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3.7: Gráficas de funciones - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Utilice la prueba de la línea vertical
  • Identificar gráficas de funciones básicas
  • Leer información de una gráfica de una función

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Evalúa: ⓐ (2 ^ 3 ) ⓑ (3 ^ 2 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Evalúe: ⓐ (| 7 | ) ⓑ (| −3 | ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Evalúe: ⓐ ( sqrt {4} ) ⓑ ( sqrt {16} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Utilice la prueba de línea vertical

En la última sección aprendimos cómo determinar si una relación es una función. Las relaciones que analizamos se expresaron como un conjunto de pares ordenados, un mapeo o una ecuación. Ahora veremos cómo saber si una gráfica es la de una función.

Un par ordenado ((x, y) ) es una solución de una ecuación lineal, si la ecuación es un enunciado verdadero cuando el X- y y-valores del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

La gráfica de una ecuación lineal es una línea recta donde cada punto de la línea es una solución de la ecuación y cada solución de esta ecuación es un punto de esta línea.

En Figura, podemos ver que, en la gráfica de la ecuación (y = 2x − 3 ), para cada X-valor solo hay uno y-valor, como se muestra en la tabla adjunta.

Una relación es una función si cada elemento del dominio tiene exactamente un valor en el rango. Entonces, la relación definida por la ecuación (y = 2x − 3 ) es una función.

Si miramos el gráfico, cada línea punteada vertical solo se cruza con la línea en un punto. Esto tiene sentido como una función, para cada X-valor solo hay uno y-valor.

Si la línea vertical golpea el gráfico dos veces, la X-valor se asignaría a dos y-valores, por lo que la gráfica no representaría una función.

Esto nos lleva a la prueba de la línea vertical. Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto. Si alguna línea vertical cruza el gráfico en más de un punto, el gráfico no representa una función.

PRUEBA DE LÍNEA VERTICAL

Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto.

Si alguna línea vertical cruza el gráfico en más de un punto, el gráfico no representa una función.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Determina si cada gráfica es la gráfica de una función.

Respuesta

Ⓐ Dado que cualquier línea vertical interseca la gráfica como máximo en un punto, la gráfica es la gráfica de una función.

Ⓑ Una de las líneas verticales que se muestran en el gráfico, la cruza en dos puntos. Este gráfico no representa una función.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Determina si cada gráfica es la gráfica de una función.

Respuesta

Ⓐ si ⓑ no

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Determina si cada gráfica es la gráfica de una función.

Respuesta

Ⓐ no ⓑ si

Identificar gráficas de funciones básicas

Usamos la ecuación (y = 2x − 3 ) y su gráfica a medida que desarrollamos la prueba de la línea vertical. Dijimos que la relación definida por la ecuación (y = 2x − 3 ) es una función.

Podemos escribir esto en notación de función como (f (x) = 2x − 3 ). Todavía significa lo mismo. La gráfica de la función es la gráfica de todos los pares ordenados ((x, y) ) donde (y = f (x) ). Entonces podemos escribir los pares ordenados como ((x, f (x)) ). Se ve diferente pero el gráfico será el mismo.

Compare la gráfica de (y = 2x − 3 ) que se mostró anteriormente en Figura con la gráfica de (f (x) = 2x − 3 ) que se muestra en Figura. Nada ha cambiado excepto la notación.

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función es la gráfica de todos sus pares ordenados, (x, y) (x, y) o usando la notación de función, (x, f (x)) (x, f (x)) donde y = f ( x) .y = f (x).

[ begin {array} {ll} {f} & { text {nombre de la función}} {x} & { text {coordenada x del par ordenado}} {f (x)} & { text {coordenada y del par ordenado}} nonumber end {array} ]

A medida que avanzamos en nuestro estudio, es útil familiarizarse con las gráficas de varias funciones básicas y poder identificarlas.

A través de nuestro trabajo anterior, estamos familiarizados con las gráficas de ecuaciones lineales. El proceso que usamos para decidir si (y = 2x − 3 ) es una función se aplicaría a todas las ecuaciones lineales. Todas las ecuaciones lineales no verticales son funciones. Las líneas verticales no son funciones como X-valor tiene infinitos y-valores.

Escribimos ecuaciones lineales en varias formas, pero aquí será más útil para nosotros usar la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal. La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal es (y = mx + b ). En notación de funciones, esta función lineal se convierte en (f (x) = mx + b ) donde metro es la pendiente de la recta y B es el y-interceptar.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango también es el conjunto de todos los números reales.

FUNCIÓN LINEAL

Usaremos las técnicas de graficación que usamos anteriormente para graficar las funciones básicas.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Gráfico: (f (x) = - 2x − 4 ).

Respuesta
(f (x) = - 2x − 4 )
Reconocemos esto como una función lineal.
Encuentra la pendiente y y-interceptar. (m = −2 )
(b = −4 )
Grafica usando la intersección de la pendiente.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Gráfico: (f (x) = - 3x − 1 )

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Gráfico: (f (x) = - 4x − 5 )

Respuesta

La siguiente función cuya gráfica veremos se llama función constante y su ecuación es de la forma (f (x) = b ), donde B es cualquier número real. Si reemplazamos (f (x) ) con y, obtenemos (y = b ). Reconocemos esto como la línea horizontal cuya y-intercepción es B. La gráfica de la función (f (x) = b ), es también la línea horizontal cuya y-intercepción es B.

Observe que para cualquier número real que pongamos en la función, el valor de la función será B. Esto nos dice que el rango tiene un solo valor, B.

FUNCION CONSTANTE

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Gráfico: (f (x) = 4 ).

Respuesta
(f (x) = 4 )
Reconocemos esto como una función constante.
La gráfica será una línea horizontal que pasa por ((0,4) ).

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Gráfico: (f (x) = - 2 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Gráfico: (f (x) = 3 ).

Respuesta

La función identidad, (f (x) = x ) es un caso especial de la función lineal. Si lo escribimos en forma de función lineal, (f (x) = 1x + 0 ), vemos que la pendiente es 1 y la y-intercepción es 0.

FUNCIÓN DE IDENTIDAD

La siguiente función que veremos no es una función lineal. Entonces el gráfico no será una línea. El único método que tenemos para graficar esta función es graficar puntos. Debido a que esta es una función desconocida, nos aseguramos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestros valores x.

Gráfico: (f (x) = x ^ 2 ).

Respuesta

Nosotros elegimos X-valores. Los sustituimos y luego creamos un gráfico como se muestra.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Gráfico: (f (x) = x ^ 2 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {12} )

(f (x) = - x ^ 2 )

Respuesta

Mirando el resultado en Ejemplo, podemos resumir las características de la función cuadrada. A este gráfico lo llamamos parábola. Al considerar el dominio, observe que cualquier número real puede usarse como un X-valor. El dominio son todos los números reales.

El rango no son todos los números reales. Observe que la gráfica consta de valores de y nunca bajes de cero. Esto tiene sentido ya que el cuadrado de cualquier número no puede ser negativo. Entonces, el rango de la función cuadrada son todos los números reales no negativos.

FUNCIÓN CUADRADA

La siguiente función que veremos tampoco es una función lineal, por lo que la gráfica no será una línea. Nuevamente usaremos el trazado de puntos y nos aseguraremos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestro X-valores.

Gráfico: (f (x) = x ^ 3 ).

Respuesta

Nosotros elegimos X-valores. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Gráfico: (f (x) = x ^ 3 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Gráfico: (f (x) = - x ^ 3 ).

Respuesta

Mirando el resultado en Ejemplo, podemos resumir las características de la función del cubo. El dominio son todos los números reales.

El rango son todos números reales. Esto tiene sentido ya que el cubo de cualquier número distinto de cero puede ser positivo o negativo. Entonces, el rango de la función del cubo son todos números reales.

FUNCION CUBO

La siguiente función que veremos no eleva al cuadrado ni al cubo los valores de entrada, sino que toma la raíz cuadrada de esos valores.

Grafiquemos la función (f (x) = sqrt {x} ) y luego resumamos las características de la función. Recuerde, solo podemos sacar la raíz cuadrada de los números reales no negativos, por lo que nuestro dominio serán los números reales no negativos.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

(f (x) = sqrt {x} )

Respuesta

Nosotros elegimos X-valores. Como sacaremos la raíz cuadrada, elegimos números que son cuadrados perfectos, para facilitar nuestro trabajo. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Gráfico: (f (x) = x ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Gráfico: (f (x) = - sqrt {x} ).

Respuesta

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Nuestra última función básica es la función de valor absoluto, (f (x) = | x | ). Tenga en cuenta que el valor absoluto de un número es su distancia desde cero. Dado que nunca medimos la distancia como un número negativo, nunca obtendremos un número negativo en el rango.

Gráfico: (f (x) = | x | ).

Respuesta

Nosotros elegimos X-valores. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Gráfico: (f (x) = | x | ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Gráfico: (f (x) = - | x | ).

Respuesta

FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Leer información de un gráfico de una función

En las ciencias y los negocios, los datos a menudo se recopilan y luego se grafican. El gráfico se analiza, la información se obtiene del gráfico y luego, a menudo, se hacen predicciones a partir de los datos.

Comenzaremos leyendo el dominio y rango de una función a partir de su gráfica.

Recuerde que el dominio es el conjunto de todos los X-valores en los pares ordenados en la función. Para encontrar el dominio, miramos la gráfica y encontramos todos los valores de X que tienen un valor correspondiente en el gráfico. Siga el valor X hacia arriba o hacia abajo verticalmente. Si aciertas la gráfica de la función, entonces X está en el dominio.

Recuerde que el rango es el conjunto de todos los y-valores en los pares ordenados en la función. Para encontrar el rango, miramos el gráfico y encontramos todos los valores de y que tienen un valor correspondiente en el gráfico. Siga el valor y izquierda o derecha horizontalmente. Si aciertas la gráfica de la función, entonces y está en el rango.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalo.

Respuesta

Para encontrar el dominio, miramos la gráfica y encontramos todos los valores de X que corresponden a un punto del gráfico. El dominio está resaltado en rojo en el gráfico. El dominio es ([- 3,3] ).

Para encontrar el rango, miramos el gráfico y encontramos todos los valores de y que corresponden a un punto del gráfico. El rango se resalta en azul en el gráfico. El rango es ([- 1,3] ).

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalo.

Respuesta

El dominio es ([- 5,1] ). El rango es ([- 4,2] ).

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalo.

Respuesta

El dominio es ([- 2,4] ). El rango es ([- 5,3] ).

Ahora vamos a leer la información del gráfico que puede ver en futuras clases de matemáticas.

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Usa la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

Ⓐ Encuentra: (f (0) ).
Ⓑ Encuentra: (f (32 pi) ).
Ⓒ Encuentra: (f (−12 pi) ).
Ⓓ Encuentra los valores para X cuando (f (x) = 0 ).
Ⓔ Encuentra el X-intercepciones.
Ⓕ Encuentra el y-intercepciones.
Ⓖ Encuentra el dominio. Escríbalo en notación de intervalo.
Ⓗ Encuentra el rango. Escríbalo en notación de intervalo.

Respuesta

Ⓐ Cuando (x = 0 ), la función cruza la y-eje en 0. Entonces, (f (0) = 0 ).
Ⓑ Cuando (x = 32 pi ), el y-valor de la función es (- 1 ). Entonces, (f (32 pi) = - 1 ).
Ⓒ Cuando (x = −12 pi ), el y-valor de la función es (- 1 ). Entonces, (f (−12 pi) = - 1 ).
Ⓓ La función es 0 en los puntos, ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ) . El X-valores cuando (f (x) = 0 ) son (- 2 pi, - pi, 0, pi, 2 pi ).
Ⓔ El X-Las intersecciones ocurren cuando (y = 0 ). Entonces el X-Las intersecciones ocurren cuando (f (x) = 0 ). El X-interceptos son ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ).
Ⓕ El y-Las intersecciones ocurren cuando x = 0.x = 0. Entonces el y-Las intersecciones ocurren en (f (0) ). El y-intercepto es ((0,0) ).
Ⓖ Esta función tiene un valor cuando X es de (- 2 pi ) a (2 pi ). Por lo tanto, el dominio en notación de intervalo es ([- 2 pi, 2 pi] ).
Ⓗ Esta función valora, o y-los valores van de (- 1 ) a 1. Por lo tanto, el rango, en notación de intervalo, es ([- 1,1] ).

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Usa la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

Ⓐ Encuentre: f (0) .f (0).
Ⓑ Encuentre: f (12 pi) .f (12 pi).
Ⓒ Encuentre: f (−32 pi) .f (−32 pi).
Ⓓ Encuentre los valores para X cuando f (x) = 0.f (x) = 0.
Ⓔ Encuentra el X-intercepciones.
Ⓕ Encuentra el y-intercepciones.
Ⓖ Encuentra el dominio. Escríbalo en notación de intervalo.

Respuesta

Ⓐ (f (0) = 0 ) ⓑ (f = ( pi2) = 2 ) ⓒ (f = (- 3 pi2) = 2 ) ⓓ (f (x) = 0 ) para (x = −2 pi, - pi, 0, pi, 2 pi ) ⓔ ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ ([- 2 pi, 2 pi] ) ⓗ ([- 2,2 ] )

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Usa la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

Ⓐ Encuentra: (f (0) ).
Ⓑ Encuentra: (f ( pi) ).
Ⓒ Encuentra: (f (- pi) ).
Ⓓ Encuentre los valores para X cuando (f (x) = 0 ).
Ⓔ Encuentra el X-intercepciones.
Ⓕ Encuentra el y-intercepciones.
Ⓖ Encuentra el dominio. Escríbalo en notación de intervalo.

Respuesta

Ⓐ (f (0) = 1 ) ⓑ (f ( pi) = - 1 ) ⓒ (f (- pi) = - 1 ) ⓓ (f (x) = 0 ) para (x = −3 pi2, - pi2, pi2,3 pi2 ) ⓔ ((- 2pi, 0), (- pi, 0), (0,0), (pi, 0), (2pi, 0) ) ⓕ ((0,1) ) ⓖ ([- 2pi, 2pi] ) ⓗ ([- 1,1] )

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos de funciones.

  • Buscar dominio y rango


Ver el vídeo: examples of graphing rational functions (Enero 2022).