # 8243] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = & # 8221301100 & # 8243] En la página de matriz de la calculadora, ingresamos matrizarriba como la variable de matrizmatrizarriba como la variable de matrizy matrizarriba como la variable de matriz

En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y recuperamos cada variable de matriz según sea necesario.

La calculadora nos da la siguiente matriz.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con matrices y operaciones con matrices.

Conceptos clave

  • Una matriz es una matriz rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
  • Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. ALa matriz tiene tres filas y dos columnas. Ver figura).
  • Sumamos y restamos matrices de iguales dimensiones sumando y restando las entradas correspondientes de cada matriz. Consulte (Figura), (Figura), (Figura) y (Figura).
  • La multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por una constante. Ver figura).
  • A menudo, se requiere la multiplicación escalar antes de que pueda ocurrir la suma o la resta. Ver figura).
  • Es posible multiplicar matrices cuando las dimensiones internas son las mismas: el número de columnas en la primera matriz debe coincidir con el número de filas en la segunda.
  • El producto de dos matrices,yse obtiene multiplicando cada entrada en la fila 1 depor cada entrada en la columna 1 deluego multiplique cada entrada de la fila 1 depor cada entrada en las columnas 2 deetcétera. Consulte (Figura) y (Figura).
  • Muchos problemas del mundo real a menudo se pueden resolver utilizando matrices. Ver figura).
  • Podemos usar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Ver figura).

Ejercicios de sección

Verbal

¿Podemos sumar dos matrices cualesquiera? Si es así, explique por qué si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices que no se pueden sumar.

No, deben tener las mismas dimensiones. Un ejemplo incluiría dos matrices de diferentes dimensiones. No se pueden sumar las siguientes dos matrices porque la primera es unamatriz y el segundo es unmatriz.no tiene suma.

¿Podemos multiplicar cualquier matriz de columna por cualquier matriz de fila? Explica por qué o por qué no.

¿Pueden ambos productosy¿definirse? Si es así, explique cómo, si no, explique por qué.

Sí, si las dimensiones desony las dimensiones desonse definirán ambos productos.

¿Se pueden multiplicar dos matrices cualesquiera del mismo tamaño? Si es así, explique por qué, y si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices del mismo tamaño que no se pueden multiplicar juntas.

¿La multiplicación de matrices conmuta? Es decir, haceSi es así, demuestre por qué lo hace. Si no es así, explique por qué no es así.

No necesariamente. Encontrarmultiplicamos la primera fila depor la primera columna depara obtener la primera entrada deEncontrarmultiplicamos la primera fila depor la primera columna depara obtener la primera entrada dePor lo tanto, si son desiguales, la multiplicación de matrices no conmuta.

Algebraico

Para los siguientes ejercicios, use las matrices a continuación y realice la suma o resta de la matriz. Indique si la operación es indefinida.

Las dimensiones no identificadas no coinciden

Para los siguientes ejercicios, use las matrices siguientes para realizar la multiplicación escalar.

Para los siguientes ejercicios, use las matrices siguientes para realizar la multiplicación de matrices.

Para los siguientes ejercicios, utilice las matrices siguientes para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación.

Las dimensiones indefinidas no coinciden.

[revel-answer q = & # 8221fs-id1165134389851 & # 8243] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = & # 8221fs-id1165134389851 & # 8243]
[/ respuesta-oculta]

Para los siguientes ejercicios, utilice las matrices siguientes para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista:)

Las dimensiones internas no definidas no coinciden.

[revel-answer q = & # 8221fs-id1165135618051 & # 8243] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta-oculta a = & # 8221fs-id1165135618051 & # 8243]
[/ respuesta-oculta]

Para los siguientes ejercicios, utilice las matrices siguientes para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista:)

Tecnología

Para los siguientes ejercicios, utilice las matrices siguientes para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Use una calculadora para verificar su solución.

Extensiones

Para los siguientes ejercicios, use la matriz a continuación para realizar la operación indicada en la matriz dada.

Usando las preguntas anteriores, encuentre una fórmula paraPruebe la fórmula parayusando una calculadora.


Operaciones múltiples

Para facilitar la exposición, generalmente hemos restringido nuestros ejemplos a una matriz o operación de matriz. A veces hemos puesto el resultado a la izquierda y otras a la derecha. Además, hemos utilizado una flecha cuando nos pareció útil y un signo de igualdad en otras ocasiones. Al escribir comandos para ser ejecutados por un sistema de programación, por supuesto, se deben seguir reglas de sintaxis bastante estrictas. Generalmente, el resultado debe escribirse primero, seguido de un signo de igualdad, seguido de un expresión indicando los cálculos deseados. Dichas expresiones pueden incluir múltiples operaciones de matriz y / o matriz, si se desea. Por ejemplo:

Esto sería perfectamente legal si las dimensiones de A, B y C eran apropiados. El sentido del signo de igualdad es el de asignación. Por lo tanto, la declaración realmente dice: & quotD debe asignarse el resultado obtenido multiplicando el inverso de A veces el producto de B y C. & quot

Declaraciones como esta, que están diseñadas para ser operadas por un sistema de programación, generalmente se escriben sin fuentes en negrita, ya que tales sutilezas se perderían en el procesador, incluso si pudieran presentárselas.


¿Qué es R Matrix?

En una matriz, los números se organizan en un número fijo de filas y columnas y, por lo general, los números son los números reales. Con la ayuda de una función de matriz, se puede reproducir fácilmente una representación en memoria de la matriz.

Por lo tanto, todos los elementos de datos deben compartir un tipo básico común.

Un elemento en el metroth fila y norteLa columna de nuestra matriz & # 8216mat & # 8217 se puede crear usando esta expresión mat [m, n].

Para extraer solo el metroEn la fila de nuestra matriz & # 8216mat & # 8217, podemos usar la expresión, mat [m,].

Y, para extraer solo el norteEn la columna de nuestra matriz & # 8216mat & # 8217, usamos la expresión mat [, n].

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Historia de matrices en R

¡Podemos rastrear los orígenes de las matrices hasta la antigüedad! Sin embargo, no fue hasta 1850, cuando se aplicó realmente el concepto de matriz.

"Matrix" es la palabra latina para matriz. Generalmente, también puede significar cualquier lugar en el que se forme o produzca algo. La palabra ha sido utilizada de manera inusual por al menos dos autores de importancia histórica. Propusieron este axioma como un medio para reducir cualquier función a uno de los tipos inferiores, de modo que en el “fondo” (orden 0) la función sea idéntica a su extensión.

Al usar el proceso de generalización, cualquier función posible que no sea una matriz de la matriz es verdadera. Sin embargo, solo es cierto si se considera la proposición que afirma la función en cuestión. Además, es cierto para todos o uno de los valores del argumento cuando otros argumentos no están determinados.

¡Esperar! ¿Ha comprobado & # 8211 R List Tutorial


Las matrices numéricas en Matlab pueden extenderse a un número arbitrario de dimensiones, no solo a 2. Podemos usar el ceros (), unos(), rand (), randn () funciones para crear matrices n-dimensionales simplemente especificando n parámetros. También podemos usar repmat () para replicar matrices a lo largo de cualquier número de dimensiones, o el gato() función, que es una generalización de la concatenación [] que vimos anteriormente. La indexación, la asignación y la extensión funcionan igual que antes, solo con n índices, en lugar de solo dos. Finalmente, podemos usar funciones como suma(), significar(), max () o min () especificando la dimensión sobre la que queremos que opere la función. suma (A, 3) por ejemplo, suma o marginaliza la tercera dimensión.

Tomando la media de, digamos, una matriz de 4 por 4 por 2 por 2 a lo largo de la 3ª dimensión da como resultado una matriz de tamaño 4 por 4 por 1 por 2. Si queremos eliminar la tercera dimensión singleton, (que ahora solo actúa como marcador de posición) podemos usar el estrujar() función.

El ndims () funciones indica cuántas dimensiones tiene una matriz. Las dimensiones finales singleton se ignoran, pero las dimensiones singleton que ocurren antes de las dimensiones no singleton no lo son.

El cuadrícula () La función que vimos anteriormente se extiende a 3 dimensiones. Si necesita cuadricular un espacio n-dimensional, use el ndgrid () función, pero tenga en cuenta que el número de elementos crece exponencialmente con la dimensión.


11.5: Matrices y operaciones con matrices

MATLAB & # x00AE tiene dos tipos diferentes de operaciones aritméticas: operaciones de matriz y operaciones de matriz. Puede utilizar estas operaciones aritméticas para realizar cálculos numéricos, por ejemplo, sumar dos números, elevar los elementos de una matriz a una potencia determinada o multiplicar dos matrices.

Las operaciones con matrices siguen las reglas del álgebra lineal. Por el contrario, las operaciones de matriz ejecutan operaciones elemento por elemento y admiten matrices multidimensionales. El carácter de punto (.) Distingue las operaciones de matriz de las operaciones de matriz. Sin embargo, dado que las operaciones de matriz y arreglo son las mismas para la suma y la resta, los pares de caracteres. + Y .- son innecesarios.

Operaciones de matriz

Las operaciones de matriz ejecutan operaciones elemento por elemento en elementos correspondientes de vectores, matrices y matrices multidimensionales. Si los operandos tienen el mismo tamaño, entonces cada elemento en el primer operando se empareja con el elemento en la misma ubicación en el segundo operando. Si los operandos tienen tamaños compatibles, entonces cada entrada se expande implícitamente según sea necesario para que coincida con el tamaño de la otra. Para obtener más información, consulte Tamaños de matriz compatibles para operaciones básicas.


Ver el vídeo: Ejercicios de Matrices #1 - Operaciones con matrices (Enero 2022).