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8.2: La Elipse


Objetivos de aprendizaje

  • Escribe ecuaciones de elipses en forma estándar.
  • Grafica elipses centradas en el origen.
  • Graficar elipses no centradas en el origen.
  • Resolver problemas aplicados que involucran elipses.

¿Te imaginas estar parado en un extremo de una habitación grande y aún poder escuchar un susurro de una persona parada en el otro extremo? El Salón Nacional de las Estatuas en Washington, DC, que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), es una de esas habitaciones. Es una habitación de forma ovalada llamada cámara de susurros porque la forma permite que el sonido viaje a lo largo de las paredes. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia entre dos personas en Statuary Hall y aún escucharse susurrar.

Escribir ecuaciones de elipses en forma estándar

Una sección cónica, o cónica, es una forma que resulta de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en el que el plano se cruza con el cono determina la forma, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación para la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).

Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y una cuerda. Coloque las chinchetas en el cartón para formar los focos de la elipse. Corta un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante en la definición). Clava cada extremo de la cuerda al cartón y traza una curva con un lápiz tenso contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la Figura ( PageIndex {3} ).

Cada elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el eje más corto se llama eje menor. Cada punto final del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada punto final del eje menor es un co-vértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares al centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias desde los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos (Figura ( PageIndex {4} )).

En esta sección, restringimos las elipses a aquellas que están colocadas vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes (x ) - y (y ) -. Más adelante en el capítulo, veremos elipses que se rotan en el plano de coordenadas.

Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto al origen. Primero aprenderemos a derivar las ecuaciones de elipses, y luego aprenderemos a escribir las ecuaciones de elipses en forma estándar. Más adelante usaremos lo que aprendamos para dibujar las gráficas.

Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Para derivar la ecuación de un elipse centrado en el origen, comenzamos con los focos ((- c, 0) ) y ((c, 0) ). La elipse es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) tales que la suma de las distancias desde ((x, y) ) a los focos es constante, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5 } ).

Si ((a, 0) ) es un vértice de la elipse, la distancia de ((- c, 0) ) a ((a, 0) ) es (a - (- c) = a + c ). La distancia de ((c, 0) ) a ((a, 0) ) es (a − c ). La suma de las distancias desde los focos hasta el vértice es

((a + c) + (a − c) = 2a )

Si ((x, y) ) es un punto en la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:

  • (d_1 = ) la distancia desde ((- c, 0) ) a ((x, y) )
  • (d_2 = ) la distancia desde ((c, 0) ) a ((x, y) )

Según la definición de una elipse, (d_1 + d_2 ) es constante para cualquier punto ((x, y) ) en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es (2a ) para el vértice ((a, 0) ). De ello se deduce que (d_1 + d_2 = 2a ) para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de la distancia. El resto de la derivación es algebraica.

[ begin {align *} d_1 + d_2 & = 2a sqrt {{(x - (- c))} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} + sqrt {{(xc)} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} & = 2a qquad text {Fórmula de distancia} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {{(xc )} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a qquad text {Expresiones simplificadas.} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a- sqrt {{(xc )} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Mover radical al lado opuesto.} {(x + c)} ^ 2 + y ^ 2 & = { left [2a- sqrt {{(xc) } ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {Cuadrar ambos lados.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2-4a sqrt {{( xc)} ^ 2 + y ^ 2} + {(xc)} ^ 2 + y ^ 2 qquad text {Expande los cuadrados.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2-4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 qquad text {Expandir los cuadrados restantes.} 2cx & = 4a ^ 2- 4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} -2cx qquad text {Combinar términos semejantes.} 4cx-4a ^ 2 & = - 4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Aislar el radical.} cx-a ^ 2 & = - a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Dividir por 4.} { left [cx-a ^ 2 right]} ^ 2 & = a ^ 2 { left [ sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {Cuadrado ambos lados.} c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2 (x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2) qquad text {Expande los cuadrados.} c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {Distribuir} a ^ 2 a ^ 2x ^ 2-c ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 4-a ^ 2c ^ 2 qquad text {Reescribir.} x ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2) + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2) qquad text {Factorizar términos comunes.} x ^ 2b ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2b ^ 2 qquad text {Set} b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2 dfrac {x ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} + dfrac {a ^ 2y ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} & = dfrac {a ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} qquad text {Dividir ambos lados por} a ^ 2b ^ 2 dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 qquad text {Simplify} end {align *} ]

Por lo tanto, la ecuación estándar de una elipse es ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). Esta ecuación define una elipse centrada en el origen . Si (a> b ), la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si (b> a ), la elipse se estira más en la dirección vertical.

Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

Las formas estándar de ecuaciones nos informan sobre las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar formas estándar de ecuaciones, estamos uniendo la relación entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.

Las características clave del elipse son su centro, vértices, co-vértices, focos, y longitudes y posiciones de la ejes mayores y menores. Al igual que con otras ecuaciones, podemos identificar todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Hay cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada uno se presenta junto con una descripción de cómo las partes de la ecuación se relacionan con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.

FORMAS ESTÁNDAR DE LA ECUACIÓN DE UN ELIPSE CON CENTRO ((0,0) )

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((0,0) ) y eje mayor en (x )-eje es

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

donde

  • (a> b )
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) )
  • la longitud del eje menor es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) )
  • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Vea la Figura ( PageIndex {6a} ).

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((0,0) ) y eje mayor en (y )-eje es

[ dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

donde

  • (a> b )
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) )
  • la longitud del eje menor es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) )
  • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Vea la Figura ( PageIndex {6b} ).

Tenga en cuenta que los vértices, co-vértices y focos están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Cuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos usar esta relación para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar.

Cómo: Dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escribe su ecuación en forma estándar.

  1. Determine si el eje mayor se encuentra en el X- o y-eje.
    • Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma (( pm a, 0) ) y (( pm c, 0) ) respectivamente, entonces el eje mayor es el X-eje. Utilice la forma estándar ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
    • Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ((0, pm a) ) y (( pm c, 0) ), respectivamente, entonces el eje mayor es el y-eje. Utilice la forma estándar ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 )
  2. Usa la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ), junto con las coordenadas dadas de los vértices y focos, para resolver (b ^ 2 ).
  3. Sustituye los valores de (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación determinada en el Paso 1.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en forma estándar

¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la elipse que tiene vértices (( pm 8,0) ) y focos (( pm 5,0) )?

Solución

Los focos están en el eje (x ) -, por lo que el eje mayor es el eje (x ) -. Por lo tanto, la ecuación tendrá la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

Los vértices son (( pm 8,0) ), entonces (a = 8 ) y (a ^ 2 = 64 ).

Los focos son (( pm 5,0) ), entonces (c = 5 ) y (c ^ 2 = 25 ).

Sabemos que los vértices y los focos están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (b ^ 2 ), tenemos:

[ begin {align *} c ^ 2 & = a ^ 2-b ^ 2 25 & = 64-b ^ 2 qquad text {Sustituye a} c ^ 2 text {y} a ^ 2 b ^ 2 & = 39 qquad text {Resuelve para} b ^ 2 end {align *} ]

Ahora solo necesitamos sustituir (a ^ 2 = 64 ) y (b ^ 2 = 39 ) en la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es ( dfrac {x ^ 2} {64} + dfrac {y ^ 2} {39} = 1 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la elipse que tiene vértices ((0, pm 4) ) y focos ((0, pm sqrt {15}) )?

Respuesta

(x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {16} = 1 )

Preguntas y respuestas

¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen dadas las coordenadas de un solo foco y vértice?

sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centradas alrededor del origen siempre tendrán la forma (( pm a, 0) ) o ((0, pm a) ). De manera similar, las coordenadas de los focos siempre tendrán la forma (( pm c, 0) ) o ((0, pm c) ). Sabiendo esto, podemos usar (a ) y (c ) de los puntos dados, junto con la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ), para encontrar (b ^ 2 ).

Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

Al igual que las gráficas de otras ecuaciones, la gráfica de una elipse se puede traducir. Si una elipse se traslada (h ) unidades horizontalmente y (k ) unidades verticalmente, el centro de la elipse será ((h, k) ). Esta Traducción resulta en la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con (x ) reemplazado por ((x − h) ) y y reemplazado por ((y − k) ).

FORMAS ESTÁNDAR DE LA ECUACIÓN DE UN ELIPSE CON CENTRO ((H, K) )

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((h, k) ) y eje mayor paralelo al eje (x ) - es

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

donde

  • (a> b )
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) )
  • la longitud del eje menor es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) )
  • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Vea la Figura ( PageIndex {7a} ).

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((h, k) ) y eje mayor paralelo al eje (y ) - es

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

donde

  • (a> b )
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) )
  • la longitud del eje menor es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) )
  • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Vea la Figura ( PageIndex {7b} ).

Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses que están centradas en un punto ((h, k) ) tienen vértices, co-vértices y focos que están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2− b ^ 2 ). Podemos usar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y la distancia para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y los focos.

Cómo: Dados los vértices y focos de una elipse que no está centrada en el origen, escribe su ecuación en forma estándar.

  1. Determina si el eje mayor es paralelo al eje (x ) - o (y ) -.
    • Si el y-Coordenadas de los vértices y focos dados son los mismos, entonces el eje mayor es paralelo al eje (x ) -. Usa la forma estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
    • Si el X-Coordenadas de los vértices y focos dados son los mismos, entonces el eje mayor es paralelo al y-eje. Usa la forma estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 )
  2. Identifica el centro de la elipse ((h, k) ) usando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices.
  3. Encuentra (a ^ 2 ) resolviendo la longitud del eje mayor, (2a ), que es la distancia entre los vértices dados.
  4. Encuentra (c ^ 2 ) usando (h ) y (k ), encontradas en el Paso 2, junto con las coordenadas dadas para los focos.
  5. Resuelve para (b ^ 2 ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  6. Sustituye los valores de (h ), (k ), (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación determinada en el Paso 1.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto distinto al origen

¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la elipse que tiene vértices ((- 2, −8) ) y ((- 2,2) ) y focos ((- 2, −7) ) y ( (−2,1) )?

Solución

Las coordenadas (x ) - de los vértices y focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al eje (y ) -. Así, la ecuación de la elipse tendrá la forma

( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 nonumber )

Primero, identificamos el centro, ((h, k) ). El centro está a medio camino entre los vértices, ((- 2, −8) ) y ((- 2,2) ). Aplicando la fórmula del punto medio, tenemos:

[ begin {align} (h, k) & = left ( dfrac {−2 + (- 2)} {2}, dfrac {−8 + 2} {2} right) nonumber & = (- 2, −3) nonumber end {align} nonumber ]

A continuación, encontramos (a ^ 2 ). La longitud del eje mayor, (2a ), está limitada por los vértices. Resolvemos (a ) encontrando la distancia entre los y-coordenadas de los vértices.

[ begin {align} 2a & = 2 - (- 8) nonumber 2a & = 10 nonumber a & = 5 nonumber end {align} nonumber ]

Entonces (a ^ 2 = 25 ).

Ahora encontramos (c ^ 2 ). Los focos están dados por ((h, k pm c) ). Entonces, ((h, k − c) = (- 2, −7) ) y ((h, k + c) = (- 2,1) ). Sustituimos (k = −3 ) usando cualquiera de estos puntos para resolver (c ).

[ begin {align} k + c & = 1 nonumber −3 + c & = 1 nonumber c & = 4 nonumber end {align} nonumber ]

Entonces (c ^ 2 = 16 ).

Luego, resolvemos (b ^ 2 ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).

[ begin {align} c ^ 2 & = a ^ 2 − b ^ 2 nonumber 16 & = 25 − b ^ 2 nonumber b ^ 2 & = 9 nonumber end {align} nonumber ]

Finalmente, sustituimos los valores encontrados para (h ), (k ), (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la ecuación de forma estándar para una elipse:

[ dfrac {{(x + 2)} ^ 2} {9} + dfrac {{(y + 3)} ^ 2} {25} = 1 nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices ((- 3,3) ) y ((5,3) ) y focos ((1−2 sqrt {3}, 3) ) y ((1 + 2 sqrt {3}, 3) )?

Respuesta

( dfrac {{(x − 1)} ^ 2} {16} + dfrac {{(y − 3)} ^ 2} {4} = 1 nonumber )

Graficar elipses centradas en el origen

Así como podemos escribir la ecuación para una elipse dada su gráfica, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, usamos la forma estándar

( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1, a> b ) para elipses horizontales

y

( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1, a> b ) para elipses verticales

Cómo: Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ((0, 0) ), esboce la gráfica.

  1. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a> b ), entonces
      • el eje mayor es el eje (x ) -
      • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) )
      • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) )
      • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) )
    • Si la ecuación tiene la forma (x ^ 2b ^ 2 + y ^ 2a ^ 2 = 1 ), donde (a> b ), entonces
      • el eje mayor es el eje (y ) -
      • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) )
      • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) )
      • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) )
  2. Resuelve para (c ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  3. Trace el centro, los vértices, los co-vértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Graficar una elipse centrada en el origen

Grafica la elipse dada por la ecuación, ( dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {25} = 1 ). Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Solución

Primero, determinamos la posición del eje mayor. Como (25> 9 ), el eje mayor está en el eje (y ). Por lo tanto, la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), donde (b ^ 2 = 9 ) y (a ^ 2 = 25 ). Resulta que:

  • el centro de la elipse es ((0,0) )
  • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) = (0, pm sqrt {25}) = (0, pm 5) )
  • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) = ( pm 9,0) = ( pm 3,0) )
  • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ) Resolviendo para (c ), tenemos:

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber & = pm sqrt {25−9} nonumber & = pm sqrt {16} nonumber & = pm 4 nonumber end {align} nonumber ]

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((0, pm 4) ).

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Vea la Figura ( PageIndex {8} ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Grafica la elipse dada por la ecuación ( dfrac {x ^ 2} {36} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 ). Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Respuesta

centro: ((0,0) ); vértices: (( pm 6,0) ); co-vértices: ((0, pm 2) ); focos: (( pm 4 sqrt {2}, 0) )

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficar una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar

Grafica la elipse dada por la ecuación (4x ^ 2 + 25y ^ 2 = 100 ). Reescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifica y rotula el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Solución

Primero, usa álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar.

[ begin {align} 4x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 100 nonumber dfrac {4x ^ 2} {100} + dfrac {25y ^ 2} {100} & = dfrac {100} {100 } nonumber dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {4} & = 1 nonumber end {align} nonumber ]

A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Como (25> 4 ), el eje mayor está en el eje (x ). Por lo tanto, la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a ^ 2 = 25 ) y (b ^ 2 = 4 ). Resulta que:

  • el centro de la elipse es ((0,0) )
  • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) = ( pm sqrt {25}, 0) = ( pm 5,0) )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) = (0, pm sqrt {4}) = (0, pm 2) )
  • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (c ), tenemos:

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber & = pm sqrt {25−4} nonumber & = pm sqrt {21} nonumber end {align} nonumber ]

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son (( pm sqrt {21}, 0) ).

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Grafica la elipse dada por la ecuación (49x ^ 2 + 16y ^ 2 = 784 ). Reescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifica y rotula el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Respuesta

Forma estándar: ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {49} = 1 ); centro: ((0,0) ); vértices: ((0, pm 7) ); co-vértices: (( pm 4,0) ); focos: ((0, pm sqrt {33}) )

Graficar elipses no centradas en el origen

Cuando un elipse no está centrado en el origen, aún podemos usar los formularios estándar para encontrar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto, ((h, k) ), usamos las formas estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{( y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), (a> b ) para elipses horizontales y ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), (a> b ) para elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los co-vértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.

Cómo: Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ((h, k) ), esboce la gráfica.

  1. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) , donde (a> b ), entonces
      • el centro es ((h, k) )
      • el eje mayor es paralelo al eje (x ) -
      • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) )
      • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) )
      • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) )
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ) , donde (a> b ), entonces
      • el centro es ((h, k) )
      • el eje mayor es paralelo al eje (y ) -
      • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) )
      • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) )
      • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) )
  2. Resuelve para (c ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  3. Trace el centro, los vértices, los co-vértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficar una elipse centrada en ((h, k) )

Grafica la elipse dada por la ecuación, ( dfrac {{(x + 2)} ^ 2} {4} + dfrac {{(y − 5)} ^ 2} {9} = 1 ). Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Solución

Primero, determinamos la posición del eje mayor. Como (9> 4 ), el eje mayor es paralelo al eje (y ). Por lo tanto, la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), donde (b ^ 2 = 4 ) y (a ^ 2 = 9 ). Resulta que:

  • el centro de la elipse es ((h, k) = (- 2,5) )
  • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) = (- 2,5 pm sqrt {9}) = (- 2,5 pm 3) ), o ((- 2, 2) ) y ((- 2,8) )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) = (- 2 pm sqrt {4}, 5) = (- 2 pm 2,5) ), o ((- 4,5) ) y ((0,5) )
  • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (c ), tenemos:

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber [4pt] & = pm sqrt {9−4} nonumber [4pt] & = pm sqrt {5} nonumber end {align} nonumber ]

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((- 2,5− sqrt {5}) ) y ((- 2,5+ sqrt {5}) ).

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Grafica la elipse dada por la ecuación ( dfrac {{(x − 4)} ^ 2} {36} + dfrac {{(y − 2)} ^ 2} {20} = 1 ). Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Respuesta

Centro: ((4,2) ); vértices: ((- 2,2) ) y ((10,2) ); co-vértices: ((4,2−2 sqrt {5}) ) y ((4,2 + 2 sqrt {5}) ); focos: ((0,2) ) y ((8,2) )

Cómo: Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en ((h, k) ), expresar la ecuación en forma estándar.

  1. Reconoce que una elipse descrita por una ecuación en la forma (ax ^ 2 + by ^ 2 + cx + dy + e = 0 ) está en forma general.
  2. Reorganice la ecuación agrupando términos que contengan la misma variable. Mueve el término constante al lado opuesto de la ecuación.
  3. Factoriza los coeficientes de los términos (x ^ 2 ) y (y ^ 2 ) como preparación para completar el cuadrado.
  4. Completa el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en la forma de la suma de múltiplos de dos binomios al cuadrado igual a una constante, (m_1 {(x − h)} ^ 2 + m_2 {(y − k)} ^ 2 = m_3 ), donde (m_1 ), (m_2 ) y (m_3 ) son constantes.
  5. Divida ambos lados de la ecuación por el término constante para expresar la ecuación en forma estándar.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Graficar una elipse centrada en ((h, k) ) escribiéndola primero en forma estándar

Grafica la elipse dada por la ecuación (4x ^ 2 + 9y ^ 2−40x + 36y + 100 = 0 ). Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

Solución

Debemos comenzar reescribiendo la ecuación en forma estándar.

(4x ^ 2 + 9y ^ 2−40x + 36y + 100 = 0 )

Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

((4x ^ 2−40x) + (9y ^ 2 + 36y) = - 100 )

Factoriza los coeficientes de los términos al cuadrado.

(4 (x ^ 2−10x) +9 (y ^ 2 + 4y) = - 100 )

Completa el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado.

(4 (x ^ 2−10x + 25) +9 (y ^ 2 + 4y + 4) = - 100 + 100 + 36 )

Reescribe como cuadrados perfectos.

(4 {(x − 5)} ^ 2 + 9 {(y + 2)} ^ 2 = 36 )

Divida ambos lados por el término constante para colocar la ecuación en forma estándar.

( dfrac {{(x − 5)} ^ 2} {9} + dfrac {{(y + 2)} ^ 2} {4} = 1 )

Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos determinar la posición del eje mayor. Como (9> 4 ), el eje mayor es paralelo al eje (x ). Por lo tanto, la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a ^ 2 = 9 ) y (b ^ 2 = 4 ). Resulta que:

  • el centro de la elipse es ((h, k) = (5, −2) )
  • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) = (5 pm sqrt {9}, - 2) = (5 pm 3, −2) ), o ((2, - 2) ) y ((8, −2) )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) = (5, −2 pm sqrt {4}) = (5, −2 pm 2) ), o ((5 , −4) ) y ((5,0) )
  • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (c ), tenemos:

[ begin {align *} c & = pm sqrt {a ^ 2-b ^ 2} & = pm sqrt {9-4} & = pm sqrt {5} end { alinear*}]

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((5− sqrt {5}, - 2) ) y ((5+ sqrt {5}, - 2) ).

A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Exprese la ecuación de la elipse dada en forma estándar. Identifica el centro, vértices, co-vértices y focos de la elipse.

(4x ^ 2 + y ^ 2−24x + 2y + 21 = 0 )

Respuesta

( dfrac {{(x − 3)} ^ 2} {4} + dfrac {{(y + 1)} ^ 2} {16} = 1 ); centro: ((3, −1) ); vértices: ((3, −5) ) y ((3,3) ); co-vértices: ((1, −1) ) y ((5, −1) ); focos: ((3, −1−2 sqrt {3}) ) y ((3, −1 + 2 sqrt {3}) )

Resolución de problemas aplicados que involucran elipses

Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, incluidas las órbitas de planetas, satélites, lunas y cometas, y formas de quillas de barcos, timones y algunas alas de aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper los cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté parado en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda de sonido se origina en un foco de una cámara susurrante, la onda de sonido se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco (Figura ( PageIndex {15} )). En la cámara de susurros del Museo de Ciencia e Industria de Chicago, dos personas de pie en los focos, a unos (43) pies de distancia, pueden oírse susurrar entre sí.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): localizar los focos de una cámara susurrante

El Statuary Hall en el Capitolio en Washington, DC es una cámara de susurros. Sus dimensiones son (46 ) pies de ancho por (96 ) pies de largo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ).

  1. ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa el contorno de la habitación? Pista: suponga una elipse horizontal y deje que el centro de la habitación sea el punto ((0,0) ).
  2. Si dos senadores parados en los focos de esta sala pueden escucharse susurrar entre sí, ¿a qué distancia están los senadores? Redondea al pie más cercano.

Solución

  1. Suponemos una elipse horizontal con centro ((0,0) ), por lo que necesitamos encontrar una ecuación de la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a> b ). Sabemos que la longitud del eje mayor, (2a ), es más larga que la longitud del eje menor, (2b ). Entonces, la longitud de la habitación, 96, está representada por el eje mayor, y el ancho de la habitación, 46, está representada por el eje menor.

    Por lo tanto, la ecuación de la elipse es [(dfrac {x ^ 2} {2304} + dfrac {y ^ 2} {529} = 1 )

    • Resolviendo para (a ), tenemos (2a = 96 ), entonces (a = 48 ) y (a ^ 2 = 2304 ).
    • Resolviendo para (b ), tenemos (2b = 46 ), entonces (b = 23 ) y (b ^ 2 = 529 ).
  2. Para encontrar la distancia entre los senadores, debemos encontrar la distancia entre los focos, (( pm c, 0) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (c ), tenemos:

[ begin {align *} c ^ 2 & = a ^ 2-b ^ 2 c ^ 2 & = 2304-529 qquad text {Sustituye usando los valores encontrados en la parte} (a) c & = pm sqrt {2304-529} qquad text {Saca la raíz cuadrada de ambos lados.} c & = pm sqrt {1775} qquad text {Restar.} c & approx pm 42 qquad text {Redondea al pie más cercano.} end {align *} ]

Los puntos (( pm 42,0) ) representan los focos. Por tanto, la distancia entre los senadores es (2 (42) = 84 ) pies.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Suponga que una cámara de susurros mide (480 ) pies de largo y (320 ) pies de ancho.

  1. ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa la habitación? Sugerencia: suponga una elipse horizontal y deje que el centro de la habitación sea el punto ((0,0) ).
  2. Si dos personas están parados en los focos de esta sala y pueden oírse susurrar entre sí, ¿a qué distancia están las personas? Redondea al pie más cercano.
Responde una

( dfrac {x ^ 2} {57.600} + dfrac {y ^ 2} {25.600} = 1 )

Respuesta b

La gente está a (358 ) pies de distancia.

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con puntos suspensivos.

  • Secciones cónicas: la elipse
  • Graficar una elipse con centro en el origen
  • Graficar una elipse con centro no en el origen

Ecuaciones clave

Elipse horizontal, centro en origen ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), (a> b )
Elipse vertical, centro en origen ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), (a> b )
Elipse horizontal, centro ((h, k) ) ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), (a> b )
Elipse vertical, centro ((h, k) ) ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), (a> b )

Conceptos clave

  • Una elipse es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
  • Cuando se dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ) y Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • Cuando se nos da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, co-vértices, focos y las longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea Ejemplo ( PageIndex {3} ) y Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • Cuando se nos da la ecuación de una elipse centrada en algún punto que no sea el origen, podemos identificar sus características clave y graficar la elipse. Vea Ejemplo ( PageIndex {5} ) y Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  • Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de elipses y luego evaluarse para encontrar características clave, como longitudes de ejes y distancia entre focos. Vea Ejemplo ( PageIndex {7} ).

2.2: La Elipse

  • Contribución de Jeremy Tatum
  • Profesor emérito (Física y Astronomía) en la Universidad de Victoria

Una elipse es una figura que se puede dibujar pegando dos alfileres en una hoja de papel, atando un trozo de hilo a los alfileres, estirando el hilo con un lápiz y dibujando la figura resultante. Durante este proceso, la suma de las dos distancias del lápiz a un alfiler y del lápiz al otro alfiler permanece constante e igual a la longitud de la cuerda. Este método de dibujar una elipse nos proporciona una definición formal, que adoptaremos en este capítulo, de una elipse, a saber:

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos llamados focos es constante. (véase el gráfico II.6).


( exto

)

Llamaremos a la suma de estas dos distancias (es decir, la longitud de la cuerda) (2a ). La relación entre la distancia entre los focos y la longitud de la cuerda se llama excentricidad (e ) de la elipse, de modo que la distancia entre los focos es (2ae ), y (e ) es un número entre 0 y 1.

El eje más largo de la elipse es su eje mayor, y un poco de pensamiento mostrará que su longitud es igual a la longitud de la cuerda, es decir, (2a ). El eje más corto es el eje menor y su longitud generalmente se denota por (2b ). La excentricidad está relacionada con la razón (b / a ) de una manera que discutiremos en breve.

se llama el elipticidad si la elipse. Es simplemente una medida alternativa de la no circularidad. Está relacionado con la excentricidad, y también obtendremos esa relación en breve. Hasta entonces, Figura ( text) muestra pictóricamente la relación entre los dos.


( exto

)

Usaremos nuestra definición de elipse para obtener su ecuación en coordenadas rectangulares. Colocaremos los dos focos en el eje (x ) - en las coordenadas (& menos (ae ), 0) y ( (ae ), 0) (ver figura II.8).


( exto

)

La definición requiere que ( textbf_1 + textbf_2 = 2a ). Eso es:

y esta es la Ecuación de la elipse. El lector debería poder, después de un poco de álgebra un poco incómoda, demostrar que esto se puede escribir más convenientemente como

Al poner (x = 0 ), se ve que la elipse interseca el eje (y ) - en ( pm a sqrt <1-e ^ 2> ) y por lo tanto que (a sqrt <1-e ^ 2> ) es igual al eje semi menor (b ). Así tenemos la familiar ecuación de la elipse

así como la importante relación entre (a ), (b ) y (e ):

El lector también puede ahora derivar la relación entre elipticidad (& eta ) y excentricidad (e ):

Esto muestra, por cierto, que la gráfica de (& eta ) versus (e ), que hemos dibujado en la figura ( text), es parte de un círculo de radio 1 centrado en (e = 0, & eta = 1 ).

En cifras ( text) Dibujé elipses de excentricidades de 0.1 a 0.9 en pasos de 0.1, y en la figura ( text) He dibujado elipses de elipticidades de 0,1 a 0,9 en pasos de 0,1. Puede encontrar que la elipticidad le da una mejor idea que la excentricidad de la no circularidad de una elipse. Para un ejercicio, debe dibujar las posiciones de los focos de cada una de estas elipses y decidir si la excentricidad o elipticidad le dan una mejor idea de la & quotex-centricity & quot de los focos. Tenga en cuenta que las excentricidades de las órbitas de Marte y Mercurio son, respectivamente, de aproximadamente 0,1 y 0,2 (estas son las más excéntricas de las órbitas planetarias, excepto Plutón, parecido a un cometa), y es difícil para el ojo ver que parten en todo desde círculos, aunque, cuando se dibujan los focos, es obvio que los focos son & quot; centrados en x & quot.


( exto

): El número dentro de cada elipse es su excentricidad.


( exto

): La figura dentro o debajo de cada elipse es su elipticidad.

En la teoría de las órbitas planetarias, el Sol estará en un foco. Supongamos que está en ( text_2 ) (ver figura ( text)). En ese caso, la distancia ( text_2 texto) es la distancia del perihelio (q ), y es igual a

Una línea paralela al eje menor y que pasa por un foco se llama latus recto (plural: latera recta). La longitud de un recto semilato se denota comúnmente por (l ) (a veces por (p )). Su longitud se obtiene poniendo (x = ae ) en la ecuación de la elipse, y se encontrará fácilmente que

La longitud del recto semilato es una cantidad importante en la teoría de la órbita. Se encontrará, por ejemplo, que la energía de un planeta está estrechamente relacionada con el semieje mayor (a ) de su órbita, mientras que su momento angular está estrechamente relacionado con el semilato recto.

El círculo cuyo diámetro es el eje mayor de la elipse se llama círculo excéntrico o, preferiblemente, el círculo auxiliar (figura ( texto)). Su ecuación es



( exto

)

En la teoría de la órbita, el ángulo (v ) (denotado por (f ) por algunos autores) se llama la verdadera anomalía de un planeta en su órbita. El ángulo (E ) se llama anomalía excéntrica, y es importante encontrar una relación entre ellos.

Primero notamos que, si la anomalía excéntrica es (E ), las abscisas de ( text

^ prime ) y de ( text

) son cada uno (a cos E ). La ordenada de ( text

^ prime ) es (a sin E ). Al poner (x = a cos E ) en la ecuación de la elipse, encontramos inmediatamente que la ordenada de ( text

) es (b sin E ). Siguen varias deducciones. Una es que cualquier punto cuyas abscisas y ordenadas sean de la forma

[x = a cos E, quad y = b sin E label <2.3.12> tag <2.3.12> ]

está en una elipse de semi eje mayor (a ) y semi eje menor (b ). Estas dos ecuaciones pueden considerarse como ecuaciones paramétricas de la elipse. Pueden usarse para describir una elipse tan fácilmente como

y de hecho esta ecuación es la (E ) - eliminante de las ecuaciones paramétricas.

La proporción ( text/ exto

^ prime text) para cualquier línea perpendicular al eje mayor es (b / a ). En consecuencia, el área de la elipse es (b / a ) multiplicado por el área del círculo auxiliar y dado que el área del círculo auxiliar es ( pi a ^ 2 ), se sigue que el área de la elipse es ( pi ab ).

En la figura ( text), la distancia (r ) se llama vector de radio (plural vectores de radios), y del teorema de Pitágoras su longitud está dada por

[r ^ 2 = b ^ 2 sin ^ 2 E + a ^ 2 ( cos E - e) ^ 2. etiqueta <2.3.14> etiqueta <2.3.14> ]

Al sustituir (1 & minus cos ^ 2 E ) por ( sin ^ 2 E ) y (a ^ 2 (1 - e ^ 2) ) por (b ^ 2 ), pronto encontramos ese

[r = a (1 - e cos E) etiqueta <2.3.15> etiqueta <2.3.15> ]

Entonces se sigue inmediatamente que la relación deseada entre (v ) y (E ) es

A partir de identidades trigonométricas, esto también se puede escribir

Las fórmulas inversas también pueden ser útiles:

Hay una serie de propiedades geométricas diversas de una elipse, algunas, pero no necesariamente todas, de las cuales pueden resultar útiles en los cálculos orbitales. Describimos algunos de ellos a continuación.


P: Calcula la derivada parcial

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Sea f (x) = 3x2 - 2x. (a) Encuentre la tasa de cambio instantánea de f (x) en x = −1. (b) Encuentre la pendiente.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Evaluar | ry ds donde C es la mitad derecha del círculo r + y = 9% 3D

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Calcule la derivada de la función f (x) = 5x² + 3x en el punto x = 4.% 3D (Dé su respuesta como.

R: Tenemos que encontrar la derivada en ese punto.

P: Nota: Su respuesta debe estar en forma EXACTA: no puede contener decimales. Debe ser un número entero o.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Considere lo siguiente. f (x) = x / x2-3 Encuentre los valores de x en los que f no es continua. De los cuales.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Evalúe los siguientes límites. Si es necesario, ingrese INF para o y MINF para –∞. (a) lim (Væ? - 9x + 1- x 9.

P: Calcule la integral, muestre todo el trabajo, por favor.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: ¿Puede ayudarme a responder esto?

A: Dado- dy / dx = 1 / (y2x + y2) encuentre- Ecuación diferencial. nota- En la solución c es solo una constante.


La elipse

Figura 1. El Salón Nacional de las Estatuas en Washington, D.C. (crédito: Greg Palmer, Flickr)

¿Te imaginas estar parado en un extremo de una habitación grande y aún poder escuchar un susurro de una persona parada en el otro extremo? El Salón Nacional de las Estatuas en Washington, D.C., que se muestra en la (Figura), es una de esas salas. [1] Es una habitación de forma ovalada llamada cámara de susurros porque la forma permite que el sonido viaje a lo largo de las paredes. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia entre dos personas en Statuary Hall y aún escucharse susurrar.

Escribir ecuaciones de elipses en forma estándar

Una sección cónica, o cónica, es una forma que resulta de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en el que el plano se cruza con el cono determina la forma, como se muestra en la (Figura).

Figura 2.

Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación para la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos.en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos sea una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).

Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y una cuerda. Coloque las chinchetas en el cartón para formar los focos de la elipse. Corta un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante en la definición). Clava cada extremo de la cuerda al cartón y traza una curva con un lápiz tenso contra la cuerda. El resultado es una elipse. Ver figura).

Figura 3.

Cada elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el eje más corto se llama eje menor. Cada punto final del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada punto final del eje menor es un co-vértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares al centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor y la suma de las distancias desde los focos hasta cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Ver figura).

Figura 4.

En esta sección, restringimos las elipses a aquellas que están colocadas vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán sobre el eje o serán paralelos al X& # 8211 y y-axes. Más adelante en el capítulo, veremos elipses que se rotan en el plano de coordenadas.

Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto al origen. Primero aprenderemos a derivar las ecuaciones de elipses, y luego aprenderemos a escribir las ecuaciones de elipses en forma estándar. Más adelante usaremos lo que aprendamos para dibujar las gráficas.

Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focosyLa elipse es el conjunto de todos los puntos.tal que la suma de las distancias desdea los focos es constante, como se muestra en la (Figura).

Figura 5.

Sies un vértice de la elipse, la distancia desdeparaesLa distancia desdeparaes. La suma de las distancias desde los focos hasta el vértice es

Sies un punto en la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:

Por la definición de una elipse,es constante para cualquier puntoen la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias espara el vérticeResulta quepara cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de la distancia. El resto de la derivación es algebraica.

Por tanto, la ecuación estándar de una elipse esEsta ecuación define una elipse centrada en el origen. Sila elipse se estira más en la dirección horizontal, y si la elipse se estira más en la dirección vertical.

Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

Las formas estándar de ecuaciones nos informan sobre las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar formas estándar de ecuaciones, estamos uniendo la relación entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.

Las características clave de la elipse son su centro, vértices, co-vértices, focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor. Al igual que con otras ecuaciones, podemos identificar todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Hay cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada uno se presenta junto con una descripción de cómo las partes de la ecuación se relacionan con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.

Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro (0,0)

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor en el eje x es

  • la longitud del eje mayor es
  • las coordenadas de los vértices son
  • la longitud del eje menor es
  • las coordenadas de los co-vértices son
  • las coordenadas de los focos son, dondeVer figura)a

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor en el eje y es

  • la longitud del eje mayor es
  • las coordenadas de los vértices son
  • la longitud del eje menor es
  • las coordenadas de los co-vértices son
  • las coordenadas de los focos son, dondeVer figura)B

Tenga en cuenta que los vértices, co-vértices y focos están relacionados por la ecuaciónCuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos usar esta relación para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar.

Figura 6. (a) Elipse horizontal con centro(b) Elipse vertical con centro

Cómo

Dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escribe su ecuación en forma estándar.

  1. Determine si el eje mayor se encuentra en el X& # 8211 o y-eje.
    1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la formayrespectivamente, entonces el eje mayor es el X-eje. Utilice el formulario estándar
    2. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la formayrespectivamente, entonces el eje mayor es el y-eje. Utilice el formulario estándar

    Escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en forma estándar

    ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?y focos

    Los focos están en el X-eje, por lo que el eje mayor es el X-eje. Por tanto, la ecuación tendrá la forma

    Los vértices sonasi quey

    Los focos sonasi quey

    Sabemos que los vértices y focos están relacionados por la ecuaciónResolviendo para tenemos:

    Ahora solo necesitamos sustituiryen la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es[/ respuesta-oculta]

    Intentalo

    ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?y focos

    ¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen dadas las coordenadas de un solo foco y vértice?

    sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centradas alrededor del origen siempre tendrán la formaoDel mismo modo, las coordenadas de los focos siempre tendrán la formaoSabiendo esto, podemos usarya partir de los puntos dados, junto con la ecuaciónencontrar

    Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

    Al igual que las gráficas de otras ecuaciones, la gráfica de una elipse se puede traducir. Si se traduce una elipseunidades horizontalmente yunidades verticalmente, el centro de la elipse seráEsta traducción da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, conreemplazado pory y reemplazado por

    Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro (h, k)

    La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor paralelo al X-eje es

    • la longitud del eje mayor es
    • las coordenadas de los vértices son
    • la longitud del eje menor es
    • las coordenadas de los co-vértices son
    • las coordenadas de los focos sondondeVer figura)a

    La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor paralelo al y-eje es

    • la longitud del eje mayor es
    • las coordenadas de los vértices son
    • la longitud del eje menor es
    • las coordenadas de los co-vértices son
    • las coordenadas de los focos sondondeVer figura)B

    Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses que están centradas en un puntotienen vértices, co-vértices y focos que están relacionados por la ecuaciónPodemos usar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y la distancia para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y los focos.

    Figura 7. (a) Elipse horizontal con centro(b) Elipse vertical con centro

    Cómo

    Dados los vértices y focos de una elipse que no está centrada en el origen, escribe su ecuación en forma estándar.

    1. Determine si el eje mayor es paralelo al X& # 8211 o y-eje.
      1. Si el y-Coordenadas de los vértices y focos dados son los mismos, entonces el eje mayor es paralelo al X-eje. Utilice el formulario estándar
      2. Si el X-Coordenadas de los vértices y focos dados son los mismos, entonces el eje mayor es paralelo al y-eje. Utilice el formulario estándar

      Escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto distinto al origen

      ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?y

      y focosy

      El X-Las coordenadas de los vértices y focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al y-eje. Así, la ecuación de la elipse tendrá la forma

      Primero, identificamos el centro,El centro está a medio camino entre los vértices,yAplicando la fórmula del punto medio, tenemos:

      A continuación, encontramosLa longitud del eje mayor, está delimitado por los vértices. Resolvemos paraencontrando la distancia entre el y-coordenadas de los vértices.

      Entonces

      Ahora encontramosLos focos están dados porEntonces,yNosotros sustituimosusando cualquiera de estos puntos para resolver

      Entonces

      A continuación, resolvemosusando la ecuación

      Finalmente, sustituimos los valores encontrados para yen la ecuación de forma estándar para una elipse:

      [/ respuesta-oculta]

      Intentalo

      ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?yy focosy

      Graficar elipses centradas en el origen

      Así como podemos escribir la ecuación para una elipse dada su gráfica, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, usamos la forma estándarpara elipses horizontales ypara elipses verticales.

      Cómo

      Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en bosqueja el gráfico.

      1. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.
        1. Si la ecuación tiene la formadondeluego
          • el eje mayor es el X-eje
          • las coordenadas de los vértices son
          • las coordenadas de los co-vértices son
          • las coordenadas de los focos son
        2. Si la ecuación tiene la formadondeluego
          • el eje mayor es el y-eje
          • las coordenadas de los vértices son
          • las coordenadas de los co-vértices son
          • las coordenadas de los focos son

        Graficar una elipse centrada en el origen

        Grafica la elipse dada por la ecuación,Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

        Primero, determinamos la posición del eje mayor. Porqueel eje mayor está en el y-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

        • el centro de la elipse es
        • las coordenadas de los vértices son
        • las coordenadas de los co-vértices son
        • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo para tenemos:

        Por tanto, las coordenadas de los focos son

        A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ver figura).

        Figura 8.

        Intentalo

        Grafica la elipse dada por la ecuaciónIdentificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

        centrar:vértices:co-vértices:focos:

        [/ respuesta-oculta]

        Graficar una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar

        Grafica la elipse dada por la ecuaciónReescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifica y rotula el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

        Primero, usa álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar.

        A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Porqueel eje mayor está en el X-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

        • el centro de la elipse es
        • las coordenadas de los vértices son
        • las coordenadas de los co-vértices son
        • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo paratenemos:

        Por lo tanto, las coordenadas de los focos son

        A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

        Figura 9.

        Intentalo

        Grafica la elipse dada por la ecuaciónReescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifica y rotula el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

        Forma estándar:centrar:vértices:co-vértices:focos:

        Graficar elipses no centradas en el origen

        Cuando una elipse no está centrada en el origen, aún podemos usar las formas estándar para encontrar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto,usamos los formularios estándarpara elipses horizontales ypara elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, vértices, co-vértices, focos y posiciones de los ejes mayor y menor.

        Cómo

        Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en bosqueja el gráfico.

        1. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.
          1. Si la ecuación tiene la formadondeluego
            • el centro es
            • el eje mayor es paralelo al X-eje
            • las coordenadas de los vértices son
            • las coordenadas de los co-vértices son
            • las coordenadas de los focos son
          2. Si la ecuación tiene la formadondeluego
            • el centro es
            • el eje mayor es paralelo al y-eje
            • las coordenadas de los vértices son
            • las coordenadas de los co-vértices son
            • las coordenadas de los focos son

          Graficar una elipse centrada en (h, k)

          Grafica la elipse dada por la ecuación,Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

          Primero, determinamos la posición del eje mayor. Porque el eje mayor es paralelo al y-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

          • el centro de la elipse es
          • las coordenadas de los vértices son oy
          • las coordenadas de los co-vértices son oy
          • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo paratenemos:

          Por tanto, las coordenadas de los focos sony

          A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

          Figura 10.

          Intentalo

          Grafica la elipse dada por la ecuaciónIdentificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

          Centrar:vértices:yco-vértices:yfocos:y

          [/ respuesta-oculta]

          Cómo

          Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en (h, k), expresa la ecuación en forma estándar.

          1. Reconocer que una elipse descrita por una ecuación en la formaestá en forma general.
          2. Reorganice la ecuación agrupando términos que contengan la misma variable. Mueve el término constante al lado opuesto de la ecuación.
          3. Factoriza los coeficientes delytérminos en preparación para completar el cuadrado.
          4. Complete el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en la forma de la suma de múltiplos de dos binomios al cuadrado iguales a una constante, donde yson constantes.
          5. Divida ambos lados de la ecuación por el término constante para expresar la ecuación en forma estándar.

          Graficar una elipse centrada en (h, k) escribiéndolo primero en forma estándar

          Grafica la elipse dada por la ecuación Identifica y rotula el centro, vértices, co-vértices y focos.

          Debemos comenzar reescribiendo la ecuación en forma estándar.

          Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

          Factoriza los coeficientes de los términos al cuadrado.

          Completa el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado.

          Reescribe como cuadrados perfectos.

          Divida ambos lados por el término constante para colocar la ecuación en forma estándar.

          Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos determinar la posición del eje mayor. Porque el eje mayor es paralelo al X-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

          • el centro de la elipse es
          • las coordenadas de los vértices sonoy
          • las coordenadas de los co-vértices sonoy
          • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo paratenemos:

          Por tanto, las coordenadas de los focos sony

          A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse como se muestra en la (Figura).

          Figura 11.

          Intentalo

          Exprese la ecuación de la elipse dada en forma estándar. Identifica el centro, vértices, co-vértices y focos de la elipse.

          centrar:vértices:yco-vértices:yfocos:y

          Resolución de problemas aplicados que involucran elipses

          Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, incluidas las órbitas de planetas, satélites, lunas y cometas, y formas de quillas de barcos, timones y algunas alas de aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper los cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que se encuentre en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda de sonido se origina en un foco de una cámara susurrante, la onda de sonido se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Ver figura). En la cámara de susurros del Museo de Ciencia e Industria de Chicago, dos personas paradas en los focos, a unos 43 pies de distancia, pueden oírse susurrar entre sí.

          Figura 12.Las ondas sonoras se reflejan entre focos en una habitación elíptica, llamada cámara de susurros.

          Localización de los focos de una cámara susurrante

          El Statuary Hall en el Capitolio en Washington, DC es una cámara de susurros. Sus dimensiones son 46 pies de ancho por 96 pies de largo como se muestra en la (Figura).

          1. ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa el contorno de la habitación? Sugerencia: suponga una elipse horizontal y deje que el centro de la habitación sea el punto
          2. Si dos senadores parados en los focos de esta sala pueden escucharse susurrar entre sí, ¿a qué distancia están los senadores? Redondea al pie más cercano.
          Figura 13.

          1. Suponemos una elipse horizontal con centro así que necesitamos encontrar una ecuación de la formadondeSabemos que la longitud del eje mayor,es más largo que la longitud del eje menor,Entonces, la longitud de la habitación, 96, está representada por el eje mayor, y el ancho de la habitación, 46, está representada por el eje menor.
            • Resolviendo para tenemos asi que y
            • Resolviendo para tenemos asi que y

          Por tanto, la ecuación de la elipse es

          Los puntosrepresentan los focos. Así, la distancia entre los senadores espies. [/ respuesta-oculta]

          Intentalo

          Suponga que una cámara de susurros tiene 480 pies de largo y 320 pies de ancho.

          1. ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa la habitación? Sugerencia: suponga una elipse horizontal y deje que el centro de la habitación sea el punto
          2. Si dos personas están parados en los focos de esta sala y pueden oírse susurrar entre sí, ¿a qué distancia están las personas? Redondea al pie más cercano.
          1. La gente está a 358 pies de distancia.

          Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con puntos suspensivos.

          Ecuaciones clave

          Elipse horizontal, centro en origen
          Elipse vertical, centro en origen
          Elipse horizontal, centro
          Elipse vertical, centro

          Conceptos clave

          • Una elipse es el conjunto de todos los puntos.en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos sea una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
          • Cuando se dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Consulte (Figura) y (Figura).
          • Cuando se nos da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, co-vértices, focos y las longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Consulte (Figura) y (Figura).
          • Cuando se nos da la ecuación de una elipse centrada en algún punto que no sea el origen, podemos identificar sus características clave y graficar la elipse. Consulte (Figura) y (Figura).
          • Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de elipses y luego evaluarse para encontrar características clave, como longitudes de ejes y distancia entre focos. Ver figura).

          Ejercicios de sección

          Verbal

          Defina una elipse en términos de sus focos.

          Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano cuya suma de distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

          ¿Dónde deben estar los focos de una elipse?

          ¿Qué caso especial de elipse tenemos cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud?

          Este caso especial sería un círculo.

          Para el caso especial mencionado anteriormente, ¿qué sería cierto acerca de los focos de esa elipse?

          ¿Qué se puede decir sobre la simetría de la gráfica de una elipse con centro en el origen y focos a lo largo del y-¿eje?

          Es simétrico sobre el X-eje, y-eje y el origen.

          Algebraico

          Para los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. En caso afirmativo, escriba en forma estándar.

          Para los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos.

          Puntos finales del eje mayoryPuntos finales del eje menoryFocos en

          Puntos finales del eje mayoryPuntos finales del eje menorFocos en

          Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

          Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFocos en

          Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

          Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFocos en

          Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

          [revel-answer q = & # 82211332424 & # 8243] Mostrar solución [/ revel-answer] [hidden-answer a = & # 82211332424 & # 8243]

          Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFocos en

          Para los siguientes ejercicios, encuentre los focos para las elipses dadas.

          Focos

          Atención[/ respuesta-oculta]

          Focos

          Gráfico

          Para los siguientes ejercicios, grafica las elipses dadas, observando el centro, los vértices y los focos.

          CentrarVérticesFocos

          [/ respuesta-oculta]

          CentrarVérticesFocos

          [/ respuesta-oculta]

          CentrarVérticesAtención

          Tenga en cuenta que esta elipse es un círculo. El círculo tiene un solo foco, que coincide con el centro.

          [/ respuesta-oculta]

          CentrarVérticesFocos

          [/ respuesta-oculta]

          CentrarVérticesFocos

          [/ respuesta-oculta]

          CentrarVérticesFocos

          [/ respuesta-oculta]

          CentrarVérticesAtención

          [/ respuesta-oculta]

          Para los siguientes ejercicios, use la información dada sobre la gráfica de cada elipse para determinar su ecuación.

          Centro en el origen, simétrico con respecto al X& # 8211 y y-ejes, enfoque en y señalar en el gráfico

          Centro en el origen, simétrico con respecto al X& # 8211 y y-ejes, enfoque en y señalar en el gráfico

          Centro en el origen, simétrico con respecto al X& # 8211 y y-ejes, enfoque en y el eje mayor es dos veces más largo que el eje menor.

          Centrar vértice un enfoque:.

          Centrar vértice un enfoque:

          Centrar vértice un enfoque:

          Para los siguientes ejercicios, dada la gráfica de la elipse, determine su ecuación.

          Extensiones

          Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula

          Aplicaciones del mundo real

          Encuentra la ecuación de la elipse que encajará dentro de una caja de 8 unidades de ancho y 4 unidades de alto.

          Encuentra la ecuación de la elipse que encajará dentro de una caja que sea cuatro veces más ancha que alta. Expresar en términos de la altura.

          Un arco tiene la forma de una semielipse (la mitad superior de una elipse). El arco tiene una altura de 8 pies y una luz de 20 pies. Encuentre una ecuación para la elipse y úsela para encontrar la altura al 0.01 pie más cercano del arco a una distancia de 4 pies del centro.

          Un arco tiene forma de semielipse. El arco tiene una altura de 12 pies y una luz de 40 pies. Encuentre una ecuación para la elipse y úsela para encontrar la distancia desde el centro hasta un punto en el que la altura es de 6 pies. Redondea a la centésima más cercana.

          . Distancia = 17.32 pies

          Se construirá un puente en forma de arco semielíptico y tendrá una luz de 120 pies. La altura del arco a una distancia de 40 pies del centro debe ser de 8 pies. Encuentra la altura del arco en su centro.

          Una persona en una galería de susurros parada en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona parada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si una galería susurrante tiene una longitud de 120 pies y los focos están ubicados a 30 pies del centro, encuentre la altura del techo en el centro.

          Una persona está parada a 8 pies de la pared más cercana en una galería susurrante. Si esa persona está en un foco y el otro foco está a 80 pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

          Glosario

          centro de una elipse el punto medio de los ejes mayor y menor sección cónica cualquier forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano elipse el conjunto de todos los puntos /> en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos fijos puntos es un foco constante plural de focos foco (de una elipse) uno de los dos puntos fijos en el eje mayor de una elipse tal que la suma de las distancias desde estos puntos a cualquier punto /> en la elipse es un eje mayor constante el más largo de los dos ejes de una elipse eje menor el más corto de los dos ejes de una elipse

          61 La Elipse

          ¿Te imaginas estar parado en un extremo de una habitación grande y aún poder escuchar un susurro de una persona parada en el otro extremo? El Salón Nacional de las Estatuas en Washington, D.C., que se muestra en la (Figura), es una de esas habitaciones. 1 Es una habitación de forma ovalada llamada cámara de susurros porque la forma hace posible que el sonido viaje a lo largo de las paredes. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia entre dos personas en Statuary Hall y aún escucharse susurrar entre sí.

          Escribir ecuaciones de elipses en forma estándar

          Una sección cónica, o cónica, es una forma que resulta de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en el que el plano se cruza con el cono determina la forma, como se muestra en la (Figura).

          Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación para la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos.en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos sea una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).

          Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y una cuerda. Coloque las chinchetas en el cartón para formar los focos de la elipse. Corta un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante en la definición). Clava cada extremo de la cuerda al cartón y traza una curva con un lápiz tenso contra la cuerda. El resultado es una elipse. Ver figura).

          Cada elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el eje más corto se llama eje menor. Cada punto final del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada punto final del eje menor es un co-vértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares al centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor y la suma de las distancias desde los focos hasta cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Ver figura).

          En esta sección, restringimos las elipses a aquellas que están colocadas vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán sobre el eje o serán paralelos al X& # 8211 y y-axes. Más adelante en el capítulo, veremos elipses que se rotan en el plano de coordenadas.

          Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto al origen. Primero aprenderemos a derivar las ecuaciones de elipses, y luego aprenderemos a escribir las ecuaciones de elipses en forma estándar. Más adelante usaremos lo que aprendamos para dibujar las gráficas.

          Derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen

          Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focosyLa elipse es el conjunto de todos los puntos.tal que la suma de las distancias desdea los focos es constante, como se muestra en la (Figura).

          Sies un vértice de la elipse, la distancia desdeparaesLa distancia desdeparaes. La suma de las distancias desde los focos hasta el vértice es

          Sies un punto en la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:

          Por la definición de una elipse,es constante para cualquier puntoen la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias espara el vérticeResulta quepara cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de la distancia. El resto de la derivación es algebraica.

          Por tanto, la ecuación estándar de una elipse esEsta ecuación define una elipse centrada en el origen. Sila elipse se estira más en la dirección horizontal, y si la elipse se estira más en la dirección vertical.

          Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

          Las formas estándar de ecuaciones nos informan sobre las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar formas estándar de ecuaciones, estamos uniendo la relación entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.

          Las características clave de la elipse son su centro, vértices, co-vértices, focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor. Al igual que con otras ecuaciones, podemos identificar todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Hay cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada uno se presenta junto con una descripción de cómo las partes de la ecuación se relacionan con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.

          La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor en el eje x es

          • la longitud del eje mayor es
          • las coordenadas de los vértices son
          • la longitud del eje menor es
          • las coordenadas de los co-vértices son
          • las coordenadas de los focos son, dondeVer figura)a

          La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor en el eje y es

          • la longitud del eje mayor es
          • las coordenadas de los vértices son
          • la longitud del eje menor es
          • las coordenadas de los co-vértices son
          • las coordenadas de los focos son, dondeVer figura)B

          Tenga en cuenta que los vértices, co-vértices y focos están relacionados por la ecuaciónCuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos usar esta relación para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar.

          (a) Elipse horizontal con centro(b) Elipse vertical con centro

          Dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escribe su ecuación en forma estándar.

          1. Determine si el eje mayor se encuentra en el X& # 8211 o y-eje.
            1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la formayrespectivamente, entonces el eje mayor es el X-eje. Utilice el formulario estándar
            2. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la formayrespectivamente, entonces el eje mayor es el y-eje. Utilice el formulario estándar

            ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?y focos

            Los focos están en el X-eje, por lo que el eje mayor es el X-eje. Por tanto, la ecuación tendrá la forma

            Los vértices sonasi quey

            Los focos sonasi quey

            Sabemos que los vértices y focos están relacionados por la ecuaciónResolviendo para tenemos:

            Ahora solo necesitamos sustituiryen la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es

            ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?y focos

            ¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen dadas las coordenadas de un solo foco y vértice?

            sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centradas alrededor del origen siempre tendrán la formaoDel mismo modo, las coordenadas de los focos siempre tendrán la formaoSabiendo esto, podemos usarya partir de los puntos dados, junto con la ecuaciónencontrar

            Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

            Al igual que las gráficas de otras ecuaciones, la gráfica de una elipse se puede traducir. Si se traduce una elipseunidades horizontalmente yunidades verticalmente, el centro de la elipse seráEsta traducción da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, conreemplazado pory y reemplazado por

            La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor paralelo al X-eje es

            • la longitud del eje mayor es
            • las coordenadas de los vértices son
            • la longitud del eje menor es
            • las coordenadas de los co-vértices son
            • las coordenadas de los focos sondondeVer figura)a

            La forma estándar de la ecuación de una elipse con centroy eje mayor paralelo al y-eje es

            • la longitud del eje mayor es
            • las coordenadas de los vértices son
            • la longitud del eje menor es
            • las coordenadas de los co-vértices son
            • las coordenadas de los focos sondondeVer figura)B

            Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses que están centradas en un puntotienen vértices, co-vértices y focos que están relacionados por la ecuaciónPodemos usar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y la distancia para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y los focos.

            (a) Elipse horizontal con centro(b) Elipse vertical con centro

            Dados los vértices y focos de una elipse que no está centrada en el origen, escribe su ecuación en forma estándar.

            1. Determine si el eje mayor es paralelo al X& # 8211 o y-eje.
              1. Si el y-Coordenadas de los vértices y focos dados son los mismos, entonces el eje mayor es paralelo al X-eje. Utilice el formulario estándar
              2. Si el X-Coordenadas de los vértices y focos dados son los mismos, entonces el eje mayor es paralelo al y-eje. Utilice el formulario estándar

              ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?y

              y focosy

              El X-Las coordenadas de los vértices y focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al y-eje. Así, la ecuación de la elipse tendrá la forma

              Primero, identificamos el centro,El centro está a medio camino entre los vértices,yAplicando la fórmula del punto medio, tenemos:

              A continuación, encontramosLa longitud del eje mayor, está delimitado por los vértices. Resolvemos paraencontrando la distancia entre el y-coordenadas de los vértices.

              Entonces

              Ahora encontramosLos focos están dados porEntonces,yNosotros sustituimosusando cualquiera de estos puntos para resolver

              Entonces

              A continuación, resolvemosusando la ecuación

              Finalmente, sustituimos los valores encontrados para yen la ecuación de forma estándar para una elipse:

              ¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices?yy focosy

              Graficar elipses centradas en el origen

              Así como podemos escribir la ecuación para una elipse dada su gráfica, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, usamos la forma estándarpara elipses horizontales ypara elipses verticales.

              Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en bosqueja el gráfico.

              1. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.
                1. Si la ecuación tiene la formadondeluego
                  • el eje mayor es el X-eje
                  • las coordenadas de los vértices son
                  • las coordenadas de los co-vértices son
                  • las coordenadas de los focos son
                2. Si la ecuación tiene la formadondeluego
                  • el eje mayor es el y-eje
                  • las coordenadas de los vértices son
                  • las coordenadas de los co-vértices son
                  • las coordenadas de los focos son

                Grafica la elipse dada por la ecuación,Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

                Primero, determinamos la posición del eje mayor. Porqueel eje mayor está en el y-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

                • el centro de la elipse es
                • las coordenadas de los vértices son
                • las coordenadas de los co-vértices son
                • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo para tenemos:

                Por tanto, las coordenadas de los focos son

                A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ver figura).

                Grafica la elipse dada por la ecuaciónIdentificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

                centrar:vértices:co-vértices:focos:

                Grafica la elipse dada por la ecuaciónReescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifica y rotula el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

                Primero, usa álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar.

                A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Porqueel eje mayor está en el X-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

                • el centro de la elipse es
                • las coordenadas de los vértices son
                • las coordenadas de los co-vértices son
                • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo paratenemos:

                Por lo tanto, las coordenadas de los focos son

                A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

                Grafica la elipse dada por la ecuaciónReescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifica y rotula el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

                Forma estándar:centrar:vértices:co-vértices:focos:

                Graficar elipses no centradas en el origen

                Cuando una elipse no está centrada en el origen, aún podemos usar las formas estándar para encontrar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto,usamos los formularios estándarpara elipses horizontales ypara elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, vértices, co-vértices, focos y posiciones de los ejes mayor y menor.

                Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en bosqueja el gráfico.

                1. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.
                  1. Si la ecuación tiene la formadondeluego
                    • el centro es
                    • el eje mayor es paralelo al X-eje
                    • las coordenadas de los vértices son
                    • las coordenadas de los co-vértices son
                    • las coordenadas de los focos son
                  2. Si la ecuación tiene la formadondeluego
                    • el centro es
                    • el eje mayor es paralelo al y-eje
                    • las coordenadas de los vértices son
                    • las coordenadas de los co-vértices son
                    • las coordenadas de los focos son

                  Grafica la elipse dada por la ecuación,Identificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

                  Primero, determinamos la posición del eje mayor. Porque el eje mayor es paralelo al y-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

                  • el centro de la elipse es
                  • las coordenadas de los vértices son oy
                  • las coordenadas de los co-vértices son oy
                  • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo paratenemos:

                  Por tanto, las coordenadas de los focos sony

                  A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

                  Grafica la elipse dada por la ecuaciónIdentificar y etiquetar el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

                  Centrar:vértices:yco-vértices:yfocos:y

                  Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en (h, k), expresa la ecuación en forma estándar.

                  1. Reconocer que una elipse descrita por una ecuación en la formaestá en forma general.
                  2. Reorganice la ecuación agrupando términos que contengan la misma variable. Mueve el término constante al lado opuesto de la ecuación.
                  3. Factoriza los coeficientes delytérminos en preparación para completar el cuadrado.
                  4. Complete el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en la forma de la suma de múltiplos de dos binomios al cuadrado iguales a una constante, donde yson constantes.
                  5. Divida ambos lados de la ecuación por el término constante para expresar la ecuación en forma estándar.

                  Grafica la elipse dada por la ecuación Identifica y rotula el centro, vértices, co-vértices y focos.

                  Debemos comenzar reescribiendo la ecuación en forma estándar.

                  Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

                  Factoriza los coeficientes de los términos al cuadrado.

                  Completa el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado.

                  Reescribe como cuadrados perfectos.

                  Divida ambos lados por el término constante para colocar la ecuación en forma estándar.

                  Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos determinar la posición del eje mayor. Porque el eje mayor es paralelo al X-eje. Por lo tanto, la ecuación tiene la formadondeyResulta que:

                  • el centro de la elipse es
                  • las coordenadas de los vértices sonoy
                  • las coordenadas de los co-vértices sonoy
                  • las coordenadas de los focos sondondeResolviendo paratenemos:

                  Por tanto, las coordenadas de los focos sony

                  A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los co-vértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse como se muestra en la (Figura).

                  Exprese la ecuación de la elipse dada en forma estándar. Identifica el centro, vértices, co-vértices y focos de la elipse.

                  centrar:vértices:yco-vértices:yfocos:y

                  Resolución de problemas aplicados que involucran elipses

                  Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, incluidas las órbitas de planetas, satélites, lunas y cometas, y formas de quillas de barcos, timones y algunas alas de aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper los cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que se encuentre en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda de sonido se origina en un foco de una cámara susurrante, la onda de sonido se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Ver figura). En la cámara de susurros del Museo de Ciencia e Industria de Chicago, dos personas paradas en los focos, a unos 43 pies de distancia, pueden oírse susurrar entre sí.

                  El Statuary Hall en el Capitolio en Washington, DC es una cámara de susurros. Sus dimensiones son 46 pies de ancho por 96 pies de largo como se muestra en la (Figura).

                  1. ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa el contorno de la habitación? Sugerencia: suponga una elipse horizontal y deje que el centro de la habitación sea el punto
                  2. Si dos senadores parados en los focos de esta sala pueden escucharse susurrar entre sí, ¿a qué distancia están los senadores? Redondea al pie más cercano.

                  1. Suponemos una elipse horizontal con centro así que necesitamos encontrar una ecuación de la formadondeSabemos que la longitud del eje mayor,es más largo que la longitud del eje menor,Entonces, la longitud de la habitación, 96, está representada por el eje mayor, y el ancho de la habitación, 46, está representada por el eje menor.
                    • Resolviendo para tenemos asi que y
                    • Resolviendo para tenemos asi que y

                  Por tanto, la ecuación de la elipse es

                  Los puntosrepresentan los focos. Así, la distancia entre los senadores espies.

                  Suponga que una cámara de susurros tiene 480 pies de largo y 320 pies de ancho.

                  1. ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa la habitación? Sugerencia: suponga una elipse horizontal y deje que el centro de la habitación sea el punto
                  2. Si dos personas están parados en los focos de esta sala y pueden oírse susurrar entre sí, ¿a qué distancia están las personas? Redondea al pie más cercano.
                  1. La gente está a 358 pies de distancia.

                  Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con puntos suspensivos.

                  Ecuaciones clave

                  Elipse horizontal, centro en origen
                  Elipse vertical, centro en origen
                  Elipse horizontal, centro
                  Elipse vertical, centro

                  Conceptos clave

                  • Una elipse es el conjunto de todos los puntos.en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos sea una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
                  • Cuando se dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Consulte (Figura) y (Figura).
                  • Cuando se nos da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, co-vértices, focos y las longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Consulte (Figura) y (Figura).
                  • Cuando se nos da la ecuación para una elipse centrada en algún punto que no sea el origen, podemos identificar sus características clave y graficar la elipse. Consulte (Figura) y (Figura).
                  • Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de elipses y luego evaluarse para encontrar características clave, como longitudes de ejes y distancia entre focos. Ver figura).

                  Ejercicios de sección

                  Verbal

                  Defina una elipse en términos de sus focos.

                  Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano cuya suma de distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

                  ¿Dónde deben estar los focos de una elipse?

                  ¿Qué caso especial de elipse tenemos cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud?

                  Este caso especial sería un círculo.

                  Para el caso especial mencionado en la pregunta anterior, ¿qué sería cierto acerca de los focos de esa elipse?

                  ¿Qué se puede decir sobre la simetría de la gráfica de una elipse con centro en el origen y focos a lo largo del y-¿eje?

                  Es simétrico sobre el X-eje, y-eje y el origen.

                  Algebraico

                  Para los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. En caso afirmativo, escriba en forma estándar.

                  Para los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos.

                  Puntos finales del eje mayoryPuntos finales del eje menoryFocos en

                  Puntos finales del eje mayoryPuntos finales del eje menorFocos en

                  Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFocos en

                  Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

                  Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

                  Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

                  Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFoci en

                  Puntos finales del eje mayorPuntos finales del eje menorFocos en

                  Para los siguientes ejercicios, encuentre los focos para las elipses dadas.

                  Focos

                  Atención

                  Focos

                  Gráfico

                  Para los siguientes ejercicios, grafica las elipses dadas, observando el centro, los vértices y los focos.

                  CentrarVérticesFocos

                  CentrarVérticesFocos

                  CentrarVérticesAtención

                  Tenga en cuenta que esta elipse es un círculo. El círculo tiene un solo foco, que coincide con el centro.

                  CentrarVérticesFocos

                  CentrarVérticesFocos

                  CentrarVérticesFocos

                  CentrarVérticesAtención

                  Para los siguientes ejercicios, use la información dada sobre la gráfica de cada elipse para determinar su ecuación.

                  Centro en el origen, simétrico con respecto al X& # 8211 y y-ejes, enfoque en y señalar en el gráfico

                  Centro en el origen, simétrico con respecto al X& # 8211 y y-ejes, enfoque en y señalar en el gráfico

                  Centro en el origen, simétrico con respecto al X& # 8211 y y-ejes, enfoque en y el eje mayor es dos veces más largo que el eje menor.

                  Centrar vértice un enfoque:.

                  Centrar vértice un enfoque:

                  Centrar vértice un enfoque:

                  Para los siguientes ejercicios, dada la gráfica de la elipse, determine su ecuación.

                  Extensiones

                  Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula

                  Aplicaciones del mundo real

                  Encuentra la ecuación de la elipse que encajará dentro de una caja de 8 unidades de ancho y 4 unidades de alto.

                  Encuentra la ecuación de la elipse que encajará dentro de una caja que sea cuatro veces más ancha que alta. Expresar en términos de la altura.

                  Un arco tiene la forma de una semielipse (la mitad superior de una elipse). El arco tiene una altura de 8 pies y una luz de 20 pies. Encuentre una ecuación para la elipse y úsela para encontrar la altura al 0.01 pie más cercano del arco a una distancia de 4 pies del centro.

                  Un arco tiene forma de semielipse. El arco tiene una altura de 12 pies y una luz de 40 pies. Encuentre una ecuación para la elipse y úsela para encontrar la distancia desde el centro hasta un punto en el que la altura es de 6 pies. Redondea a la centésima más cercana.

                  . Distancia = 17.32 pies

                  Se construirá un puente en forma de arco semielíptico y tendrá una luz de 120 pies. La altura del arco a una distancia de 40 pies del centro debe ser de 8 pies. Encuentra la altura del arco en su centro.

                  Una persona en una galería de susurros parada en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona parada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si una galería susurrante tiene una longitud de 120 pies y los focos están ubicados a 30 pies del centro, encuentre la altura del techo en el centro.

                  Una persona está parada a 8 pies de la pared más cercana en una galería susurrante. Si esa persona está en un foco y el otro foco está a 80 pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

                  Notas al pie

                  Glosario

                  centro de una elipse el punto medio de los ejes mayor y menor sección cónica cualquier forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano elipse el conjunto de todos los puntos /> en un plano tal que la suma de sus distancias desde dos fijos puntos es un foco constante plural de focos foco (de una elipse) uno de los dos puntos fijos en el eje mayor de una elipse tal que la suma de las distancias desde estos puntos a cualquier punto /> en la elipse es un eje mayor constante el más largo de los dos ejes de una elipse eje menor el más corto de los dos ejes de una elipse

                  Eje mayor / menor de una elipse

                  Los ejes mayor y menor de una elipse son diámetros (líneas que pasan por el centro) de la elipse. El eje mayor es el diámetro más largo y el eje menor el más corto. Si tienen la misma longitud, entonces la elipse es un círculo. Arrastre cualquier punto naranja en la figura anterior hasta que este sea el caso.

                  Cada eje es la bisectriz perpendicular del otro. Es decir, cada eje corta al otro en dos partes iguales y cada eje se cruza en ángulo recto con el otro.

                  Los puntos de enfoque siempre se encuentran en el eje mayor (más largo), espaciados por igual a cada lado del centro. Ver focos (puntos de enfoque) de una elipse


                  Ejemplo de una elipse con centro $ C (x_ , y_ ) $ y con un eje mayor paralelo al eje $ x $

                  La ecuación de la elipse es:

                  El centro de la elipse

                  Como puede ver, el centro $ C $ de la elipse se encuentra en el punto:

                  Eso significa que el centro de nuestra elipse estará en los valores que tienen $ x_ <0> $ y $ y_ <0> $ solo que colocaremos los signos opuestos en nuestra coordenada, eso significa que como nuestro valor de $ x_ < 0> $ es $ -6 $ y nuestro valor de $ y_ <0> $ es $ -4 $, por lo que nuestra coordenada del centro de la elipse será $ C (6, 4) $.

                  Longitud del eje mayor de la elipse

                  La longitud del eje mayor $ overline$ es igual a $ 10 $, lo que significa que la longitud de $ a $ que es la longitud de $ overline$ o $ overline$ es igual a $ 5 $.

                  Longitud del eje menor de la elipse

                  La longitud del eje menor $ overline$ es igual a $ 6 $, lo que significa que la longitud de $ b $ que es la longitud de $ overline$ o $ overline$ es igual a $ 3 $.

                  Distancia del centro al foco de la elipse

                  La distancia desde el centro $ C $ a cualquiera de los focos, $ F $ o $ F & # 8217 $ es:

                  Lo que significa que el foco $ F $ está en el punto $ F (2, 4) $ y el foco $ F & # 8217 $ está en el punto $ F '(10, 4) $

                  Área de elipse

                  Podemos determinar fácilmente el área de la elipse, simplemente aplicando directamente la fórmula:

                  $ A = pi cdot a cdot b = pi cdot 5 cdot 3 = 15 pi approx 47,1238 u ^ <2> $


                  8.2: La Elipse

                  Una elipse El conjunto de puntos en un plano cuyas distancias desde dos puntos fijos tienen una suma que es igual a una constante positiva. es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, tienen una suma que es igual a una constante positiva. En otras palabras, si los puntos F 1 y F 2 son los focos (plural de foco) y d es una constante positiva dada, entonces (x, y) es un punto en la elipse si d = d 1 + d 2 como se muestra a continuación:

                  Además, se puede formar una elipse por la intersección de un cono con un plano oblicuo que no es paralelo al lado del cono y no cruza la base del cono. Los puntos de esta forma ovalada donde la distancia entre ellos es máxima se denominan vértices. Puntos en la elipse que marcan los puntos finales del eje mayor. y definir el eje mayor El segmento de línea que pasa por el centro de una elipse definida por dos puntos en la elipse donde la distancia entre ellos es un máximo. . El centro de una elipse es el punto medio entre los vértices. El eje menor El segmento de línea que pasa por el centro de una elipse definida por dos puntos en la elipse donde la distancia entre ellos es mínima. es el segmento de línea que pasa por el centro de una elipse definida por dos puntos en la elipse donde la distancia entre ellos es mínima. Los puntos finales del eje menor se denominan co-vértices Puntos en la elipse que marcan los puntos finales del eje menor. .

                  Si el eje mayor de una elipse es paralelo al Xeje en un plano de coordenadas rectangular, decimos que la elipse es horizontal. Si el eje mayor es paralelo al y-eje, decimos que la elipse es vertical. En esta sección, solo nos ocuparemos de dibujar estos dos tipos de elipses. Sin embargo, la elipse tiene muchas aplicaciones en el mundo real y se recomienda realizar más investigaciones sobre este rico tema. En un plano de coordenadas rectangular, donde el centro de una elipse horizontal es (h, k), tenemos

                  Como se muestra en a & gt b donde a, la mitad de la longitud del eje mayor, se llama radio mayor. La mitad de la longitud del eje mayor. . Y B, la mitad de la longitud del eje menor, se llama radio menor. La mitad de la longitud del eje menor. . La ecuación de una elipse en forma estándar La ecuación de una elipse escrita en la forma (x - h) 2 a 2 + (y - k) 2 b 2 = 1. El centro es (h, k) y el mayor de a y B es el radio mayor y el menor es el radio menor. sigue:

                  (x - h) 2 una 2 + (y - k) 2 segundo 2 = 1

                  Los vértices son (h ± a, k) y (h, k ± b) y la orientación depende de a y B. Si a & gt b, entonces la elipse es horizontal como se muestra arriba y si a & lt b, entonces la elipse es vertical y B se convierte en el radio principal. ¿Qué crees que sucede cuando a = b?


                  8.2 Leyes de Kepler

                  Las tres leyes de Kepler se pueden enunciar de la siguiente manera:

                  1. Ley de las órbitas: todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos de la elipse (figura 8.1a). Esta ley fue una desviación del modelo copernicano que solo permitía órbitas circulares. La elipse, de la cual el círculo es un caso especial, es una curva cerrada que se puede dibujar de manera muy simple de la siguiente manera.

                  Fig. 8.1 (a) Una elipse trazada por un planeta alrededor del sol. El punto más cercano es P y el punto más lejano es A, P se llama perihelio y A afelio. El semieje mayor es la mitad de la distancia AP.

                  Fig. 8.1 (b) Dibujar una elipse. Una cuerda tiene sus extremos fijos en F 1 y F 2. La punta de un lápiz mantiene la cuerda tensa y se mueve.

                  * Consulte la información proporcionada en el recuadro de la página 182

                  Seleccione dos puntos F 1 y F 2. Tome un trozo de cuerda y fije sus extremos en F 1 y F 2 con alfileres. Con la punta de un lápiz, estire la cuerda tensa y luego dibuje una curva moviendo el lápiz manteniendo la cuerda tensa en todo momento (figura 8.1 (b)). La curva cerrada que obtiene se llama elipse. Claramente, para cualquier punto T en la elipse, la suma de las distancias de F 1 y F 2 es una constante. F 1, F 2 se denominan focos. Una los puntos F 1 y F 2 y extienda la línea para intersecar la elipse en los puntos P y A como se muestra en la figura 8.1 (b). El punto medio de la línea PA es el centro de la elipse O y la longitud PO = AO se denomina semieje mayor de la elipse. Para un círculo, los dos focos se fusionan en uno y el semieje mayor se convierte en el radio del círculo.

                  2. Ley de áreas: La línea que une cualquier planeta al sol barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales (Fig. 8.2). Esta ley proviene de las observaciones de que los planetas parecen moverse más lentamente cuando están más lejos del sol que cuando están más cerca.

                  Fig. 8.2 El planeta P se mueve alrededor del sol en una órbita elíptica. El área sombreada es el área ∆ A barrida en un pequeño intervalo de tiempo ∆ t.

                  3. Ley de los períodos: El cuadrado del período de revolución de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse trazada por el planeta.

                  La tabla 8.1 da los períodos de tiempo aproximados de revolución de ocho * planetas alrededor del sol junto con los valores de sus semiejes mayores.

                  Tabla 8.1 Los datos de la medición de los movimientos planetarios que se dan a continuación confirman la ley de los períodos de Kepler

                  (a ≡ Semieje mayor en unidades de 10 10 m.

                  T ≡ Periodo de tiempo de revolución del planeta en años (y).

                  Q ≡ El cociente (T 2 / a 3) en unidades de 10-34 y 2 m -3.)

                  La ley de áreas puede entenderse como una consecuencia de la conservación del momento angular que es válido para cualquier fuerza central. Una fuerza central es tal que la fuerza en el planeta está a lo largo del vector que une al Sol y al planeta. Sea el Sol en el origen y la posición y el momento del planeta se denoten por r y p, respectivamente. Entonces, el área barrida por el planeta de masa m en el intervalo de tiempo ∆ t es (Fig. 8.2) ∆ A dada por

                  ∆A / ∆ t = ½ (r × p) / m, (ya que v = p / m)

                  donde v es la velocidad, L es el momento angular igual a (r × p). Para una fuerza central, que se dirige a lo largo de r, L es una constante a medida que el planeta gira. Por tanto, ∆A / ∆ t es una constante según la última ecuación. Esta es la ley de áreas. La gravitación es una fuerza central y, por lo tanto, sigue la ley de áreas.

                  Johannes Kepler (1571-1630) fue un científico de origen alemán. Formuló las tres leyes del movimiento planetario basándose en las minuciosas observaciones de Tycho Brahe y sus compañeros de trabajo. El propio Kepler fue asistente de Brahe y le llevó dieciséis largos años llegar a las tres leyes planetarias. También es conocido como el fundador de la óptica geométrica, siendo el primero en describir lo que le sucede a la luz después de que ingresa a un telescopio.

                  * Consulte la información proporcionada en el recuadro de la página 182

                  Ejemplo 8.1 Sea la rapidez del planeta en el perihelio P de la figura 8.1 (a) v P y la distancia SP entre el Sol y el planeta r P. Relacione con las cantidades correspondientes en el afelio . ¿El planeta tardará el mismo tiempo en atravesar BAC y CPB?

                  Respuesta La magnitud del momento angular en P es L p = m p r p v p, ya que la inspección nos dice que r p y v p son mutuamente perpendiculares. De manera similar, L A = m p r A v A. De la conservación del momento angular

                  o

                  El área SBAC delimitada por la elipse y los vectores de radio SB y SC es mayor que SBPC en la figura 8.1. De la segunda ley de Kepler, áreas iguales se barren en tiempos iguales. Por lo tanto, el planeta tardará más en atravesar BAC que CPB.


                  Contenido

                  En 1791, el primer plan del parque fue elaborado por Pierre (Peter) Charles L'Enfant. La Elipse era conocida como "el lote blanco" debido a la valla de madera encalada que rodeaba el parque.

                  Durante la Guerra Civil Estadounidense, los terrenos de la Elipse y el Monumento a Washington incompleto se utilizaron como corrales para caballos, mulas y ganado, y como campamentos para las tropas de la Unión.

                  En 1860, la Elipse era el campo de juego habitual del equipo de béisbol de DC los Washington Senators y fue el lugar del primer juego entre los Senadores y los Washington Nationals. En 1865, los Nacionales organizaron un torneo de béisbol con los Atléticos de Filadelfia, para el cual se construyeron puestos de observación y se cobró la entrada. [1] Los equipos de béisbol negros como Washington Mutuals y Washington Alerts a menudo usaban el White Lot hasta que a los negros se les prohibió usar el Ellipse en 1874. [2]

                  El Cuerpo de Ingenieros del Ejército comenzó a trabajar en la Elipse en 1867. El parque se ajardinó en 1879 y se plantaron olmos americanos alrededor de la parte existente de la carretera. En 1880, se inició la nivelación y se creó la Elipse a partir de lo que había sido un vertedero común. En 1894, la calzada Ellipse se iluminó con lámparas eléctricas.

                  En la década de 1890, el Congreso autorizó el uso de los terrenos de Ellipse por grupos especiales, incluidas reuniones religiosas y campamentos militares. Todavía en 1990, existían campos de béisbol y canchas de tenis en el parque. Los eventos deportivos y las demostraciones todavía se llevan a cabo en la Elipse. President's Park South quedó bajo la jurisdicción del Servicio de Parques Nacionales en 1933.

                  En la víspera de Navidad de 1923, el presidente Calvin Coolidge inició una tradición ininterrumpida al encender el primer "árbol de Navidad nacional". El primer árbol, un abeto balsámico cortado, fue colocado en la Elipse por las Escuelas Públicas del Distrito de Columbia. De 1924 a 1953, los árboles vivos en varios lugares alrededor y en los terrenos de la Casa Blanca se encendieron en Nochebuena. En 1954, la ceremonia volvió a la Elipse y con un enfoque ampliado: el "Desfile de la Paz de Navidad". Desde 1954 hasta 1972, se utilizaron árboles cortados, pero en 1973 se plantó un abeto azul de Colorado de York, Pensilvania en la Elipse. Se plantó un reemplazo en 1978.

                  El 10 de agosto de 1933, la Elipse fue transferida al Servicio de Parques Nacionales, el sucesor legal de tres comisionados federales nombrados por el Presidente en virtud de una ley del 16 de julio de 1790, que dirigía la construcción inicial. Su autoridad se desarrolló mediante actos del 1 de mayo de 1802 [3] 19 de abril de 1816 [ cita necesaria ] 3 de marzo de 1849 2 de marzo de 1867 1 de julio de 1898 26 de febrero de 1925 3 de marzo de 1933 y Orden Ejecutiva del 10 de junio de 1933. [4] Según la ley del 22 de septiembre de 1961, "la Casa Blanca se administrará de conformidad con la ley del 25 de agosto de 1916 "y las leyes complementarias y rectificativas. Esta área de NPS se denominó originalmente simplemente "La Casa Blanca".

                  En 1942, durante la Segunda Guerra Mundial, el Servicio de Parques Nacionales otorgó permiso para la construcción de cuarteles como una medida especial de emergencia en tiempos de guerra. Los cuarteles temporales se erigieron en el lado sur del Antiguo Edificio de Oficinas Ejecutivas y todo el terreno del Monumento a la Primera División. Los "Cuarteles de la Casa Blanca" fueron demolidos en 1954.

                  El Pabellón de Visitantes Ellipse, abierto para visitantes en mayo de 1994, distribuye entradas gratuitas para eventos especiales en la Casa Blanca, como el Easter Egg Roll y los Garden Tours de otoño y primavera.Incluye una ventana de información, área de concesión, baños, teléfonos, fuentes de agua y un área de primeros auxilios, todos accesibles. [5]

                    por Donald De Lue por Charles Bulfinch por Daniel Chester French, ubicado debajo de la superficie cerca del centro de la Elipse, conmemora la idea del presidente Thomas Jefferson de un primer meridiano estadounidense. Fuentes [6] de Daniel Chester French (estacional) de James Earle Fraser
                2. Colonos del Distrito de Columbia Memorial [7] por Horace W. Peaslee
                3. Los eventos anuales en la Elipse incluyen el Desfile de la Paz de Navidad y anteriormente el desfile militar "Twilight Tattoo". De 1992 a 2005, fue el sitio de la ceremonia de graduación de la Universidad George Washington. [8] También es el lugar de espera para el rollo de huevos de Pascua anual de la Casa Blanca y los recorridos por los jardines de la Casa Blanca. Bajo los auspicios del Servicio de Parques Nacionales, la Red de Antiguos Alumnos de la Capital y varias ligas deportivas de vecindarios y militares juegan partidos de softbol y fútbol de bandera en los terrenos de la Elipse. Varios grupos también celebran una serie de competiciones finales durante los meses más cálidos.

                  El 6 de enero de 2021, el presidente Donald Trump pronunció un discurso a sus partidarios reunidos alrededor de la Elipse sobre el Congreso confirmando los votos del Colegio Electoral después de las elecciones presidenciales de noviembre de 2020. Luego, el grupo hizo lo que dijo el presidente y se dirigió al Capitolio. Luego, varios partidarios se amotinaron y tomaron por asalto el Capitolio. [9] [10]


                  Ver el vídeo: PREGUNTAS LLENAS DE SABIDURIA al Dr. Mario Alonso Puig (Enero 2022).