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6.2: Máximo Común Divisor y Factor por Agrupación - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Encuentra el máximo factor común de dos o más expresiones
  • Factorizar el máximo común denominador de un polinomio
  • Factorizar por agrupación

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Factoriza 56 en números primos.
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) de 18 y 24.
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Multiplica: (- 3a (7a + 8b) ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Hallar el máximo factor común de dos o más expresiones

Anteriormente, multiplicamos los factores para obtener un producto. Ahora, revertiremos este proceso; comenzaremos con un producto y luego lo dividiremos en sus factores. Dividir un producto en factores se llama factorización.

Hemos aprendido a factorizar números para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números. Ahora factorizaremos expresiones y encontraremos el máximo común divisor de dos o más expresiones. El método que usamos es similar al que usamos para encontrar el LCM.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (MCD) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

Resumimos los pasos que usamos para encontrar el máximo factor común.

ENCUENTRA EL MAYOR FACTOR COMÚN (MCD) DE DOS EXPRESIONES.

  1. Factoriza cada coeficiente en números primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.
  2. Enumere todos los factores, emparejando los factores comunes en una columna. En cada columna, encierre en un círculo los factores comunes.
  3. Reduzca los factores comunes que comparten todas las expresiones.
  4. Multiplica los factores.

El siguiente ejemplo nos mostrará los pasos para encontrar el máximo común divisor de tres expresiones.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentra el máximo común divisor de (21x ^ 3, space 9x ^ 2, space 15x ).

Respuesta
Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe el
variables con exponentes en forma expandida.
Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna.
Elimina los factores comunes.
Multiplica los factores.
El MCD de (21x ^ 3 ), (9x ^ 2 ) y (15x ) es (3x ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentra el máximo factor común: (25m ^ 4, space 35m ^ 3, space 20m ^ 2. )

Respuesta

(5m ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra el máximo factor común: (14x ^ 3, space 70x ^ 2, space 105x ).

Respuesta

(7x )

Factorizar el máximo común denominador a partir de un polinomio

A veces es útil representar un número como un producto de factores, por ejemplo, 12 como (2 · 6 ) o (3 · 4 ). En álgebra, también puede ser útil representar un polinomio en forma factorizada. Comenzaremos con un producto, como (3x ^ 2 + 15x ), y terminaremos con sus factores, (3x (x + 5) ). Para hacer esto, aplicamos la propiedad distributiva "al revés".

Enunciamos la propiedad distributiva aquí tal como la vio en capítulos anteriores y "al revés".

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Si a, B, y C son números reales, entonces

[a (b + c) = ab + ac quad text {y} quad ab + ac = a (b + c) nonumber ]

La forma de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.

Entonces, ¿cómo se usa la propiedad distributiva para factorizar a polinomio? ¡Simplemente encuentra el MCD de todos los términos y escribe el polinomio como un producto!

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Cómo usar la propiedad distributiva para factorizar un polinomio

Factoriza: (8m ^ 3−12m ^ 2n + 20mn ^ 2 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Factoriza: (9xy ^ 2 + 6x ^ 2y ^ 2 + 21y ^ 3 ).

Respuesta

(3y ^ 2 (3x + 2x ^ 2 + 7y) )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Factoriza: (3p ^ 3−6p ^ 2q + 9pq ^ 3 ).

Respuesta

(3p (p ^ 2−2pq + 3q ^ 2) )

FACTOR EL MAYOR FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO.

  1. Encuentra el MCD de todos los términos del polinomio.
  2. Reescribe cada término como un producto usando el MCD.
  3. Usa la propiedad distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
  4. Verifique multiplicando los factores.

FACTOR COMO SUSTANTIVO Y VERBO

Usamos "factor" como sustantivo y verbo:

[ begin {array} {ll} text {Noun:} & hspace {50mm} 7 ​​text {es un factor de} 14 text {Verb:} & hspace {50mm} text {factor } 3 text {de} 3a + 3 end {matriz} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Factoriza: (5x ^ 3−25x ^ 2 ).

Respuesta
Encuentra el MCD de (5x ^ 3 ) y (25x ^ 2 ).
Reescribe cada término.
Factoriza el MCD.

Cheque:

[5x ^ 2 (x − 5) nonumber ]

[5x ^ 2 · x − 5x ^ 2 · 5 nonumber ]

[5x ^ 3−25x ^ 2 checkmark nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Factoriza: (2x ^ 3 + 12x ^ 2 ).

Respuesta

(2x ^ 2 (x + 6) )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Factoriza: (6y ^ 3−15y ^ 2 ).

Respuesta

(3y ^ 2 (2y − 5) )

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Factoriza: (8x ^ 3y − 10x ^ 2y ^ 2 + 12xy ^ 3 ).

Respuesta
El MCD de (8x ^ 3y, space −10x ^ 2y ^ 2, ) y (12xy ^ 3 )
es (2xy ).
Reescribe cada término usando el MCD, (2xy ).
Factoriza el MCD.

Cheque:

[2xy (4x ^ 2−5xy + 6y ^ 2) nonumber ]

[2xy · 4x ^ 2−2xy · 5xy + 2xy · 6y ^ 2 nonumber ]

[8x ^ 3y − 10x ^ 2y ^ 2 + 12xy ^ 3 checkmark nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Factoriza: (15x ^ 3y − 3x ^ 2y ^ 2 + 6xy ^ 3 ).

Respuesta

(3xy (5x ^ 2 − xy + 2y ^ 2) )

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Factoriza: (8a ^ 3b + 2a ^ 2b ^ 2−6ab ^ 3 ).

Respuesta

(2ab (4a ^ 2 + ab − 3b ^ 2) )

Cuando el coeficiente principal es negativo, factorizamos el negativo como parte del MCD.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Factoriza: (- 4a ^ 3 + 36a ^ 2−8a ).

Respuesta

El coeficiente principal es negativo, por lo que el MCD será negativo.

Reescribe cada término usando el MCD, (- 4a ).
Factoriza el MCD.

Cheque:

[- 4a (a ^ 2−9a + 2) nonumber ]

[- 4a · a ^ 2 - (- 4a) · 9a + (- 4a) · 2 nonumber ]

[- 4a ^ 3 + 36a ^ 2−8a marca de verificación nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Factoriza: (- 4b ^ 3 + 16b ^ 2−8b ).

Respuesta

(- 4b (b ^ 2−4b + 2) )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Factoriza: (- 7a ^ 3 + 21a ^ 2−14a ).

Respuesta

(- 7a (a ^ 2−3a + 2) )

Hasta ahora, nuestros mayores factores comunes han sido los monomios. En el siguiente ejemplo, el máximo factor común es un binomio.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Factoriza: (3y (y + 7) −4 (y + 7) ).

Respuesta

El MCD es el binomio (y + 7 ).

Factoriza el MCD, ((y + 7) ).
Compruébelo usted mismo multiplicando.

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Factoriza: (4m (m + 3) −7 (m + 3) ).

Respuesta

((m + 3) (4m − 7) )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Factoriza: (8n (n − 4) +5 (n − 4) ).

Respuesta

((n − 4) (8n + 5) )

Factorizar por agrupación

A veces no existe un factor común de todos los términos de un polinomio. Cuando hay cuatro términos, separamos el polinomio en dos partes con dos términos en cada parte. Entonces busque el GCF en cada parte. Si el polinomio se puede factorizar, encontrará un factor común que surge de ambas partes. No todos los polinomios se pueden factorizar. Al igual que algunos números principal, algunos polinomios son primos.

Ejemplo ( PageIndex {19} ): Cómo factorizar un polinomio agrupando

Factoriza agrupando: (xy + 3y + 2x + 6 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Factoriza agrupando: (xy + 8y + 3x + 24 ).

Respuesta

((x + 8) (y + 3) )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Factoriza agrupando: (ab + 7b + 8a + 56 ).

Respuesta

((a + 7) (b + 8) )

FACTOR POR AGRUPACIÓN.

  1. Agrupar términos con factores comunes.
  2. Factoriza el factor común en cada grupo.
  3. Factoriza el factor común de la expresión.
  4. Verifique multiplicando los factores.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Factoriza por agrupación: ⓐ (x ^ 2 + 3x − 2x − 6 ) ⓑ (6x ^ 2−3x − 4x + 2 ).

Respuesta


( begin {array} {ll} text {No hay MCD en los cuatro términos.} & x ^ 2 + 3x − 2x − 6 text {Separe en dos partes.} & x ^ 2 + 3x quad −2x − 6 begin {array} {l} text {Factoriza el MCD de ambas partes. Ten cuidado con} text {con los signos al factorizar el MCD de} text {los dos últimos términos .} end {matriz} & x (x + 3) −2 (x + 3) text {Factoriza el factor común.} & (x + 3) (x − 2) text {Verifica el tuyo multiplicando.} & end {matriz} )


( begin {array} {ll} text {No hay MCD en los cuatro términos.} & 6x ^ 2−3x − 4x + 2 text {Separe en dos partes.} & 6x ^ 2−3x quad −4x + 2 text {Factoriza el MCD de ambas partes.} & 3x (2x − 1) −2 (2x − 1) text {Factoriza el factor común.} & (2x − 1) (3x −2) text {Compruébelo usted mismo multiplicando.} & End {matriz} )

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Factoriza por agrupación: ⓐ (x ^ 2 + 2x − 5x − 10 ) ⓑ (20x ^ 2−16x − 15x + 12 ).

Respuesta

Ⓐ ((x − 5) (x + 2) )
Ⓑ ((5x − 4) (4x − 3) )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Factoriza por agrupación: ⓐ (y ^ 2 + 4y − 7y − 28 ) ⓑ (42m ^ 2−18m − 35m + 15 ).

Respuesta

Ⓐ ((y + 4) (y − 7) )
Ⓑ ((7m − 3) (6m − 5) )

Conceptos clave

  • Cómo encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos expresiones.
    1. Factoriza cada coeficiente en números primos. En cada columna, encierre en un círculo los factores comunes.
    2. Reduzca los factores comunes que comparten todas las expresiones.
    3. Multiplica los factores.
  • Propiedad distributiva: Si (a ), (b ) y (c ) son números reales, entonces

    [a (b + c) = ab + ac quad text {y} quad ab + ac = a (b + c) nonumber ]


    La forma de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.
  • Cómo factorizar el máximo común denominador de un polinomio.
    1. Encuentra el MCD de todos los términos del polinomio.
    2. Reescribe cada término como un producto usando el MCD.
    3. Usa la propiedad distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
    4. Verifique multiplicando los factores.
  • Factorizar como sustantivo y verbo: Usamos "factor" como sustantivo y verbo.

    [ begin {array} {ll} text {Sustantivo:} & quad 7 text {es un factor de} 14 text {Verbo:} & quad text {factor} 3 text {de } 3a + 3 end {matriz} nonumber ]

  • Cómo factorizar por agrupación.
    1. Agrupar términos con factores comunes.
    2. Factoriza el factor común en cada grupo.
    3. Factoriza el factor común de la expresión.
    4. Verifique multiplicando los factores.

Glosario

factorización
Dividir un producto en factores se llama factorización.
máximo común divisor
El máximo factor común (MCD) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

Factorización

I. Máximo Común Factor. Siempre verifique si puede factorizar el máximo común divisor (MCD).
El máximo factor común es el factor más grande que comparten todos los términos de la expresión dada. El
GCF puede incluir variables. Además, el GCF a veces contiene más de un término.

El MCD es 5x 2.
El MCD es (x & # 8211 y).

Después de determinar el MCD, puede usar la propiedad distributiva para reescribir la expresión con el MCD
factorizado.

Reconozca 4w como el GCF.
Utilice la propiedad distributiva para escribir en forma factorizada.

Ahora consideraremos tres tipos de polinomios: expresiones binomiales (dos términos), expresiones trinomiales
(tres términos), expresiones con cuatro términos. El primer paso para todos estos casos será factorizar el GCF.

II. Binomios. Hay tres casos especiales que se incluyen en la categoría de dos períodos.

A. Diferencia de cuadrados. A 2 y # 8211 B 2 = (A + B) (A y # 8211 B)
Esto se puede verificar multiplicando
el lado derecho.

Este paso puede ayudarlo a ver cuáles son las bases.
Usa la fórmula para reescribir en forma factorizada.

B. Diferencia de cubos. A 3 & # 8211 B 3 = (A & # 8211 B) (A 2 + AB + B 2)
Nuevamente, esto puede ser verificado por
multiplicando el lado derecho.

Primero, factoriza el MCD.
Reconoce la diferencia de cubos.
Escribe en forma factorizada usando la fórmula de diferencia de cubos.

C. Suma de cubos. A 3 + B 3 = (A + B) (A2 y # 8211 AB + B 2)

Reconoce la suma de cubos.
Escribe en forma factorizada usando la fórmula de suma de cubos.

Nota: No hay factorización para la suma de cuadrados. Por ejemplo, 9p 2 + 4q 2 no se puede factorizar. Es
principal.

III. Trinomios. Discutiremos dos formas diferentes de factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + c.

A. El método de ca o método de agrupación.
1. A veces se le llama método ac porque con trinomios de la forma ax 2 + bx + c (donde a,
b, c son constantes) el primer paso será multiplicar ay c.
2. A continuación, buscará dos factores del producto & # 8220ac & # 8221 que se suman para formar el término medio & # 8217s
coeficiente, & # 8220b & # 8221 del trinomio original.
3. Luego, reescribe el término medio como la suma de los dos factores que descubriste en el paso 2. Don & # 8217t
olvídese de incluir la variable (son términos semejantes y deben ser como el término medio original).
4. Ahora tienes un polinomio de cuatro términos. Agrupa la expresión en dos grupos de dos términos cada uno.
y factorizar el MCD para cada grupo de 2 términos. (Este paso de agrupación es la razón por la que
a veces llama a esto el método de agrupación).
5. Ahora debería reconocer un factor binomial común. Factoriza este binomio y escribe el
expresión en forma factorizada mediante el uso de la propiedad distributiva.

Primero factoriza el MCD. Luego multiplique & # 8220a & # 8221 y & # 8220c. & # 8221
(4) (- 3) = -12 Dos factores de -12 que se suman para formar 4 son -2 y 6.
Reescribe el término medio como la suma de & # 8220 & # 82112x & # 8221 y & # 82206x. & # 8221
Agrupe los cuatro términos en dos grupos de dos.
Factoriza el MCD para cada grupo y reconoce (2x & # 8211 1) es el
factor binomial común.
Usa la propiedad distributiva para escribir en forma factorizada.

B. Método de prueba y error. Este método implica encontrar factores del término principal (el & # 8220a & # 8221) y el último
término (el & # 8220c & # 8221) y probándolos en el producto de dos binomios. Utilice FOIL para multiplicar y ver si el
factores en su ensayo producen el trinomio original.

Los factores de 2 son 1 y amp2.
Los factores de -12 son 1 & amp-12, -1 & amp12, 2 & amp-6, -2 & amp6, 3 & amp-4, -3 & amp4.
Probando 1 & amp-12.
FOIL muestra que esta prueba no & # 8217t funciona
Probando 4 & amp-3.
FOIL muestra que esto no funciona.
Intentando -3 y amp4.
FOIL muestra que esto no & # 8217t funciona (pero estamos cerca, intentemos & # 8217s 3 & amp-4).
Probar 3 y amp-4.
Este funciona.
Respuesta.

Nota: El método de prueba y error puede parecer una tarea ardua, pero cuanto más practique, más rápido
obtendrá (eventualmente haciendo la parte FOIL en su cabeza).
Tenga en cuenta también: El método de prueba y error suele ser el mejor de los dos métodos para utilizar si el
coeficiente del trinomio es uno.

IV. Expresiones con cuatro términos.

A. Agrupe las expresiones en dos grupos de dos términos cada uno.
B. Factoriza el MCD de cada grupo.
C. Reconocer el factor común y utilizar la propiedad distributiva.

Agrupa los términos. Intentaremos agrupar los dos primeros y los dos últimos.
Observe que cuando agrupamos los dos segundos términos, tuvimos cuidado de poner
el negativo delante del término & # 82206uz & # 8221 dentro del segundo paréntesis
y ponga un signo más entre los dos pares de paréntesis. Si agrupamos
así: (15z 2 + 5z) & # 8211 (6uz & # 8211 2u) hemos cambiado el original
¡expresión!
Factoriza los MCD para cada grupo. Tenga en cuenta que podríamos factorizar un
positivo o negativo & # 82202u & # 8221 del segundo grupo. Factorizamos un
negativo, de modo que los signos de la parte binomial entre paréntesis serán
partido.
Reconocer (3z + 1) es un factor común y usar el distributivo
propiedad para escribir en forma factorizada.


Nota: Si intenta agrupar los dos primeros términos y los dos últimos términos y no funciona, el conmutador
La propiedad de la suma nos permite probar una agrupación diferente (como la primera y la tercera en un grupo y
el segundo y el cuarto en el otro). Para una expresión con cuatro términos, hay tres diferentes
posibles agrupaciones.

Tenga en cuenta también: es posible que pueda utilizar el método de agrupación de cuatro términos para expresiones con más de cuatro
condiciones. Por ejemplo, puede intentar agrupar una expresión de cinco términos en una diferencia de cuadrados
y un trinomio. Luego aplique las técnicas discutidas anteriormente para cada uno de estos grupos y
busque un factor común.

Tenga en cuenta también: recuerde factorizar completamente. Por ejemplo, es posible que deba usar la diferencia de cuadrados
más de una vez para obtener una forma completamente factorizada.

Tenga en cuenta además: la factorización se puede utilizar para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0 (este es el
forma estándar de una ecuación cuadrática). El proceso consistirá en establecer la ecuación cuadrática
igual a cero (ponerlo en forma estándar) y luego factorizarlo. Entonces usará el cero-
propiedad del producto, que establece:
si AB = 0, entonces A = 0 o B = 0 (o ambos son iguales a cero).


Mayor factor común - Presentación de PowerPoint PPT

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Problemas de ejemplo

Factor 1 2 p 7 - 1 8 p 2 - 3 0 12p ^ <7> - 18p ^ <2> - 30 1 2 p 7 - 1 8 p 2 - 3 0

Busque el máximo factor común de este polinomio mediante la división larga. Puede hacer cada uno de los términos por separado o puede hacerlo en conjunto como lo hicimos aquí:

MCD de varios números

El MCD de este polinomio se encuentra multiplicando los factores comunes de los tres números juntos. Esto significa que usted y aposll obtendrán:

Luego, factorizamos 6 de cada término del polinomio y obtenemos la respuesta final de:

Factorizar 1 0 z (x + 2 y) - 6 (x + 2 y) 10z (x + 2y) - 6 (x + 2y) 1 0 z (x + 2 y) - 6 (x + 2 y)

En primer lugar, busquemos los factores comunes del polinomio. Cuando mires los números por primera vez, probablemente te darás cuenta de que el factor común de 10 y 6 es 2.

Otro factor común es (x + 2y). Entonces, descartamos ambos y obtendremos la respuesta final de:

Si alguna vez necesita verificar su respuesta cuando intenta encontrar los factores comunes de los polinomios, pruebe esta calculadora de MCD en línea. Le ayudará a estar seguro de sus respuestas cuando factorice polinomios más complejos. Como siempre, recuerde que la calculadora solo debe usarse para verificar sus respuestas en lugar de hacer las preguntas por usted.

¿Listo para moverse? Aprenda a completar el cuadrado en funciones cuadráticas, convertir funciones cuadráticas de forma general a vértice y resolver ecuaciones cuadráticas factorizando o completando el cuadrado.


Factorización - Notas de matemáticas

Factorización común: descubra el MAYOR FACTOR COMÚN de cada término y factorícelo. Usando Agrupación:
A veces, un polinomio no tendrá un factor común para todos los términos. En cambio, podemos agrupar los términos que tienen un factor común. Cuando utiliza el método de agrupación:
* Cuando no hay un factor común a todos los términos
* Cuando hay un número par de términos.
Ejemplo:

El polinomio x3 + 3x2−6x − 18 no tiene un factor único que sea común a todos los términos. Sin embargo, notamos que si agrupamos los dos primeros términos y los dos segundos términos, vemos que cada binomio resultante tiene un factor particular común a ambos términos.

Factoriza x2 a partir de los dos primeros términos y factoriza −6 a partir de los dos segundos términos. x2 (x + 3) −6 (x + 3)
Ahora mire de cerca este binomio. Cada uno de los dos términos contiene el factor (x + 3). Factoriza (x + 3).
(x + 3) (x2−6) es la factorización final.
x3 + 3x2−6x − 18 = (x + 3) (x2−6)

Observe que el primer término del trinomio resultante proviene del producto de los primeros términos de los binomios: x⋅x = x2. El último término del trinomio proviene del producto de los últimos términos de los binomios: 4⋅7 = 28. El término medio proviene de la adición de los productos externos e internos: 7x + 4x = 11x. Además, observe que el coeficiente del término medio es exactamente la suma de los últimos términos en los binomios: 4 + 7 = 11.

Método de factorización
1. Escriba dos conjuntos de paréntesis :() ().
2. Coloque un binomio en cada paréntesis. El primer término de cada binomio es un factor del primer término del trinomio. 3. Determine los segundos términos de los binomios determinando los factores del tercer término que cuando se suman dan el coeficiente del término medio.


Introducción a la factorización de polinomios

Recuerde: los factores de un número son los números que dividen el número original de manera uniforme.

Escribir un número como producto de factores se llama factorización del número.

La factorización prima de un número es la factorización de ese número escrito como producto de números primos.

Los factores comunes son factores que dos o más números tienen en común.

El máximo común divisor (MCD) es el mayor factor común.

El máximo común divisor de términos de un polinomio es el factor más grande que comparten los términos originales.

Los términos comparten un factor de x

Los términos comparten dos factores de una

Nota: El exponente de la variable en el MCD es el exponente más pequeño de esa variable los términos

Factorizar una expresión significa escribir una expresión equivalente que es un producto

Factorizar un polinomio significa escribir el polinomio como un producto de otros polinomios

Un factor que no se puede factorizar más se dice que es un factor primo (polinomio primo)

Un polinomio se factoriza completamente si se escribe como un producto de polinomios primos


Introducción al factoraje

Ejemplos:
1. Encuentra el MCD de 12 y 20.
2. Encuentra el MCD de 48, 120 y 156.

3. Encuentra el MCD de 12x ^ 5 y 28x ^ 3.

4. Encuentra el MCD de

Tarea: pág. 362 # 5,9,13,17,19,21,25,27,31,37,39,41,43,45,51,53,59

4. 5x ^ 2 + 40x + 60 (busque GCF)

8. & # 8211x ^ 2 + 14x & # 8211 48 (busque GCF)

Tarea: pág. 369 # 5-53 siempre otros impares (5,9,13, & # 8230)

Factorizar trinomios de la forma

Tarea: pág. 377 # 3-29 (impar), 31-65 (cada dos impares)

Factorizar binomios especiales

Diferencia de cubos: a ^ 3 - b ^ 3 = (a & # 8211 b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Suma de cubos: a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)

Tarea: pág. 384 # 7-51 (cada dos impares), 53-87 (impares)

2. Determina la cantidad de términos en el polinomio.
un. Si solo hay dos términos, verifique si el binomio es uno de los binomios especiales que se analizan en la sección 6.4.
& # 8226 Diferencia de cuadrados: a ^ 2 & # 8211 b ^ 2 = (a + b) (a-b)
& # 8226 Suma de cuadrados: a ^ 2 + b ^ 2 no es factorizable
& # 8226 Diferencia de cubos: a ^ 3 & # 8211 b ^ 3 = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
& # 8226 Suma de cubos: a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)

B. Si hay Tres términos, intente factorizar el trinomio usando las técnicas de las Secciones 6.2 y 6.3.
& # 8226 x ^ 2 + bx + c = (x + m) (x + n): encuentra dos enteros myn cuyo producto es c y cuya suma es b.
& # 8226 ax ^ 2 + bx + c (a & # 88001): factorizar usando agrupación, consulte el objeto 1 en la Sección 6.3

C. Si hay cuatro términos, intente factorizar por agrupación, como se explica en la Sección 6.1.

3. Después de factorizar el polinomio, asegúrese de que cualquier factor con dos o más términos no tenga ningún factor común distinto de 1. Si hay factores comunes, elimínelos.

Tarea: pág. 390 # 7-61 (todos los demás impares)

Si a * b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

9. Encuentre una ecuación cuadrática que tenga las soluciones -2 y -5.

Ejemplos:
1. Para f (x) = x ^ 2 & # 8211 9x + 12, encuentre f (-6).

2. Sea f (x) = x ^ 2 & # 8211 17x + 72. Encuentre todos los valores de x para que f (x) = 0.

3. Sea f (x) = x ^ 2 & # 8211 6x + 20. Encuentre todos los valores de x para que f (x) = 92.

Tarea: pág. 404 # 3,5,7,9,21,23,25,27

Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas

1. El producto de dos enteros positivos consecutivos en 132. Halla los dos enteros

2. El producto de dos números enteros pares negativos consecutivos es 80. Halla los dos números enteros.

3. Un número positivo es 9 más que un segundo número, y su producto es 112. Halla los dos números.

4. Un número positivo es 3 más que dos veces por segundo, y su producto es 189. Halla los dos números.

5. El área de un rectángulo es 105 pies cuadrados. Si la longitud del rectángulo es 8 pies más que su ancho, calcula las dimensiones del rectángulo.

6. Un propietario vertió una losa de concreto rectangular en su patio trasero para usarla como área de barbacoa. La longitud es 3 pies más que su ancho. Hay un parterre de flores de 60 cm de ancho alrededor de la zona de barbacoa. Si el área cubierta por el área de barbacoa y el macizo de flores es de 270 pies cuadrados, calcule las dimensiones del área de barbacoa.
Dooley


Práctica Mixta

En los siguientes ejercicios, factoriza.

53. 54.
55. 56.
57. 58.


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Anteriormente, hemos simplificado las expresiones distribuyéndolas entre paréntesis, como:

La factorización simple en el contexto de expresiones polinómicas es inversa a la distribución. Es decir, en lugar de multiplicar algo a través de un paréntesis y simplificar para obtener una expresión polinomial, veremos lo que podemos sacar y poner delante de un paréntesis, como deshacer la multiplicación que acabamos de hacer arriba. :

El truco en la factorización polinomial simple es averiguar qué se puede factorizar de cada término de la expresión.

Advertencia: No cometa el error de pensar que "factorizar" significa "dividir algo y hacerlo desaparecer mágicamente". Recuerde que & quot; factorizar & quot significa & quot; dividir cada término y moverlo para que esté delante del paréntesis & quot. Nada "desaparece" cuando factorizamos las cosas simplemente se reorganizan.

Factor 3X & ndash 12.

El primer término, el 3X , se puede factorizar como (3) (X) el segundo término, el 12, se puede factorizar como (3) (4). El único factor común a los dos términos (es decir, lo único que se puede dividir de cada uno de los términos y luego mover hacia arriba delante de un par de paréntesis) es el 3.

Moveré este factor común al frente. Primero, escribiré el factor común y luego dibujaré un paréntesis abierto:

Cuando dividí los 3 de los 3X , Me quedé solo con el X restante. Voy a poner eso X como mi primer término entre paréntesis:

Cuando dividí el 3 de & ndash12, dejé un & ndash4, así que también lo pondré entre paréntesis, seguido de un paréntesis final:

Esta forma factorizada es mi respuesta final:

Tenga cuidado de no dejar caer los signos "menos" cuando factorice.

Algunos libros enseñan este tema utilizando el concepto del máximo factor común o MCD. En ese caso, encontraría metódicamente el MCD de todos los términos de la expresión, lo colocaría delante de los paréntesis y luego dividiría cada término por el MCD y colocaría la expresión resultante entre paréntesis. El resultado será el mismo que hice anteriormente y se vería así:

Divido el MCD de cada uno de los dos términos:

Luego reescribo la expresión en forma factorizada, poniendo el MCD al frente, con los valores posteriores a la división entre paréntesis:

Pero el proceso anterior generalmente me parece una gran cantidad de trabajo, por lo que generalmente voy directamente al factoring.

Factor 7X & ndash 7.

Al observar la expresión que me han dado, veo que puedo factorizar útilmente los dos términos como (7) (X) y (7) (& ndash1). En particular, esto me dice que puedo factorizar un 7 de cada uno de los términos. Factorizaré este 7 al principio y comenzaré mi paréntesis:

Dividiendo el 7 de 7X deja solo un X , que pondré al principio de mi paréntesis:

¿Qué me queda cuando divido el 7 del segundo término? soy no se fue con & quot nada & quot! De hecho, la división de & ndash7 entre 7 me deja con & ndash1 (como había mostrado en mi factorización anterior). Esto me permite completar mi paréntesis:

Tome nota con cuidado: cuando pueda pensar que "nada" queda después de factorizar, suele ocurrir que se deja un "1" de algún tipo para ir entre paréntesis.

Factor 12y 2 y ndash 5y .

En la expresión que me han dado, ningún número es un factor común de los dos términos, es decir, las constantes de los dos términos, el 12 y el 5, no comparten factores numéricos comunes. Pero eso no significa que no pueda factorizar nada en absoluto. Todavía puedo factorizar un común variable.

En este caso, puedo sacar un factor de y de cada uno de los dos términos, utilizando el hecho de que 12y 2 puede reformularse como (12y)(y) y & ndash5y se puede reformular como (& ndash5) (y) .

Al poner el factor común (variable) frente a un par abierto, tengo:

En el primer término de la expresión original, después de dividir una copia de y , Tengo 12y sobrante. Esto va al comienzo de mi paréntesis:

(Esto es lo que queda para ir entre paréntesis porque 12y 2 significa 12 y vecesy&vecesy , así que tomando el 12 y uno de los y está al frente deja el segundo y detrás.)

Mirando el segundo término de la expresión original, después de factorizar el y , Me sobra el & ndash5. Esto termina mi paréntesis, y mi respuesta es:

¡No olvide el signo "menos" en el medio!

Factor X 2 y 3 + xy

En esta expresión, no tengo constantes numéricas, cada uno de los términos consta completamente de variables y sus exponentes. Pero todavía puedo encontrar un MCD y luego factorizar.

Mirando los dos términos, me doy cuenta de que puedo factorizar un X y también un y de cada uno de los dos términos:

Aplicando estas factorizaciones a toda la expresión original, obtengo:

Recuerde: cuando queda & quot nada & quot después de factorizar, se deja un & quot 1 & quot entre paréntesis.