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13.4: Trigonometría de triángulo rectángulo - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Usa triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas.
  • Encuentre valores de función para 30 ° ( ( dfrac { pi} {6} )), 45 ° ( ( dfrac { pi} {4} )) y 60 ° ( ( dfrac { pi} {3} )).
  • Usa cofunciones iguales de ángulos complementarios.
  • Usa las definiciones de funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
  • Usa la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados.

monte El Everest, que se extiende a ambos lados de la frontera entre China y Nepal, es la montaña más alta del mundo. Medir su altura no es tarea fácil y, de hecho, la medición real ha sido fuente de controversia durante cientos de años. El proceso de medición implica el uso de triángulos y una rama de las matemáticas conocida como trigonometría. En esta sección, definiremos un nuevo grupo de funciones conocidas como funciones trigonométricas y descubriremos cómo se pueden usar para medir alturas, como las de las montañas más altas.

Hemos definido previamente el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto en el círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:

[ begin {align *} cos t & = x sin t & = y end {align *} ]

En esta sección, veremos otra forma de definir funciones trigonométricas usando propiedades de triángulos rectángulos.

Uso de triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, usamos un círculo unitario para definir el funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para que podamos aplicarlas a triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de (t ) es su valor en (t ) radianes. Primero, necesitamos crear nuestro triángulo rectángulo. La figura ( PageIndex {1} ) muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto ((x, y) ) al X-eje, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene una longitud (y ) y cuyo lado horizontal tiene una longitud (x ). Podemos usar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las otras funciones trigonométricas como razones de los lados de un triángulo rectángulo.

Sabemos

[ cos t = frac {x} {1} = x ]

Asimismo, sabemos

[ sin t = frac {y} {1} = y ]

Estas proporciones aún se aplican a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay un círculo unitario involucrado y cuando el triángulo no está en la posición estándar y no se representa gráficamente usando las coordenadas ((x, y) ). Para poder usar estas razones libremente, daremos a los lados nombres más generales: en lugar de (x ), llamaremos al lado entre el ángulo dado y el ángulo recto el lado adyacente al ángulo (t ). (Adyacente significa "junto a"). En lugar de (y ), llamaremos al lado más distante del ángulo dado el lado opuesto desde el ángulo (t ). Y en lugar de (1 ), llamaremos al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto el hipotenusa. Estos lados están etiquetados en la Figura ( PageIndex {2} ).

Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de (t ),

[ begin {align} sin (t) & = dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} label {sindef} cos (t) & = dfrac { text { adyacente}} { text {hipotenusa}} label {cosdef} tan (t) & = dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} label {tandef} end {align} ]

Un mnemónico común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formado a partir de las primeras letras de "Sine es oopuesto sobre hypotenusa, Cosine es aadyacente sobre hypotenusa, Tel agente es oopuesto sobre aadyacente ".

cómo: Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, encuentra el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo

  1. Encuentra el seno como la razón del lado opuesto a la hipotenusa.
  2. Encuentra el coseno como la razón del lado adyacente a la hipotenusa.
  3. Encuentra la tangente es la razón del lado opuesto al lado adyacente.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluación de una función trigonométrica de un triángulo rectángulo

Dado el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ), encuentre el valor de ( cos α ).

Solución

El lado adyacente al ángulo es 15, y la hipotenusa del triángulo es 17, entonces a través de la Ecuación ref {cosdef}:

[ begin {align *} cos (α) & = dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} [4pt] & = dfrac {15} {17} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dado el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), encuentre el valor de ( sin t ).

Respuesta

( frac {7} {25} )

Relacionar ángulos y sus funciones

Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos en el triángulo de la Figura ( PageIndex {5} ). El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa.

Se nos pedirá que encontremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es encontrar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos encontrar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es cosecante, el recíproco del coseno es secante y el recíproco de la tangente es cotangente.

cómo: Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evaluar las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos

  1. Si es necesario, dibuja el triángulo rectángulo y rotula el ángulo proporcionado.
  2. Identifica el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
  3. Encuentra la función requerida:
    • seno como la razón del lado opuesto a la hipotenusa
    • coseno como la relación del lado adyacente a la hipotenusa
    • tangente como la relación del lado opuesto al lado adyacente
    • secante como la relación entre la hipotenusa y el lado adyacente
    • cosecante como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto
    • cotangente como la relación del lado adyacente al lado opuesto

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar

Usando el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ), evalúe ( sin α, cos α, tan α, sec α, csc α, ) y ( cot α ).

Solución

[ begin {align *} sin α & = dfrac { text {opuesto} α} { text {hipotenusa}} = dfrac {4} {5} cos α & = dfrac { text {adyacente a} α} { text {hipotenusa}} = dfrac {3} {5} tan α & = dfrac { text {opuesto} α} { text {adyacente a} α} = dfrac {4} {3} sec α & = dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente a} α} = dfrac {5} {3} csc α & = dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto} α} = dfrac {5} {4} cot α & = dfrac { text {adyacente a} α} { text {opuesto} α } = dfrac {3} {4} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usando el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ), evalúe ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) y ( cot t ).

Respuesta

[ begin {align *} sin t & = frac {33} {65}, cos t = frac {56} {65}, tan t = frac {33} {56}, sec t & = frac {65} {56}, csc t = frac {65} {33}, cot t = frac {56} {33} end {align *} ]

Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales

Ya hemos discutido las funciones trigonométricas en lo que respecta a la ángulos especiales en el círculo unitario. Ahora, podemos usar esas relaciones para evaluar triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en funciones trigonométricas, tienen valores relativamente amigables, valores que contienen o no o solo una raíz cuadrada en la razón. Por lo tanto, estos son los ángulos que se usan a menudo en problemas de matemáticas y ciencias. Usaremos múltiplos de (30 °, 60 °, ) y (45 ° ), sin embargo, recuerde que cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a ángulos entre (0 ° text {y} 90 ° ).

Supongamos que tenemos un triángulo (30 °, 60 °, 90 ° ), que también se puede describir como un ( frac {π} {6}, frac {π} {3}, frac {π} {2} ) triángulo. Los lados tienen longitudes en la relación (s, sqrt {3} s, 2s. ) Los lados de un triángulo (45 °, 45 °, 90 ° ), que también se puede describir como un ( frac {π} {4}, frac {π} {4}, frac {π} {2} ) triángulo, tienen longitudes en la relación (s, s, sqrt {2} s. ) Estos las relaciones se muestran en la Figura ( PageIndex {8} ).

Luego, podemos usar las razones de las longitudes de los lados para evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evalúe usando longitudes de lados.

  1. Utilice las longitudes de los lados que se muestran en la Figura ( PageIndex {8} ) para el ángulo especial que desea evaluar.
  2. Utilice la relación de longitudes de los lados apropiada para la función que desea evaluar.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales

Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {3} ), usando las longitudes de los lados.

Solución

[ begin {align *} sin ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {hyp}} = dfrac { sqrt {3} s} { 2s} = dfrac { sqrt {3}} {2} cos ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {hyp}} = dfrac {s} {2s} = dfrac {1} {2} tan ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {adj}} = dfrac { sqrt {3} s} {s} = sqrt {3} sec ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {adj}} = dfrac {2s} {s} = 2 csc ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {opp}} = dfrac {2s} { sqrt {3} s} = dfrac {2} { sqrt {3}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3} cot ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {opp}} = dfrac {s} { sqrt {3} s} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3 }} {3} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {4} ) usando las longitudes de los lados.

Respuesta

( sin ( frac {π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, cos ( frac {π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, tan ( frac {π} {4}) = 1, )

( sec ( frac {π} {4}) = sqrt {2}, csc ( frac {π} {4}) = sqrt {2}, cot ( frac {π} {4 }) = 1 )

Utilización de la misma función de complementos

Si miramos más de cerca la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales en relación con el círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de ( frac {π} {6} ) y ( frac {π} {3} ), vemos que el seno de ( frac {π} {3} ), a saber, ( frac { sqrt {3}} {2} ), es también el coseno de ( frac {π} {6} ), mientras que el seno de ( frac {π} { 6} ), a saber, ( frac {1} {2}, ) es también el coseno de ( frac {π} {3} ) (Figura ( PageIndex {9} )).

[ begin {align *} sin frac {π} {3} & = cos frac {π} {6} = frac { sqrt {3} s} {2s} = frac { sqrt {3}} {2} sin frac {π} {6} & = cos frac {π} {3} = frac {s} {2s} = frac {1} {2} fin {alinear *} ]

Este resultado no debería sorprender porque, como vemos en la Figura ( PageIndex {9} ), el lado opuesto al ángulo de ( frac {π} {3} ) también es el lado adyacente a ( frac {π} {6} ), entonces ( sin ( frac {π} {3}) ) y ( cos ( frac {π} {6}) ) son exactamente la misma razón de los mismos dos lados, ( sqrt {3} s ) y (2s. ) De manera similar, ( cos ( frac {π} {3}) ) y ( sin ( frac {π } {6}) ) son también la misma razón usando los mismos dos lados, (s ) y (2s ).

La interrelación entre los senos y cosenos de ( frac {π} {6} ) y ( frac {π} {3} ) también es válida para los dos ángulos agudos en cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, la razón de los mismos dos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Dado que los tres ángulos de un triángulo se suman a π, π, y el ángulo recto es ( frac {π} {2} ), los dos ángulos restantes también deben sumar ( frac {π} {2} ). Eso significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos que se sumen a ( frac {π} {2} ); en otras palabras, dos ángulos complementarios cualesquiera. Entonces podemos declarar un identidad cofuncional: Si dos ángulos son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la Figura ( PageIndex {10} ).

Usando esta identidad, podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de ( frac {π} {12} ) es igual al coseno de ( frac {5π} {12} ), y que el seno de ( frac {5π} {12} ) es igual al coseno de ( frac {π} {12} ). También podemos afirmar que si, para un cierto ángulo (t, cos t = frac {5} {13}, ) entonces ( sin ( frac {π} {2} −t) = frac {5} {13} ) también.

IDENTIDADES DE COFUNCIÓN

El identidades cofuncionales en radianes se enumeran en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )

( cos t = sin ( frac {π} {2} −t) )

( sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t) )

( tan t = cot ( dfrac {π} {2} −t) )

( cot t = tan ( dfrac {π} {2} −t) )

( sec t = csc ( dfrac {π} {2} −t) )

( csc t = sec ( dfrac {π} {2} −t) )

cómo: Dados el seno y el coseno de un ángulo, encuentre el seno o coseno de su complemento.

  1. Para encontrar el seno del ángulo complementario, encuentre el coseno del ángulo original.
  2. Para encontrar el coseno del ángulo complementario, encuentre el seno del ángulo original.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de identidades de función

Si ( sin t = frac {5} {12}, ) encuentra (( cos frac {π} {2} −t) ).

Solución

De acuerdo con las identidades de cofunción para seno y coseno,

[ sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t). sin número]

Entonces

[ cos ( dfrac {π} {2} −t) = dfrac {5} {12}. sin número]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Si ( csc ( frac {π} {6}) = 2, ) encuentra ( sec ( frac {π} {3}). )

Solución

2

Uso de funciones trigonométricas

En ejemplos anteriores, evaluamos el seno y el coseno en triángulos donde conocíamos los tres lados. Pero el poder real de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando miramos triángulos en los que conocemos un ángulo pero no todos los lados.

cómo: Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, encuentra los lados restantes

  1. Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado desconocido como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador.
  2. Escribe una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual a la razón de los lados correspondientes.
  3. Usando el valor de la función trigonométrica y la longitud del lado conocida, resuelve la longitud del lado que falta.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar longitudes de lados faltantes mediante relaciones trigonométricas

Encuentra los lados desconocidos del triángulo en la Figura ( PageIndex {11} ).

Solución

Conocemos el ángulo y el lado opuesto, por lo que podemos usar la tangente para encontrar el lado adyacente.

[ tan (30 °) = dfrac {7} {a} nonumber ]

Reorganizamos para resolver (a ).

[ begin {align} a & = dfrac {7} { tan (30 °)} & = 12.1 end {align} nonumber ]

Podemos usar el seno para encontrar la hipotenusa.

[ sin (30 °) = dfrac {7} {c} nonumber ]

Nuevamente, reorganizamos para resolver (c ).

[ begin {align *} c & = dfrac {7} { sin (30 °)} = 14 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de ( frac {π} {3} ) y una hipotenusa de 20. Calcula los lados y el ángulo desconocidos del triángulo.

Respuesta

( mathrm {adyacente = 10; opuesto = 10 sqrt {3};} ) el ángulo faltante es ( frac {π} {6} )

Uso de la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados

La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo hace posible encontrar la altura de un objeto alto sin tener que subir a la cima o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Lo hacemos midiendo una distancia desde la base del objeto hasta un punto en el suelo a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión en ángulo desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos usar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. De manera similar, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto debajo de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. Vea la Figura ( PageIndex {12} ).

cómo: dado un objeto alto, medir su altura indirectamente

  1. Haga un bosquejo de la situación del problema para realizar un seguimiento de la información conocida y desconocida.
  2. Trace una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto donde la parte superior del objeto sea claramente visible.
  3. En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mide el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal.
  4. Escribe una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión.
  5. Resuelve la ecuación para la altura desconocida.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): medir una distancia indirectamente

Para encontrar la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57 ° 57 ° entre una línea de visión a la parte superior del árbol y el suelo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ). Calcula la altura del árbol.

Solución

Sabemos que el ángulo de elevación es (57 ° ) y el lado adyacente mide 30 pies de largo. El lado opuesto es la altura desconocida.

La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Entonces, expresaremos nuestra información en términos de la tangente de (57 ° ), dejando que (h ) sea la altura desconocida.

[ begin {array} {cl} tan θ = dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} & text {} tan (57 °) = dfrac {h} { 30} & text {Resolver para} h. h = 30 tan (57 °) & text {Multiplica.} h≈46.2 & text {Usa una calculadora.} end {array} ]

El árbol mide aproximadamente 46 pies de altura.

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

¿Cuánto tiempo se necesita una escalera para llegar al alféizar de una ventana a 50 pies sobre el suelo si la escalera descansa contra el edificio formando un ángulo de ( frac {5π} {12} ) con el suelo? Redondea al pie más cercano.

Respuesta

Aproximadamente 52 pies

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Ecuaciones clave

Identidades de Cofunction

[ begin {align *} cos t & = sin ( frac {π} {2} −t) sin t & = cos ( frac {π} {2} −t) tan t & = cot ( frac {π} {2} −t) cot t & = tan ( frac {π} {2} −t) sec t & = csc ( frac {π} {2} −t) csc t & = sec ( frac {π} {2} −t) end {align *} ]

Conceptos clave

  • Podemos definir funciones trigonométricas como razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Ver ejemplo.
  • Se pueden usar las mismas longitudes de lado para evaluar las funciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Ver ejemplo.
  • Podemos evaluar las funciones trigonométricas de ángulos especiales, conociendo las longitudes de los lados de los triángulos en los que ocurren. Ver ejemplo.
  • Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
  • Si dos ángulos son complementarios, las identidades de cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Ver ejemplo.
  • Podemos usar funciones trigonométricas de un ángulo para encontrar longitudes de lados desconocidas.
  • Seleccione la función trigonométrica que representa la relación entre el lado desconocido y el lado conocido. Ver ejemplo.
  • La trigonometría de triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles.
  • La altura o distancia desconocida se puede encontrar creando un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, y se conozcan otro lado y ángulo. Ver ejemplo.

Glosario

lado adyacente
en un triángulo rectángulo, el lado entre un ángulo dado y el ángulo recto
ángulo de depresión
el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador, asumiendo que el objeto está posicionado más bajo que el observador
ángulo de elevación
el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador, asumiendo que el objeto está posicionado más alto que el observador
lado opuesto
en un triángulo rectángulo, el lado más distante de un ángulo dado
hipotenusa
el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto

Geo.4 Trigonometría de triángulo rectángulo

En esta unidad, los estudiantes comprenden las razones de los triángulos rectángulos, lo que lleva a nombrar el coseno, el seno y la tangente como razones trigonométricas. Practicar sin nombrar las razones permite a los estudiantes conectar similitud, razonamiento proporcional y factores de escala a triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente antes de que la calculadora se haga cargo de parte del cálculo. Los estudiantes se encuentran con varios contextos para entender y aplicar la medición del triángulo rectángulo.

Lecciones

Ángulos y pendiente

Definición de relaciones trigonométricas

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Unidad 4: Triángulos rectángulos y trigonometría

Define las partes de un triángulo rectángulo y describe las propiedades de la altitud de un triángulo rectángulo.

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Definir y demostrar el teorema de Pitágoras. Utilice el teorema de Pitágoras y su inverso en la solución de problemas.

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Defina la relación entre las longitudes de los lados de triángulos rectángulos especiales.

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Multiplica y divide radicales. Racionalice el denominador.

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Suma y resta radicales.

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Tema B: Trigonometría de triángulo rectángulo

Define y calcula el seno de los ángulos en triángulos rectángulos. Utilice criterios de similitud para generalizar la definición de seno a todos los ángulos de la misma medida.

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Define y calcula el coseno de ángulos en triángulos rectángulos. Utilice criterios de similitud para generalizar la definición de coseno a todos los ángulos de la misma medida.

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Deriva la relación entre el seno y el coseno de ángulos complementarios en triángulos rectángulos y describe el seno y el coseno a medida que las medidas de los ángulos se acercan a 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° y 90 °.

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Describe y calcula la tangente en triángulos rectángulos. Describe cómo cambia el valor de la tangente cuando la medida del ángulo se acerca a 0 °, 45 ° y 90 °.

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Resuelve los lados faltantes de un triángulo rectángulo dada la longitud de un lado y la medida de un ángulo.

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Tema C: Aplicaciones de la trigonometría del triángulo rectángulo

Encuentra la medida del ángulo dados dos lados usando funciones trigonométricas inversas.

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Describe la relación entre la pendiente y la relación de tangente del ángulo de elevación / depresión. Utilice la relación de tangente del ángulo de elevación o depresión para resolver problemas del mundo real.

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Resolver un problema de modelado usando trigonometría.

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Tema D: El círculo de la unidad

Defina ángulos en posición estándar y utilícelos para construir el primer cuadrante del círculo unitario.

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Utilice el primer cuadrante del círculo unitario para definir los valores de seno, coseno y tangente fuera del primer cuadrante.

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Tema E: Razones trigonométricas en triángulos no rectángulos

Deriva la fórmula del área para cualquier triángulo en términos de seno.

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Verifica algebraicamente y encuentra las medidas faltantes usando la Ley de los senos.

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Verifica algebraicamente y encuentra las medidas faltantes usando la Ley de los cosenos.

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Utilice relaciones de lados y ángulos en triángulos rectos y no rectángulos para resolver problemas de aplicación.

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Geo.4 Trigonometría de triángulo rectángulo

En esta unidad, los estudiantes comprenden las razones de los triángulos rectángulos, lo que lleva a nombrar el coseno, el seno y la tangente como razones trigonométricas. Practicar sin nombrar las razones permite a los estudiantes conectar similitud, razonamiento proporcional y factores de escala a triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente antes de que la calculadora se haga cargo de parte del cálculo. Los estudiantes se encuentran con varios contextos para entender y aplicar la medición del triángulo rectángulo.

Evaluaciones

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Grandes Ideas Matemáticas Geometría Respuestas Capítulo 9 Triángulos rectángulos y trigonometría

Triángulos rectángulos y trigonometría para mantener el dominio de las matemáticas

Respuesta:
raíz cuadrada de 75 = 5625.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
√75.
raíz cuadrada de 75 = 75 x 75.
75 x 75 = 5.625.
√75 = 5,625.

Respuesta:
raíz cuadrada de 270 = 72,900.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
√270.
raíz cuadrada de 270 = 270 x 270.
270 x 270 = 72900.
√270 = 72900.

Respuesta:
raíz cuadrada de 135 = 18225.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
√135.
raíz cuadrada de 135 = 135 x 135.
135 x 135 = 18225.
√135 = 18,225.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
raíz cuadrada de 7 = 7 x 7.
7 x 7 = 49.
( frac <2> < sqrt <7>> ).
2/49 = 0.04.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
raíz cuadrada de 2 = 2 x 2.
2 x 2 = 4.
( frac <5> < sqrt <2>> ).
5/4 = 1.25.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
raíz cuadrada de 6 = 6 x 6.
6 x 6 = 36.
( frac <12> < sqrt <6>> ).
12/36 = 0.33.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac<12>=frac<3> <4> )
x / 12 = 3/4.
4x = 12 x 3.
4x = 36.
x = 36/4.
x = 9.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac<3>=frac<5> <2> )
x / 3 = 5/2.
2x = 5 x 3.
2x = 15.
x = 15/2.
x = 7,5.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac <4>= frac <7> <56> )
4 / x = 7/56.
7x = 56 x 4.
7x = 224.
x = 224/7.
x = 32.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac <10> <23> = frac <4>)
x / 4 = 10/23.
10 veces = 23 x 4.
10 veces = 92.
x = 92/10.
x = 9,2.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac<2>=frac<21> <14> )
x + 12 x 2 = 21 & # 21514.
2x + 24 = 294.
2x = 294 y # 8211 24.
2x = 270.
x = 270/2.
x = 135.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac <9> <3 x-15> = frac <3> <12> )
27x & # 8211135 = 3 & # 21512.
27x = 36 + 135.
27x = 171.
x = 171/27.
x = 6,33.

Pregunta 13.
RAZONAMIENTO ABSTRACTO
La propiedad del producto de las raíces cuadradas le permite simplificar la raíz cuadrada de un producto. ¿Puedes simplificar la raíz cuadrada de una suma? de una diferencia? Explicar.

Respuesta:
Sí, puedo simplificar la raíz cuadrada de una suma.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
La propiedad del producto de las raíces cuadradas le permite simplificar la raíz cuadrada de un producto.
√3 + 1 = √4.
√4 = 4 x 4.
16.
√3 – 1 = √2.
√2 = 2 x 2.
4.

Triángulos rectángulos y trigonometría Prácticas matemáticas

Seguimiento del progreso

Pregunta 1.
Utilice software de geometría dinámica para construir un triángulo rectángulo con medidas de ángulos agudos de 30 ° y 60 ° en posición estándar. ¿Cuáles son las coordenadas exactas de sus vértices?

Pregunta 2.
Utilice software de geometría dinámica para construir un triángulo rectángulo con medidas de ángulo agudo de 20 ° y 70 ° en posición estándar. ¿Cuáles son las coordenadas aproximadas de sus vértices?
Respuesta:

9.1 El teorema de Pitágoras

Exploración 1

Demostrar el teorema de Pitágoras sin palabras

un. Dibuja y recorta un triángulo rectángulo con catetos ayb e hipotenusa c.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
demostrando el teorema de Pitágoras sin palabras.
a 2 + segundo 2 = do 2.

B. Haz tres copias de tu triángulo rectángulo. Organice todos los triángulos de recorrido para formar un cuadrado grande, como se muestra.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
haz tres copias de tu triángulo rectángulo.
a 2 + segundo 2 = do 2.

C. Encuentra el área del cuadrado grande en términos de a, byc sumando las áreas de los triángulos y el cuadrado pequeño.

Respuesta:
El área del cuadrado grande = a 2 x b 2.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
el área del cuadrado = l x b.
donde l = largo y b = ancho.
el área del cuadrado = a x b.
área = a 2 x b 2.

D. Copia el cuadrado grande. Divídalo en dos cuadrados más pequeños y dos rectángulos del mismo tamaño, como se muestra.

mi. Encuentra el área del cuadrado grande en términos de ayb sumando las áreas de los rectángulos y los cuadrados más pequeños.
Respuesta:

F. Compare sus respuestas con las partes (c) y (e). Explica cómo esto prueba el Teorema de Pitágoras.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
La longitud de ayb es igual a la hipotenusa.
a 2 + segundo 2 = do 2.
donde a = un lado yb = un lado.

Exploración 2

Demostrando el teorema de Pitágoras

un. Dibuja un triángulo rectángulo con los catetos ayb, y la hipotenusa c, como se muestra. Dibuja la altitud de C a ( overline) Rotule las longitudes, como se muestra.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
a 2 + segundo 2 = do 2.

B. Explique por qué ∆ABC, ∆ACD y ∆CBD son similares.

Respuesta:
En un triángulo de ángulo recto, todos los ángulos son iguales.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
∆ABC, ∆ACD y ∆CBD son similares.
En un triángulo de ángulo recto, todos los ángulos son iguales.

RAZONANDO ABSTRACTAMENTE
Para dominar las matemáticas, debe conocer y utilizar de manera flexible las diferentes propiedades de las operaciones y los objetos.
Respuesta:

C. Escribe una prueba de dos columnas usando los triángulos similares del inciso (b) para demostrar que a 2 + b 2 = c 2

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
En el teorema de Pitágoras.
a 2 + b 2 = c 2
la longitud de la hipotenusa, es decir, igual a las longitudes de los dos lados.
a 2 + b 2 = c 2

Pregunta 3.
¿Cómo puedes probar el teorema de Pitágoras?

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
En el teorema de Pitágoras,
la longitud de la hipotenusa es igual a la longitud de los otros dos lados.
hipotenusa = c.
longitud = a.
la amplitud = b.
a 2 + b 2 = c 2

Pregunta 4.
Usa Internet u otro recurso sónico para encontrar una manera de probar el Teorema de Pitágoras que es diferente de las Exploraciones 1 y 2.
Respuesta:

Lección 9.1 El teorema de Pitágoras

Seguimiento del progreso

Encuentra el valor de x. Luego, di si las longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Pregunta 1.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 6 y 4.
a 2 + b 2 = c 2
6 x 6 + 4 x 4 = c2
36 + 16 = c2
52 = c2.
c = √52.

Pregunta 2.

Respuesta:
x = 4.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 3 y 5.
x 2 + 3 x 3 = 5 x 5.
x2 + 9 = 25.
x2 = 25 & # 8211 9.
x2 = 16.
x = 4.

Pregunta 3.
Un anemómetro es un dispositivo que se utiliza para medir la velocidad del viento. El anemómetro que se muestra está unido a la parte superior de un poste. Los cables de soporte están conectados al poste a 5 pies sobre el suelo. Cada cable de soporte mide 6 pies de largo. ¿A qué distancia de la base del poste está cada cable conectado al suelo?

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
Un anemómetro es un dispositivo que se utiliza para medir la velocidad del viento.
Los cables de soporte están conectados al poste a 5 pies sobre el suelo.
Cada cable de soporte mide 6 pies de largo.
d 2 + 6 x 6 = 5 x 5.
d2 + 36 = 25.
d2 = 25 & # 8211 36.
d2 = 11.
d = √11.

Indica si el triángulo es un triángulo rectángulo.

Pregunta 4.

Respuesta:
Sí, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
la hipotenusa = 3 √34.
un lado = 15.
el otro lado = 9.
entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Pregunta 5.

Respuesta:
Sí, el triángulo es un triángulo actuto.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
la hipotenusa = 22.
un lado = 26.
el otro lado = 14.
entonces el triángulo es un triángulo agudo.

Pregunta 6.
Verifica que los segmentos con longitudes de 3, 4 y 6 formen un triángulo. ¿El triángulo es agudo, recto u obtuso?

Respuesta:
Sí, las longitudes del triángulo forman un triángulo agudo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados de 3, 4 y 6 forman un triángulo.
6 x 6 = 3 x 3 + 4 x 4.
36 = 9 + 16.
36 = 25.
entonces la longitud del triángulo forma un triángulo agudo.

Pregunta 7.
Verifique que los segmentos con longitudes de 2, 1, 2, 8 y 3.5 formen un triángulo. ¿El triángulo es agudo, recto u obtuso?
Respuesta:

Ejercicio 9.1 El teorema de Pitágoras

Verificación de vocabulario y conceptos básicos

Pregunta 1.
VOCABULARIO
¿Qué es un triple pitagórico?
Respuesta:

Pregunta 2.
DIFERENTES PALABRAS, MISMA PREGUNTA
¿Que es diferente? Encuentra "ambas" respuestas.

Calcula la longitud del lado más largo.

Respuesta:
La longitud del lado más largo = 5.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 3 y 4.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Encuentra la longitud de la hipotenusa

Respuesta:
La longitud de la hipotenusa = 5.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 3 y 4.
en el teorema de Pitágoras,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Calcula la longitud del cateto más largo.

Respuesta:
La longitud de la pierna más larga = 5.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 3 y 4.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Calcula la longitud del lado opuesto al ángulo recto.

Respuesta:
La longitud del lado opuesto al ángulo recto = 5.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 3 y 4.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 a 6, encuentre el valor de x. Luego, di si las longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Pregunta 3.

Respuesta:

Pregunta 4.

Respuesta:
La longitud de la x = 34.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 30 y 16.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 16 x 16 + 30 x 30.
X x X = 256 + 900.
X x X = 1156.
X = 34.

Pregunta 5.

Respuesta:

Pregunta 6.

Respuesta:
La longitud de la x = 7,2.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 6 y 4.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 4 x 4 + 6 x 6.
X x X = 16 + 36.
X x X = 52.
X = 7,2.

En los Ejercicios 7 y # 8211 10, encuentre el valor de x. Luego, di si las longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Pregunta 7.

Respuesta:

Pregunta 8.

Respuesta:
La longitud de la X = 25,6.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 24 y 9.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 24 x 24 + 9 x 9.
X x X = 576 + 81.
X x X = 657.
X = 25,6.

Pregunta 9.

Respuesta:

Pregunta 10.

Respuesta:
La longitud de la x = 11,4.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 7 y 9.
en el threoema pitagórico,
el lado más largo es igual a la longitud de los lados.
X = 7 x 7 + 9 x 9.
X x X = 49 + 81.
X x X = 130.
X = 11,4.

ANÁLISIS DE ERRORES
En los Ejercicios 11 y 12, describe y corrige el error al usar el Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1).

Pregunta 11.

Respuesta:

Pregunta 12.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 26 y 10.
26 x 26 = una x una + 10 x 10.
676 = una x una + 100.
676 & # 8211100 = a x a.
576 = una x una.
a = 24.
x = 24.

Pregunta 13.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
La escalera de incendios forma un triángulo rectángulo, como se muestra. Utilice el Teorema de Pitágoras (Teorema 9. 1) para aproximar la distancia entre las dos plataformas. (Vea el ejemplo 3).

Respuesta:

Pregunta 14.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
El tablero del aro de baloncesto forma un triángulo rectángulo con las varillas de soporte, como se muestra. Use el Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1) para aproximar la distancia entre las varillas donde se encuentran con el tablero.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 13,4 y 9,8.
13,4 x 13,4 = X x X + 9,8 x 9,8.
179,56 = X x X + 96,04.
179,56 y # 8211 96,04 = X x X.
83,52 = X x X.
X = 9,1.
En los Ejercicios 15 y # 8211 20, di si el triángulo es un triángulo rectángulo.

Pregunta 15.

Respuesta:

Pregunta 16.

Respuesta:
No, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 23 y 11,4.
la hipotenusa = 21,2.
21,2 x 21,2 = 23 x 23 + 11,4 x 11,4.
449.44 = 529 + 129.96.
449.44 = 658.96.
449 no es igual a 658,96.
entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Pregunta 17.

Respuesta:

Pregunta 18.

Respuesta:
No, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 5 y 1.
la hipotenusa = √26.
26 x 26 = 5 x 5 + 1 x 1.
676 = 25 + 1.
676 = 26.
676 no es igual a 26.
entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Pregunta 19.

Respuesta:

Pregunta 20.

Respuesta:
Sí, el triángulo forma un triángulo rectángulo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 80 y 39.
la hipotenusa = 89.
89 x 89 = 80 x 80 + 39 x 39.
7921 = 6400 + 1521.
7921 = 7921.
7921 es igual a 7921.
entonces el triángulo forma un triángulo rectángulo.

En los Ejercicios 21 y # 8211 28, verifique que las longitudes de los segmentos formen un triángulo. ¿El triángulo es agudo, recto u obtuso?

Pregunta 21.
10, 11 y 14
Respuesta:

Respuesta:
Sí, el triángulo forma un triángulo rectángulo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 8 y 6.
la hipotenusa = 10.
10 x 10 = 8 x 8 + 6 x 6.
100 = 64 + 36.
100 = 100.
100 es igual a 100.
entonces el triángulo está formando un triángulo rectángulo.

Pregunta 23.
12, 16 y 20
Respuesta:

Respuesta:
Sí, el triángulo es un triángulo obtuso.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 15 y 20.
la hipotenusa = 36.
36 x 36 = 20 x 20 + 15 x 15.
1296 = 400 + 225.
1296 y GT 625.
1296 es mayor que 625.
entonces el triángulo no es un triángulo obtuso.

Pregunta 25.
5.3, 6.7 y 7.8
Respuesta:

Pregunta 26.
4.1, 8.2 y 12.2

Respuesta:
No, el triángulo es un triángulo obtuso.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 4.1 y 8.2.
la hipotenusa = 12,2.
12,2 x 12,2 = 4,1 x 4,1 + 8,2 x 8,2`.
148.84 = 16.81 + 67.24.
148,84 y 84,05 gt.
148,84 es mayor que 84,05.
entonces el triángulo es un triángulo obtuso.

Pregunta 27.
24, 30 y 6√43
Respuesta:

Pregunta 28.
10, 15 y 5√13

Respuesta:
Sí, el triángulo es un triángulo agudo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 10 y 5√13.
la hipotenusa = 15.
15 x 15 = 10 x 10 + 5√13 x 5√13.
225 = 100 + 34.81.
225 & lt 134,81.
225 es menor que 134,81.
entonces el triángulo es un triángulo agudo.

Pregunta 29.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
En béisbol, la longitud de los caminos entre bases consecutivas es de 90 pies y los caminos forman ángulos rectos. El jugador en la primera base intenta robar la segunda base. ¿Qué tan lejos debe viajar la pelota desde el plato de home hasta la segunda base para sacar al jugador?
Respuesta:

Pregunta 30.
RAZONAMIENTO
Estás haciendo un marco de lienzo para una pintura usando barras de estiramiento. La pintura rectangular tendrá 10 pulgadas de largo y 8 pulgadas de ancho. Usando una regla, ¿cómo puede estar seguro de que las esquinas del marco están a 90 °?

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 10 y 8.
la hipotenusa = x.
X x X = 10 x 10 + 8 x 8.
X = 100 + 64.
X = 12,8.
En los Ejercicios 31 y # 8211 34, encuentre el área del triángulo isósceles.

Pregunta 31.

Respuesta:

Pregunta 32.

Respuesta:
El área del triángulo isósceles = 12 pies.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
base = 32 pies
hipotenusa = 20 pies.
a 2 + b 2 = c 2
alto x alto + 16 x 16 = 20 x 20.
altura x altura + 256 = 400.
alto x alto = 400 & # 8211256.
altura x altura = 144.
h = 12 pies.
entonces el área del triángulo isósceles = 12 pies.

Pregunta 33.

Respuesta:

Pregunta 34.

Respuesta:
El área del triángulo isósceles = 48 m.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
base = 28 m.
hipotenusa = 50 m.
a 2 + b 2 = c 2
alto x alto + 14 x 14 = 50 x 50.
altura x altura + 196 = 2500.
alto x alto = 2500 & # 8211 196.
altura x altura = 2304.
h = 48 m.
entonces el área del triángulo isósceles = 48 m.

Pregunta 35.
ANALIZAR LAS RELACIONES
Justifica la fórmula de la distancia usando el teorema de Pitágoras (Thin. 9. 1).
Respuesta:

Pregunta 36.
¿CÓMO LO VES?
¿Cómo sabes que ∠C es un ángulo recto sin usar el Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1)?

Respuesta:
Sí, el triángulo forma un triángulo rectángulo.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
las longitudes de los lados son 8 y 6.
la hipotenusa = 10.
10 x 10 = 8 x 8 + 6 x 6.
100 = 64 + 36.
100 = 100.
100 es igual a 100.
entonces el triángulo está formando un triángulo rectángulo.

Pregunta 37.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Estás haciendo una cometa y necesitas saber cuánto atar comprar. Necesitas la unión para el perímetro de la cometa. La encuadernación viene en paquetes de dos yardas. ¿Cuántos paquetes deberías comprar?

Respuesta:

Pregunta 38.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Utilice el Teorema de Pitágoras (Teorema 9. 1) para demostrar el Teorema de congruencia de hipotenusa-pierna (HL) (Teorema 5.9).

Respuesta:

Pregunta 39.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Demuestre el inverso del teorema de Pitágoras (Teorema 9.2). (Sugerencia: Dibuja ∆ABC con las longitudes de los lados a, byc, donde c es la longitud del lado más largo. Luego, dibuja un triángulo rectángulo con las longitudes de los lados a, byx, donde x es la longitud de la hipotenusa. Compare las longitudes cy x.)
Respuesta:

Pregunta 40.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Considere dos números enteros my n. donde m & gt n. ¿Las siguientes expresiones producen un triple pitagórico? Si es así, pruebe su respuesta. Si no, dé un contraejemplo.
2mn, m 2 y # 8211 n 2, m 2 + n 2

Pregunta 41.
ARGUMENTAR
Tu amigo afirma que 72 y 75 No puede ser parte de un triple pitagórico porque 72 2 + 75 2 no es igual a un número entero positivo al cuadrado. ¿Tu amigo tiene razón? Explica tu razonamiento.
Respuesta:

Pregunta 42.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Copia y completa la prueba del Teorema de las desigualdades de Pitágoras (Teorema 9.3) cuando c 2 & lt a 2 + b 2.
Dado en ∆ABC, c 2 & lt a 2 + b 2 donde c es la longitud
del lado más largo.
∆PQR tiene las longitudes de los lados a, byx, donde x es la longitud de la hipotenusa y ∠R es un ángulo recto.
Demuestre que ∆ABC es un triángulo agudo.

Declaraciones Razones
1. En ∆ABC, C2 & lt (12 + h2, donde c es la longitud del lado más largo. ∆PQR tiene las longitudes de los lados a, byx, donde x es la longitud de la hipotenusa y ∠R es un lado derecho ángulo. 1. _____________________________
2. a 2 + b 2 = x 2 2. _____________________________
3. c 2 y lt r 2 3. _____________________________
4. c & lt x 4. Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado.
5. m ∠ R = 90 ° 5. _____________________________
6. m ∠ C & lt m ∠ R 6. Inverso del teorema de la bisagra (Teorema 6.13)
7. m ∠ C & lt 90 ° 7. _____________________________
8. ∠C es un ángulo agudo. 8. _____________________________
9. ∆ABC es un triángulo agudo. 9. _____________________________

Pregunta 43.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Demuestre el Teorema de las desigualdades de Pitágoras (Teorema 9.3) cuando c 2 & gt a 2 + b 2. (Sugerencia: vuelva al ejercicio 42).
Respuesta:

Mantener el dominio de las matemáticas

Simplifica la expresión racionalizando el denominador.

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac <7> < sqrt <2>> ) = 7 / √2.
7 / √2 = 7 / √2 x √2 / √2.
7 √2 /√4.
7√2 /2.

Pregunta 45.
( frac <14> < sqrt <3>> )
Respuesta:

Explicación:
En la pregunta anterior,
Dado que,
( frac <8> < sqrt <2>> ) = 8 / √2.
8 / √2 = 8 / √2 x √2 / √2.
8 √2 /√4.
8√2 /2.

Pregunta 47.
( frac <12> < sqrt <3>> )
Respuesta:

9.2 Triángulos rectángulos especiales

Exploración 1

Relaciones laterales de un triángulo rectángulo isósceles

un. Utilice software de geometría dinámica para construir un triángulo rectángulo isósceles con una longitud de cateto de 4 unidades.
Respuesta:

B. Encuentra las medidas de los ángulos agudos. Explica por qué este triángulo se llama triángulo de 45 ° & # 8211 45 ° & # 8211 90 °.
Respuesta:

C. Encuentra las proporciones exactas de las longitudes de los lados (usando raíces cuadradas).
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________
ATENCIÓN A LA PRECISIÓN
Para dominar las matemáticas, debe expresar respuestas numéricas con un grado de precisión apropiado para el contexto del problema.
Respuesta:

D. Repite las partes (a) y (c) para varios otros triángulos rectángulos isósceles. Usa tus resultados para escribir una conjetura sobre las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo isósceles.
Respuesta:

Exploración 2

un. Utilice un software de geometría dinámica para construir un triángulo rectángulo con medidas de ángulos agudos de 30 ° y 60 ° (un triángulo de 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 °), donde la longitud de la pierna más corta es de 3 unidades.

B. Encuentra las proporciones exactas de las longitudes de los lados (usando raíces cuadradas).
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________

Respuesta:

C. Repita las partes (a) y (b) para varios otros triángulos de 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 °. Usa tus resultados para escribir una conjetura sobre las razones de las longitudes de los lados de un triángulo de 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 °.
Respuesta:

Pregunta 3.
¿Cuál es la relación entre las longitudes de los lados de los triángulos de 45 ° - 45 ° y # 8211 90 °? 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 ° triángulos?
Respuesta:

Lección 9.2 Triángulos rectángulos especiales

Seguimiento del progreso

Encuentra el valor de la variable. Escribe tu respuesta en la forma más simple.

Pregunta 1.

Explicación:
(2√2) ² = x² + x²
8 = 2x²
x² = 4
x = 4

Pregunta 2.

Explicación:
y² = 2 + 2
y² = 4
y = 2

Pregunta 3.

Explicación:
pierna más larga = pierna más corta • √3
x = √3 • √3
x = 3
hipotenusa = pierna más corta • 2
= √3 • 2 = 2√3

Pregunta 4

Explicación:
pierna más larga = pierna más corta • √3
h = 2√3

Pregunta 5.
El logotipo de un contenedor de reciclaje se asemeja a un triángulo equilátero con lados de 6 centímetros. Aproxima el área del logo.

Pregunta 6.
La carrocería de un camión volquete se eleva para vaciar una carga de arena. ¿Qué tan alto está el cuerpo de 14 pies de largo desde el marco cuando está inclinado hacia arriba en un ángulo de 60 °?

Respuesta:
28/3 pies de alto es el cuerpo de 14 pies de largo desde el marco cuando se inclina hacia arriba en un ángulo de 60 °.

Explicación:
Altura del cuerpo a 90 grados = 14 pies
Altura del cuerpo a 1 grado = 14/90
Altura del cuerpo a 60 grados = 14 x 60/90
= 14 x 2/3
= 28/3 pies

Ejercicio 9.2 Triángulos rectángulos especiales

Verificación de vocabulario y conceptos básicos

Pregunta 1.
VOCABULARIO
Nombra dos triángulos rectángulos especiales por las medidas de sus ángulos.
Respuesta:

Pregunta 2.
ESCRIBIENDO
Explica por qué los ángulos agudos en un triángulo rectángulo isósceles siempre miden 45 °.

Respuesta:
Debido a que los ángulos agudos de un triángulo isósceles recto deben ser congruentes según el teorema de los ángulos base y complementarios, sus medidas deben ser 90 ° / 2 = 45 °.

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 y # 8211 6, encuentre el valor de x. Escribe tu respuesta en la forma más simple.

Pregunta 3.

Respuesta:

Pregunta 4.

Explicación:
hipotenusa = pierna • √2
x = 5√2 • √2
x = 10

Pregunta 5.

Respuesta:

Pregunta 6.

Explicación:
hipotenusa = pierna • √2
9 = x • √2
x = ( frac <9> <√2> )

En los Ejercicios 7 y # 8211 10, encuentre los valores de x e y. Escriba sus respuestas en la forma más simple.

Pregunta 7.

Respuesta:

Pregunta 8.

Explicación:
hipotenusa = 2 • pierna más corta
y = 2 • 3
y = 6
pierna más larga = √3 • pierna más corta
3√3 = √3x
x = 3

Pregunta 9.

Respuesta:

Pregunta 10.

Explicación:
hipotenusa = 2 • pierna más corta
12√3 = 2 años
y = 6√3
pierna más larga = √3 • pierna más corta
x = √3. 6√3
x = 18

ANÁLISIS DE ERRORES
En los Ejercicios 11 y 12, describe y corrige el error al hallar la longitud de la hipotenusa.

Pregunta 11.

Respuesta:

Pregunta 12.

Respuesta:
hipotenusa = cateto • √2 = √5. √2 = √10

En los Ejercicios 13 y 14., dibuje la figura que se describe. Encuentra la longitud indicada. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 13.
La longitud del lado de un triángulo equilátero es de 5 centímetros. Calcula la longitud de una altitud.
Respuesta:

Pregunta 14.
El perímetro de un cuadrado es de 36 pulgadas. Calcula la longitud de una diagonal.

Respuesta:
La longitud de una diagonal es 9√2

Explicación:
Lado del cuadrado = 36/4 = 9
diagonal cuadrada = √2a = √2 (9) = 9√2

En los Ejercicios 15 y 16, calcula el área de la figura. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 15.

Respuesta:

Pregunta 16.

Explicación:
pierna más larga = √3 • pierna más corta
4 = √3 • pierna más corta
pierna más corta = 4 / √3
h² = 16/3 + 16
h² = 16 (4/3)
h = 8√ (1/3)
Área del paralelogramo = 5 (8√ (1/3)) = 40√ (1/3) metros cuadrados

Pregunta 17.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Cada mitad del puente levadizo mide aproximadamente 284 pies de largo. ¿Qué altura tiene el puente levadizo cuando x mide 30 °? 45 °? 60 °?

Respuesta:

Pregunta 18.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Una tuerca tiene la forma de un hexágono regular con longitudes laterales de 1 centímetro. Encuentra el valor de x. (Sugerencia: un hexágono regular se puede dividir en seis triángulos congruentes).

Respuesta:
Longitud lateral = 1 cm
Un hexágono regular tiene seis lados iguales. Una línea trazada desde el centro hasta cualquier vértice tendrá la misma longitud que cualquier lado.
Esto implica que el radio es igual a la longitud del lado.
Como resultado, cuando se dibujan líneas desde el centro hasta cada uno de los vértices, una
Se dice que el hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros.
Del diagrama, x = 2 × apotema
Apotema es la distancia desde el centro de un polígono regular hasta el punto medio de un lado.
Usando el teorema de Pitágoras, obtendríamos el apotema
Hipotenusa² = opuesto² + adyacente²
1² = boticam² + (½) ²
Apotema = √ (1² - (½) ²)
= √(1-¼) = √¾
Apotema = ½√3
x = 2 × Apotema = 2 × ½√3
x = √3

Pregunta 19.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Escribe una prueba de párrafo del Teorema del triángulo 45 ° - 45 ° - 90 ° (Teorema 9.4).
Dado ∆DEF es un triángulo de 45 ° & # 8211 45 ° & # 8211 90 °.
Demuestre que la hipotenusa es √2 veces más larga que cada cateto.

Respuesta:

Pregunta 20.
¿CÓMO LO VES?
El diagrama muestra parte de la rueda de Theodorus.

un. ¿Qué triángulos, si los hay, son triángulos de 45 ° & # 8211 45 ° & # 8211 90 °?

B. ¿Qué triángulos, si los hay, son triángulos de 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 °?

Pregunta 21.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Escribe una prueba de párrafo del Teorema del triángulo de 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 ° (Teorema 9.5).
(Sugerencia: construya ∆JML congruente con ∆JKL).
Dado que ∆JKL es un triángulo de 30 ° 60 ° 9o °.
Demuestre que la hipotenusa es dos veces más larga que el cateto más corto y el cateto más largo es √3 veces más largo que el cateto más corto.

Respuesta:

Pregunta 22.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Un triángulo rectángulo especial es un triángulo rectángulo que tiene medidas de ángulos racionales y la longitud de cada lado contiene como máximo una raíz cuadrada. Solo hay tres triángulos rectángulos especiales. El siguiente diagrama se llama rectángulo de Ailles. Rotula los lados y los ángulos en el diagrama. Describe los tres triángulos rectángulos especiales.

Respuesta:

Pregunta 23.
ESCRIBIENDO
Describe dos formas de demostrar que todos los triángulos rectángulos isósceles son similares entre sí.
Respuesta:

Pregunta 24.
ARGUMENTAR
Cada triángulo en el diagrama es un triángulo de 45 ° & # 8211 45 ° & # 8211 90 °. En la Etapa 0, los catetos del triángulo tienen 1 unidad de largo cada uno. Tu hermano afirma que las longitudes de los catetos de los triángulos añadidos se reducen a la mitad en cada etapa. Entonces, la longitud de un cateto de un triángulo agregado en la Etapa 8 será ( frac <1> <256> ) unidad. ¿Tu hermano tiene razón? Explica tu razonamiento.

Respuesta:

Pregunta 25.
USANDO LA ESTRUCTURA
ΔTUV es un triángulo de 30 ° & # 8211 60 ° & # 8211 90 °. donde dos vértices son U (3, & # 8211 1) y V (& # 8211 3, & # 8211 1), ( overline) es la hipotenusa. y el punto T está en el cuadrante I. Encuentre las coordenadas de T.
Respuesta:

Mantener el dominio de las matemáticas

ΔLMN

ΔQRS

Respuesta:

9.3 Triángulos rectángulos similares

Exploración 1

un. Utilice un software de geometría dinámica para construir el ∆ABC correcto, como se muestra. Dibujar ( overline) de modo que sea una altitud desde el ángulo recto hasta la hipotenusa de ∆ABC.

Respuesta:

C. Usa la proporción que escribiste en la parte (b) para encontrar CD.
Respuesta:

D. Generaliza la proporción que escribiste en el inciso b). Luego, escribe una conjetura sobre cómo se relaciona la media geométrica con la altitud desde el ángulo recto hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
CONSTRUYENDO ARGUMENTOS VIABLES
Para dominar las matemáticas, debe comprender y utilizar suposiciones, definiciones y resultados establecidos previamente al construir argumentos.
Respuesta:

Exploración 2

Comparación de medias geométricas y aritméticas

Trabajar con un socio:
Usa una hoja de cálculo para encontrar la media aritmética y la media geométrica de varios pares de números positivos. Compare las dos medias. ¿Que notaste?

Respuesta:

Pregunta 3.
¿Cómo se relacionan las altitudes y las medias geométricas de los triángulos rectángulos?
Respuesta:

Lección 9.3 Triángulos rectángulos similares

Seguimiento del progreso

Identifica los triángulos semejantes.

Pregunta 1.

Pregunta 2.

Respuesta:
△ EFG

Pregunta 3.

Pregunta 4.

Respuesta:
△ JLM

Calcula la media geométrica de los dos números.

Respuesta:
x = √ (12 x 27)
x = √324 = 18

Respuesta:
x = √ (18 x 54) = √ (972)
x = 31,17

Respuesta:
x = √ (16 x 18) = √ (288)
x = 16,970

Pregunta 8.
Encuentra el valor de x en el triángulo de la izquierda.

Pregunta 9.
¿Y SI?
En el Ejemplo 5, la distancia vertical desde el suelo hasta su ojo es de 5,5 pies y la distancia desde usted hasta la pared del gimnasio es de 9 pies. Aproxima la altura de la pared del gimnasio.

Respuesta:
9² = 5,5 x ancho
81 = 5,5 x ancho
w = 14,72
La altura de la pared = 14,72 + 5,5 = 20,22

Ejercicio 9.3 Triángulos rectángulos similares

Verificación de vocabulario y conceptos básicos

Pregunta 1.
COMPLETA LA ORACIÓN
Si la altitud se dibuja en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos formados son similares al triángulo original y ____________.
Respuesta:

Pregunta 2.
ESCRIBIENDO
En sus propias palabras, explique la media geométrica.

Respuesta:
La media geométrica es el valor promedio o media que significa la tendencia central de un conjunto de números al encontrar el producto de sus valores.

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 y 4, identifica los triángulos semejantes.

Pregunta 3.

Respuesta:

Pregunta 4.

En los Ejercicios 5 y # 8211 10, encuentre el valor de x.

Pregunta 5.

Respuesta:

Pregunta 6.

Pregunta 7.

Respuesta:

Pregunta 8.

Pregunta 9.

Respuesta:

Pregunta 10.

En los Ejercicios 11 y # 8211 18, encuentre la media geométrica de los dos números.

Pregunta 11.
8 y 32
Respuesta:

Pregunta 13.
14 y 20
Respuesta:

Pregunta 15.
16 y 25
Respuesta:

Pregunta 17.
17 y 36
Respuesta:

Respuesta:
x = √ (24 x 45)
x = 32,86

En los Ejercicios 19 y # 8211 26. encuentre el valor de la variable.

Pregunta 19.

Respuesta:

Pregunta 20.

Respuesta:
y = √ (5 x 8)
y = √40
y = 2√10

Pregunta 21.

Respuesta:

Pregunta 22.

Respuesta:
10 • 10 = 25 • x
100 = 25 veces
x = 4

Pregunta 23.

Respuesta:

Pregunta 24.

Respuesta:
b² = 16 (16 + 6)
b² = 16 (22) = 352
b = 18,76

Pregunta 25.

Respuesta:

Pregunta 26.

Respuesta:
x² = 8 (8 + 2)
x² = 8 (10) = 80
x = 8,9

ANÁLISIS DE ERRORES
En los Ejercicios 27 y 28, describe y corrige el error al escribir una ecuación para el diagrama dado.

Pregunta 27.

Respuesta:

Pregunta 28.

REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
En los Ejercicios 29 y 30, usa el diagrama.

Pregunta 29.
Quieres determinar la altura de un monumento en un parque local. Utiliza un cuadrado de cartón para alinear la parte superior e inferior del monumento, como se muestra arriba a la izquierda. Tu amigo mide la distancia vertical desde el suelo hasta tu ojo y la distancia horizontal desde ti hasta el monumento. Aproximadamente la altura del monumento.
Respuesta:

Pregunta 30.
Tu compañero de clase está al otro lado del monumento. Tiene un trozo de cuerda clavado en la base del monumento. Extiende la cuerda hasta el cuadrado de cartón que sostiene alineado en la parte superior e inferior del monumento. Utilice la información del diagrama anterior para aproximar la altura del monumento. ¿Obtiene la misma respuesta que en el ejercicio 29? Explica tu razonamiento.

CONEXIONES MATEMÁTICAS
En los Ejercicios 31 y # 8211 34. encuentre el valor o valores de la variable o variables.

Pregunta 31.

Respuesta:

Pregunta 32.

Respuesta:
( frac <6> ) = ( frac <8> <6> )
36 = 8 (segundo + 3)
36 = 8b + 24
8b = 12
b = ( frac <3> <2> )

Pregunta 33.

Respuesta:

Pregunta 34.

Respuesta:
x = 42,66, y = 40, z = 53

Explicación:
( frac <24> <32> ) = ( frac <32> )
0,75 = ( frac <32> )
x = 42,66
y = √24² + 32²
y = √576 + 1024 = 40
z = √42.66² + 32² = √1819.87 + 1024 = 53

Pregunta 35.
RAZONAMIENTO
Usa el diagrama. Decide qué proporciones son verdaderas. Seleccione todas las que correspondan.

(A) ( frac= frac)
(B) ( frac= frac)
(C) ( frac= frac)
(D) ( frac= frac)
Respuesta:

Pregunta 36.
ANALIZAR LAS RELACIONES
Estás diseñando una cometa con forma de diamante. Sabes que AD = 44,8 centímetros, DC = 72 centímetros y AC = 84,8 centímetros. Quieres usar una barra transversal recta ( overline). ¿Aproximadamente cuánto tiempo debería ser? Explica tu razonamiento.

Explicación:
AD = 44,8 cm, DC = 72 cm y AC = 84,8 cm
Dos pares disjuntos de lados consecutivos son congruentes.
Entonces, AD = AB = 44.8 cm
DC = BC = 72 cm
Las diagonales son perpendiculares.
Entonces, AC ⊥ BD
AC = AO + OC
AX = x + y = 84,8 & # 8212 (i)
La perpendicular biseca la diagonal BD en partes iguales, sea z.
BD = BO + OD
BD = z + z
Usando el teorema de pitágoras
44,8² = x² + z² & # 8212- (ii)
72² = y² + z² & # 8212 & # 8211 (iii)
Restar (ii) y (iii)
72² & # 8211 44,8² = y² + z² & # 8211 x² & # 8211 z²
5184 & # 8211 2007.04 = (x + y) (x & # 8211 y)
3176,96 = (84,8) (x & # 8211 y)
37.464 = x & # 8211 y & # 8212- (iv)
Agregar (i) y amp (iv)
x + y + x & # 8211 y = 84,8 + 37,464
2x = 122,264
x = 61,132
x + y = 84,8
61,132 + y = 84,8
y = 23,668
44,8² = x² + z²
z = 38,06
BD = z + z
BD = 76,12

Pregunta 37.
ANALIZAR LAS RELACIONES
Utilice los teoremas de la media geométrica (teoremas 9.7 y 9.8) para encontrar AC y BD.

Respuesta:

Pregunta 38.
¿CÓMO LO VES?
¿En cuál de los siguientes triángulos se aplica el teorema de la media geométrica (altitud) (teorema 9.7)?
(A)

(B)

(C)

(D)

Pregunta 39.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Usa el diagrama de ∆ABC. Copia y completa la demostración del Teorema de Pitágoras (Teorema 9. 1).

Dado en ∆ABC, ∆BCA es un ángulo recto.
Demuestre que c 2 = a 2 + b 2

Declaraciones Razones
1. En ∆ABC, ∠BCA es un ángulo recto. 1. ________________________________
2. Dibuja un segmento perpendicular (altitud) de C a ( overline). 2. Postulado de la perpendicular (Postulado 3.2)
3. ce = a 2 y cf = b 2 3. ________________________________
4. ce + b 2 = ___ + b 2 4. Propiedad de suma de la igualdad
5. ce + cf = a 2 + b 2 5. ________________________________
6. c (e + f) a 2 + b 2 6. ________________________________
7. e + f = ________ 7. Postulado de la suma de segmentos (Postulado 1.2)
8. c • c = a 2 + b 2 8. ________________________________
9. c 2 = a 2 + b 2 9. Simplifique.

Respuesta:

Pregunta 40.
ARGUMENTAR
Tu amigo afirma que la media geométrica de 4 y 9 es 6. y luego etiqueta el triángulo, como se muestra. ¿Tu amigo tiene razón? Explica tu razonamiento.

Respuesta:
G.M = √ (4 x 9) = √36 = 6
Mi amigo tiene razón.

En los Ejercicios 41 y 42, use los enunciados dados para demostrar el teorema.

Gien ∆ABC es un triángulo rectángulo.
Altitud ( overline) es arrastrado a hipotenusa ( overline
).

Pregunta 41.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Demuestre el teorema de la media geométrica (altitud) (teorema 9.7) b mostrando que CD 2 = AD • BD.
Respuesta:

Pregunta 42.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Demuestre el teorema de la media geométrica (pierna) (teorema 9.8) b mostrando que CB 2 = DB • AB y AC 2 = AD • AB.

Pregunta 43.
PENSAMIENTO CRÍTICO
Dibuja un triángulo isósceles recto y rotula las dos longitudes de cateto x. Luego dibuja la altitud a la hipotenusa y rotula su longitud y. Ahora, usa el Teorema de semejanza de triángulo rectángulo (Teorema 9.6) para dibujar los tres triángulos similares de la imagen y rotular una longitud de lado que sea igual a xo y. ¿Qué puedes concluir sobre la relación entre los dos triángulos más pequeños? Explica tu razonamiento.
Respuesta:

Pregunta 44.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Se muestran la media aritmética y la media geométrica de dos números no negativos xey.
media aritmética = ( frac<2>)
media geométrica = ( sqrt)
Escribe una desigualdad que relacione estos dos medios. Justifica tu respuesta.

Pregunta 45.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Demuestre el Teorema de similitud de un triángulo rectángulo (Teorema 9.6) demostrando tres enunciados de similitud.
Dado que ∆ABC es un triángulo rectángulo.
Altitud ( overline) se dibuja en hvpotenuse ( overline
).
Demuestre ∆CBD

∆ACD
Respuesta:


Mantener la competencia matemática

Pregunta 47.
29 = ( frac<4>)
Respuesta:

Pregunta 49.
30 = ( frac <115>)
Respuesta:

9.1 a 9.3 Prueba

Encuentra el valor de x. Indica si las longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Pregunta 1.

Respuesta:
x = 15

Explicación:
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
x = 15

Pregunta 2.

Explicación:
x² = 7² + 8² = 49 + 64
x = √113
x = 10,63

Pregunta 3.

Respuesta:
x = 4√3

Explicación:
8² = x² + 4²
64 = x² + 16
x² = 48
x = 4√3

Verifica que las longitudes de los segmentos formen un triángulo. ¿El triángulo es agudo, recto u obtuso?
(Sección 9.1)
Pregunta 4.
24, 32 y 40

Respuesta:
El triángulo es un triángulo rectángulo.

Explicación:
40² = 1600
24² + 32² = 576 + 1024 = 1600
40² = 24² + 32²
Entonces, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Respuesta:
El triángulo es un trinagle obtuso.

Explicación:
13² = 169
7² + 9² = 49 + 81 = 130
13² & gt 7² + 9²
Entonces, el triángulo es un trinagle obtuso.

Respuesta:
Triangle es un trinagle agudo.

Explicación:
15² = 225
12² + (10√3)² = 144 + 300 = 444
15² & lt 12² + (10√3) ²
Entonces, el triángulo es un trinagle agudo.

Encuentra los valores de x e y. Escribe tus respuestas en la forma más simple.

Pregunta 7.

Explicación:
x = 6
hipotenusa = pierna • √2
y = 6√2

Pregunta 8.

Explicación:
pierna más larga = pierna más corta • √3
y = 8√3
x² = 8² + (8√3) ² = 64 + 192
x = 16

Pregunta 9.

Explicación:
pierna más larga = pierna más corta • √3
y = x√3
y = 5√6
hipotenusa = pierna más corta • 2
10√2 = 2x
x = 5√2

Calcula la media geométrica de los dos números.
Pregunta 10.
6 y 12

Identifica los triángulos rectángulos similares. Luego encuentra el valor de la variable.

Pregunta 13.

Pregunta 14.

Pregunta 15.

Pregunta 16.
Los tamaños de los televisores se miden por la longitud de su diagonal. Quiere comprar un televisor de al menos 40 pulgadas. ¿Debería comprar la televisión que se muestra? Explica tu razonamiento.

Respuesta:
x² = 20.25² + 36²
x² = 410.0625 + 1296 = 1706.0625
x = 41,30
Sí, compraré la televisión.

Pregunta 17.
Cada triángulo que se muestra a continuación es un triángulo rectángulo.

un. ¿Alguno de los triángulos son triángulos rectángulos especiales? Explica tu razonamiento.
Respuesta:
A es un triángulo similar.

B. Enumere todos los triángulos similares. Si alguna.
Respuesta:
B, C y D, E son triángulos similares.

C. Encuentra las longitudes de las altitudes de los triángulos B y C.
Respuesta:
B altitud = √ (9 + 27) = 6
C altitud = √ (36 + 72) = 6√3

9.4 La relación de tangente

Exploración 1

Calcular una relación de tangente

un. Construya ∆ABC, como se muestra. Construye segmentos perpendiculares a ( overline) para formar triángulos rectángulos que comparten el vértice A y un arco similar a ∆ABC con vértices, como se muestra.

Respuesta:

B. Calcula cada razón dada para completar la tabla para el valor decimal de tan A para cada triángulo rectángulo. ¿Qué puedes concluir?

Respuesta:

Exploración 2

Trabaja con un compañero: usa una calculadora que tenga una clave de tangente para calcular la tangente de 36.87 °. ¿Obtienes el mismo resultado que en la Exploración 1? Explicar.
ATENCIÓN A LA PRECISIÓN
Para dominar las matemáticas, debe expresar respuestas numéricas con un grado de precisión apropiado para el contexto del problema.
Respuesta:

Pregunta 3.
Repite la Exploración 1 para ∆ABC con vértices A (0, 0), B (8, 5) y C (8, 0). Construya los siete segmentos perpendiculares de modo que no todos se crucen ( overline
) en valores enteros de x. Analice sus resultados.
Respuesta:

Pregunta 4.
¿Cómo se usa un triángulo rectángulo para encontrar la tangente de un ángulo agudo? ¿Hay un triángulo rectángulo único que deba usarse?
Respuesta:

Lección 9.4 La razón de la tangente

Seguimiento del progreso

Encuentra tan J y tan K. Escribe cada respuesta como una fracción y como un decimal redondeado a cuatro lugares.

Pregunta 1.

Pregunta 2.

Encuentra el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Pregunta 3.

Respuesta:
Bronceado 61 = ( frac <22> )
1.804 = ( frac <22> )
x = 12,1951

Pregunta 4.

Respuesta:
bronceado 56 = ( frac <13> )
1,482 = ( frac <13> )
x = 19,266

Pregunta 5.
¿Y SI?
En el Ejemplo 3, la longitud del cateto más corto es 5 en lugar de 1. Muestre que la tangente de 60 ° sigue siendo igual a √3.

Respuesta:
pierna más larga = pierna más corta • √3
= 5√3
bronceado 60 = ( frac <5√3> <5> )
= √3

Pregunta 6.
Estás midiendo la altura de una farola. Te paras a 40 pulgadas de la base del poste de luz. Mide el ángulo de elevación desde el suelo hasta la parte superior de la farola para que sea de 70 °. Calcula la altura h del poste de luz a la pulgada más cercana.

Respuesta:
tan 70 = ( frac <40> )
2.7474 = ( frac <40> )
h = 109,896 pulgadas

Ejercicio 9.4 La razón de la tangente

Verificación de vocabulario y conceptos básicos

Pregunta 1.
COMPLETA LA ORACIÓN
La razón de la tangente compara la longitud de _________ con la longitud de ___________.
Respuesta:

Pregunta 2.
ESCRIBIENDO
Explica cómo sabes que la razón de la tangente es constante para una medida de ángulo dada.

Respuesta:
Cuando dos triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales, lo que hace que la relación sea constante para una determinada medida de ángulo agudo.

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 y # 8211 6, encuentre las tangentes de los ángulos agudos en el triángulo rectángulo. Escribe cada respuesta como una fracción y como un decimal redondeado a cuatro lugares decimales.

Pregunta 3.

Respuesta:

Pregunta 4.

Pregunta 5.

Respuesta:

Pregunta 6.

En los Ejercicios 7 y # 8211 10, encuentre el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Pregunta 7.

Respuesta:

Pregunta 8.

Respuesta:
bronceado 27 = ( frac <15> )
0.509 = ( frac <15> )
x = 7,635

Pregunta 9.

Respuesta:

Pregunta 10.

Respuesta:
bronceado 37 = ( frac <6> )
0,753 = ( frac <6> )
x = 7,968

ANÁLISIS DE ERRORES
En los Ejercicios 11 y 12, describe el error en el enunciado de la razón de la tangente. Corrija el error si es posible. De lo contrario, no es posible escribir.

Pregunta 11.

Respuesta:

Pregunta 12.

En los Ejercicios 13 y 14, usa un triángulo rectángulo especial para hallar la tangente de la medida del ángulo dada.

Pregunta 13.
45°
Respuesta:

Pregunta 15.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Un topógrafo está de pie a 118 pies de la base del Monumento a Washington. El topógrafo mide que el ángulo de elevación desde el suelo hasta la parte superior del monumento es de 78 °. Calcula la altura h del Monumento a Washington al pie más cercano.

Respuesta:

Pregunta 16.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Los científicos pueden medir la profundidad de los cráteres en la luna h mirando fotografías de sombras. La longitud de la sombra proyectada por el borde de un cráter es de 500 metros. El ángulo de elevación de los rayos del sol es de 55 °. Estima la profundidad d del cráter.

Respuesta:
tan 55 = ( frac <500> )
1,428 = ( frac <500> )
d = 714 metros
La profundidad del cráter es de 714 m.

Pregunta 17.
USANDO LA ESTRUCTURA
Encuentra la tangente del ángulo agudo más pequeño en un triángulo rectángulo con lados de 5, 12 y 13 de longitud.
Respuesta:

Pregunta 18.
USANDO LA ESTRUCTURA
Encuentre la tangente del ángulo agudo más grande en un triángulo rectángulo con longitudes de lado 3, 4 y 5.

Pregunta 19.
RAZONAMIENTO
¿Cómo cambia la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a medida que aumenta la medida del ángulo? Justifica tu respuesta.
Respuesta:

Pregunta 20.
PENSAMIENTO CRÍTICO
¿Para qué medidas de ángulo es la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo igual a 1? mayor que 1? ¿menos que 1? Justifica tu respuesta.

Respuesta:
Para que la tangente de un ángulo sea igual a 1, los lados opuesto y adyacente de un triángulo rectángulo deben ser iguales. Esto significa que el triángulo rectángulo es un triángulo rectángulo isósceles por lo que los ángulos son 45 & # 8211 45 & # 8211 90. El ángulo agudo debe ser 1. Para que la tangente sea mayor que 1, el lado opuesto debe ser mayor que el lado adyacente. Esto significa que el ángulo debe estar entre 45 y 90 grados. Si la tangente es menor que 1, esto significa que el lado opuesto debe ser más pequeño que el lado adyacente. El ángulo agudo debe estar entre 0 y 45.

Pregunta 21.
ARGUMENTAR
Su habitación familiar tiene una puerta corrediza de vidrio. Desea comprar un toldo para la puerta que sea lo suficientemente largo para mantener el sol afuera cuando esté en su punto más alto en el cielo. El ángulo de elevación de los rayos del sol en estos puntos es de 70 ° y la altura de la puerta es de 8 pies. Su hermana afirma que puede determinar qué tan lejos debe extenderse el voladizo multiplicando 8 por tan 70 °. ¿Tu hermana tiene razón? Explicar.

Respuesta:

Pregunta 22.
¿CÓMO LO VES?
Escribe expresiones para la tangente de cada ángulo agudo en el triángulo rectángulo. Explica cómo se relaciona la tangente de un ángulo agudo con la tangente del otro ángulo agudo. ¿Qué tipo de par de ángulos es ∠A y ∠B?

Pregunta 23.
RAZONAMIENTO
Explica por qué no es posible encontrar la tangente de un ángulo recto o de un ángulo obtuso.
Respuesta:

Pregunta 24.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Para crear el diagrama a continuación. comienzas con un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 unidad de largo. Entonces, la hipotenusa del primer triángulo se convierte en el cateto de un segundo triángulo, cuyo cateto restante mide 1 unidad de largo. Continúe con el diagrama hasta que haya construido un ángulo cuya tangente sea ( frac <1> < sqrt <6>> ). Aproxima la medida de este ángulo.

Pregunta 25.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Su clase se tomará una foto de la clase en el césped. El fotógrafo se coloca a 14 pies del centro de la clase. El fotógrafo gira 50 ° para mirar a ambos extremos de la clase.

un. ¿Cuál es la distancia entre los extremos de la clase?
B. El fotógrafo gira otros 10 ° en cualquier dirección para ver el final del rango de la cámara. Si cada estudiante necesita 2 pies de espacio. aproximadamente, ¿cuántos estudiantes más caben al final de cada fila? Explicar.
Respuesta:

Pregunta 26.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Calcula el perímetro de la figura. donde AC = 26, AD = BF y D es el punto medio de ( overline
).

Mantener la competencia matemática

Pregunta 27.

Respuesta:

Pregunta 28.

Respuesta:
lado más largo = lado más corto • √3
7 = x√3
x = ( frac <7> <√3> )
x = 4.04

Pregunta 29.

Respuesta:

9.5 Las razones de seno y coseno

Exploración 1

Trabaje con un socio: utilice software de geometría dinámica.

un. Construya ∆ABC, como se muestra. Construye segmentos perpendiculares a ( overline) para formar triángulos rectángulos que comparten el vértice A y son similares a ∆ABC con vértices, como se muestra.

Respuesta:

B. Calcula cada razón dada para completar la tabla con los valores decimales de sin A y cos A para cada triángulo rectángulo. ¿Qué puedes concluir?

Respuesta:

Pregunta 2.
¿Cómo se usa un triángulo rectángulo para encontrar el seno y el coseno de un ángulo agudo? ¿Hay un triángulo rectángulo único que deba usarse?
Respuesta:

Pregunta 3.
En la Exploración 1, ¿cuál es la relación entre "A y" B en términos de sus medidas "? Encuentre sen B y cos B. ¿Cómo se relacionan estos dos valores con sen A y cos A? Explique por qué existen estas relaciones.
BUSCANDO ESTRUCTURA
Para dominar las matemáticas, debe observar de cerca para discernir un patrón o estructura.
Respuesta:

Lección 9.5 Las razones de seno y coseno

Seguimiento del progreso

Pregunta 1.
Encuentra sen D, sen F, cos D y cos F. Escribe cada respuesta como una fracción y como un decimal redondeado a cuatro lugares.

Respuesta:
pecado D = ( frac <7> <25> )
sin F = ( frac <24> <25> )
cos D = ( frac <24> <25> )
cos F = ( frac <7> <25> )

Pregunta 2.
Escribe cos 23 ° en términos de seno.

Respuesta:
cos X = sin (90 & # 8211 X)
cos 23 ° = sin (90 & # 8211 23)
= pecado (67)
Entonces, cos 23 ° = sin 67 °

Pregunta 3.
Encuentra los valores de uyt usando seno y coseno. Redondea tus respuestas a la décima más cercana.

Respuesta:
t = 7,2, u = 3,3

Explicación:
sin 65 = ( frac <8> )
0.906 = ( frac <8> )
t = 7,2
cos 65 = ( frac <8> )
0,422 x 8 = u
u = 3,3

Pregunta 4.
Halla el seno y el coseno de un ángulo de 60 °.

Respuesta:

pecado 60 ° = ( frac <√3> <2> )
cos 60 ° = ( frac <1> <2> )

Pregunta 5.
¿Y SI?
En el ejemplo 6, el ángulo de depresión es de 28 °. Calcula la distancia x esquiando por la montaña al pie más cercano.

Ejercicio 9.5 Las razones de seno y coseno

Verificación de vocabulario y conceptos básicos

Pregunta 1.
VOCABULARIO
La relación senoidal compara la longitud de ______________ con la longitud de _____________
Respuesta:

Pregunta 2.
¿CUÁL NO PERTENECE?
¿Qué razón no pertenece a las otras tres? Explica tu razonamiento.

pecado B

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 y # 8211 8, encuentre sen D, sen E, cos D y cos E. Escriba cada respuesta como una fracción y como un decimal redondeado a cuatro lugares.

Pregunta 3.

Respuesta:

Pregunta 4.

Pregunta 5.

Respuesta:

Pregunta 6.

Pregunta 7.

Respuesta:

Pregunta 8.

Respuesta:
pecado D = ( frac <8> <17> )
pecado E = ( frac <15> <17> )
cos D = ( frac <15> <17> )
cos E = ( frac <8> <17> )

En los Ejercicios 9 y # 8211 12. escribe la expresión en términos de coseno.

Pregunta 9.
pecado 37 °
Respuesta:

Respuesta:
sin 81 ° = cos (90 ° & # 8211 81 °) = cos9 °

Pregunta 11.
pecado 29 °
Respuesta:

Respuesta:
sin 64 ° = cos (90 ° & # 8211 64 °) = cos 26 °

En el ejercicio 13 & # 8211 16, escriba la expresión en términos de seno.

Pregunta 13.
cos 59 °
Respuesta:

Respuesta:
cos 42 ° = sin (90 ° & # 8211 42 °) = sin 48 °

Pregunta 15.
cos 73 °
Respuesta:

Respuesta:
cos 18 ° = sin (90 ° & # 8211 18 °) = sin 72 °

En los Ejercicios 17 y # 8211 22, encuentre el valor de cada variable usando el seno y el coseno. Redondea tus respuestas a la décima más cercana.

Pregunta 17.

Respuesta:

Pregunta 18.

Explicación:
pecado 64 ° = ( frac

<34> )
p = 0,898 x 34
p = 30,5
cos 64 ° = ( frac <34> )
q = 0,4383 x 34
q = 14,8

Pregunta 19.

Respuesta:

Pregunta 20.

Explicación:
pecado 43 ° = ( frac <26> )
s = 0,681 x 26
s = 17,7
cos 43 ° = ( frac <26> )
r = 0,731 x 26
r = 19

Pregunta 21.

Respuesta:

Pregunta 22.

Explicación:
pecado 50 ° = ( frac <8> )
0,766 = ( frac <8> )
n = 10,44
cos 50 ° = ( frac )
0,642 = ( frac <10,44> )
m = 6,7

Pregunta 23.
RAZONAMIENTO
¿Qué proporciones son iguales? Seleccione todas las que correspondan.

pecado X

porque Z
Respuesta:

Pregunta 24.
RAZONAMIENTO
¿Qué razones son iguales a ( frac <1> <2> ) Seleccionar todo

pecado L

Pregunta 25.
ANÁLISIS DE ERRORES
Describe y corrige el error al encontrar el pecado A.

Respuesta:

Pregunta 26.
ESCRIBIENDO
Explica cómo saber qué lado de un triángulo rectángulo es adyacente a un ángulo y qué lado es la hipotenusa.
Respuesta:

Pregunta 27.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
La parte superior del tobogán está a 12 pies del suelo y tiene un ángulo de depresión de 53 °. ¿Cuál es la longitud de la diapositiva?

Respuesta:

Pregunta 28.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Calcula la distancia horizontal x las cubiertas de la escalera mecánica.

Respuesta:
cos 41 = ( frac <26> )
0,754 = ( frac <26> )
x = 19,6 pies

Pregunta 29.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Estás volando una cometa con 20 pies de cuerda extendida. El ángulo de elevación desde el carrete de cuerda hasta la cometa es de 67 °.
un. Dibuja y rotula un diagrama que represente la situación.
B. ¿A qué distancia del suelo está la cometa si sostienes el carrete a 5 pies del suelo? Describe cómo la altura donde sostienes el carrete afecta la altura de la cometa.
Respuesta:

Pregunta 30.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Los aviones que vuelan a altas velocidades y bajas elevaciones tienen patrones de radar que pueden determinar el alcance de un obstáculo y el ángulo de elevación hasta la parte superior del obstáculo. El radar de un avión que vuela a una altitud de 20.000 pies detecta una torre que se encuentra a 25.000 pies de distancia. con un ángulo de elevación de 1 °

un. ¿Cuántos pies debe elevarse el avión para pasar sobre la torre?

Respuesta:
pecado 1 = ( frac <25000> )
0.017 = ( frac <25000> )
h = 425 pies
425 pies el avión se eleva para pasar sobre la torre

B. PIanes Caillot se acercan verticalmente a más de 1000 pies de cualquier objeto. ¿A qué altura debe volar el avión para pasar por encima de la torre?

Pregunta 31.
ARGUMENTAR
Tu amigo usa la ecuación sin 49 ° = ( frac<16> ) para encontrar BC. Tu primo usa la ecuación cos 41 ° = ( frac<16> ) para encontrar BC. ¿Quién tiene razón? Explica tu razonamiento.

Respuesta:

Pregunta 32.
ESCRIBIENDO
Describe lo que debes saber sobre un triángulo para usar la razón de seno y lo que debes saber sobre un triángulo para usar la razón de coseno.

Pregunta 33.
CONEXIONES MATEMÁTICAS
Si ∆EQU es equilátero y ∆RGT es un triángulo rectángulo con RG = 2, RT = 1. ym ∠ T = 90 °, demuestre que sen E = cos G.
Respuesta:

Pregunta 34.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Los submarinos utilizan sistemas de sonar, que son similares a los sistemas de radar, para detectar obstáculos, los sistemas de sonar utilizan el sonido para detectar objetos bajo el agua.

un. Viajas bajo el agua en un submarino. El sistema de sonar detecta un iceberg a 4000 metros por cabeza, con un ángulo de depresión de 34 ° hasta el fondo del iceberg. ¿Cuántos metros debe bajar el submarino para pasar por debajo del iceberg?

Respuesta:
bronceado 34 = ( frac <4000> )
.674 = ( frac <4000> )
x = 2696

B. El sistema de sonar detecta un barco hundido 1500 metros más adelante. con un ángulo de elevación de 19 ° a la parte más alta del barco hundido. ¿Cuántos metros debe elevarse el submarino para pasar sobre el barco hundido?

Respuesta:
bronceado 19 = ( frac <1500> )
0.344 = ( frac <1500> )
x = 516 metros

Pregunta 35.
RAZONAMIENTO ABSTRACTO
Haz una conjetura sobre cómo podrías usar razones trigonométricas para encontrar las medidas de los ángulos en un triángulo.
Respuesta:

Pregunta 36.
¿CÓMO LO VES?
Usando solo la información dada, ¿usarías una razón de seno o una razón de coseno para encontrar la longitud de la hipotenusa? Explica tu razonamiento.

Respuesta:
pecado 29 = ( frac <9> )
0.48 = ( frac <9> )
x = 18,75
La longitud de la hipotenusa es 18,75

Pregunta 37.
REPRESENTACIONES MÚLTIPLES
Estás parado en un acantilado sobre un océano. Ves un velero desde tu punto de vista a 30 pies sobre el océano.

un. Dibuja y rotula un diagrama de la situación.
B. Haga una tabla que muestre el ángulo de depresión y la longitud de su línea de visión. Utilice los ángulos de 40 °, 50 °, 60 °, 70 ° y 80 °.
C. Grafique los valores que encontró en el inciso b), con las medidas de los ángulos en el eje x.
D. Predice la longitud de la línea de visión cuando el ángulo de depresión es de 30 °.
Respuesta:


Pregunta 38.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Una de las siguientes series infinitas representa sen x y la otra representa cos x (donde x se mide en radianes). ¿Cual es cual? Justifica tu respuesta. Luego usa cada serie para aproximar el seno y el coseno de ( frac < pi> <6> ).
(Sugerencias: π = 180 ° 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 Encuentre los valores a los que se acercan las razones de seno y coseno cuando la medida del ángulo se acerca a cero).
un.

B.

Pregunta 39.
PENSAMIENTO CRÍTICO
Sea A cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Muestra esa
(a) tan A = ( frac < sin A> < cos A> ) y
(b) (sen A) 2 + (cos A) 2 = 1.
Respuesta:

Pregunta 40.
PENSAMIENTO CRÍTICO
Explica por qué el área ∆ ABC en el diagrama se puede encontrar usando la fórmula Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C. Luego, calcula el área cuando a = 4, b = 7 y m∠C = 40 °:

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C
= ( frac <1> <2> ) (4 x 7) sin 40 °
= 14 x 0,642
= 8.988

Mantener el dominio de las matemáticas

Encuentra el valor de x. Indica si las longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Pregunta 41.

Respuesta:

Pregunta 42.

Respuesta:
x = 12√2

Explicación:
c² = a² + b²
x² = 12² + 12²
x² = 144 + 144
x² = 288
x = 12√2

Pregunta 43.

Respuesta:

Pregunta 44.

Explicación:
c² = a² + b²
9² = x² + 3²
81 = x² + 9
x² = 81 & # 8211 9
x = 6√2

9.6 Resolver triángulos rectángulos

Exploración 1

Resolver triángulos rectángulos especiales

Trabajar con un socio. Usa las figuras para encontrar los valores del seno y el coseno de ∠A y ∠B. Utilice estos valores para encontrar las medidas de ∠A y ∠B. Utilice un software de geometría dinámica para verificar sus respuestas.
un.

Respuesta:

B.

Respuesta:

Exploración 2

Trabaja con un compañero: puedes usar una calculadora para encontrar la medida de un ángulo cuando conoces el valor del seno, coseno o tangente de la regla. Usa la característica de seno inverso, coseno inverso o tangente inversa de tu calculadora para aproximar las medidas de ∠A y ∠B a la décima de grado más cercana. Luego, use el software de geometría dinámica para verificar sus respuestas.
ATENCIÓN A LA PRECISIÓN
Para dominar las matemáticas, debe calcular con precisión y eficiencia, expresando respuestas numéricas con un grado de precisión apropiado para el contexto del problema.
un.

Respuesta:

B.

Respuesta:

Pregunta 3.
Cuando conoces las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, ¿cómo puedes encontrar las medidas de los dos ángulos agudos?
Respuesta:

Pregunta 4.
Una escalera apoyada contra un edificio forma un triángulo rectángulo con el edificio y el suelo. Los catetos del triángulo rectángulo (en metros) forman un triple pitagórico 5-12-13. Calcula las medidas de los dos ángulos agudos a la décima de grado más cercana.
Respuesta:

Lección 9.6 Resolver triángulos rectángulos

Determina cuál de los dos ángulos agudos tiene la razón trigonométrica dada.

Pregunta 1.
El seno del ángulo es ( frac <12> <13> ).

Pregunta 2.
La tangente del ángulo es ( frac <5> <12> )

Sean ∠G, ∠H y ∠K ángulos agudos. Usa una calculadora para aproximar las medidas de ∠G, ∠H y ∠K a la décima de grado más cercana.

Respuesta:
∠G = tan inverso de 0.43 = 23.3 °

Respuesta:
∠H = pecado inverso de 0,68 = 42,8 °

Respuesta:
∠K = cos inverso de 0,94 = 19,9 °

Resuelve el triángulo rectángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 6.

Respuesta:
DE = 29, ∠D = 46.05 °, ∠E = 42.84 °

Explicación:
c² = a² + b²
x² = 20² + 21²
x² = 400 + 441
x² = 841
x = 29
pecado D = ( frac <21> <29> )
∠D = 46.05
pecado E = ( frac <20> <29> )
∠E = 42,84

Pregunta 7.

Respuesta:
GJ = 60, ∠G = 56.09 °, ∠H = 33.3 °

Explicación:
c² = a² + b²
109² = 91² + x²
x² = 11881 & # 8211 8281
x² = 3600
x = 60
sin G = ( frac <91> <109> )
∠G = 56,09
pecado H = ( frac <60> <109> )
∠H = 33,3

Pregunta 8.
Resuelve el triángulo rectángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Respuesta:
XY = 13,82, YZ = 6,69, ∠Y = 37,5

Explicación:
cos 52 = ( frac <8.5> )
0.615 = ( frac <8.5> )
XY = 13,82
sin 52 = ( frac )
0,788 = ( frac <8,5> )
YZ = 6,69
sin Y = ( frac <8.5> <13.82> )
∠Y = 37,5

Pregunta 9.
¿Y SI?
En el ejemplo 5, suponga que otro escenario con rastrillo tiene 20 pies de largo de adelante hacia atrás con una elevación total de 2 pies. ¿Está el escenario con rastrillo dentro de su rango deseado?

Respuesta:
x = seno inverso de ( frac <2> <20> )
x = 5,7 °

Ejercicio 9.6 Resolver triángulos rectángulos

Pregunta 1.
COMPLETA LA ORACIÓN
Resolver un triángulo rectángulo significa hallar las medidas de todos sus ________ y ​​_______.
Respuesta:

Pregunta 2.
ESCRIBIENDO
Explica cuándo puedes usar una razón trigonométrica para encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo y cuándo puedes usar el Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1).
Respuesta:

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 y # 8211 6. determine cuál de los dos ángulos agudos tiene la razón trigonométrica dada.

Pregunta 3.
El coseno del ángulo es ( frac <4> <5> )

Respuesta:

Pregunta 4.
El seno del ángulo es ( frac <5> <11> )

Respuesta:
Sin (ángulo) = ( frac )
sin A = ( frac <5> <11> )
El ángulo agudo que tiene un seno del ángulo es ( frac <5> <11> ) es ∠A.

Pregunta 5.
El seno del ángulo es 0,95.

Respuesta:

Pregunta 6.
La tangente del ángulo es 1,5.

Respuesta:
tan (ángulo) = ( frac )
1.5 = ( frac <18> <12> )
bronceado C = 1,5
El ángulo agudo que tiene una tangente del ángulo es 1.5 ∠C.

En los Ejercicios 7 y # 8211 12, sea ∠D un ángulo agudo. Usa una calculadora para aproximar la medida de ∠D a la décima de grado más cercana.

Pregunta 7.
sin D = 0,75
Respuesta:

Respuesta:
sin D = 0,19
∠D = seno inverso de 0,19
∠D = 10,9 °

Pregunta 9.
cos D = 0,33
Respuesta:

Respuesta:
cos D = 0,64
∠D = cos inverso de 0,64
∠D = 50,2 °

Pregunta 11.
tan D = 0,28
Respuesta:

Respuesta:
tan D = 0,72
∠D = tan inverso de 0,72
∠D = 35,8 °

En los Ejercicios 13 y # 8211 18. resuelve el triángulo rectángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 13.

Respuesta:

Pregunta 14.

Respuesta:
ED = 2√65, ∠E = 59,3, ∠D = 29,7

Explicación:
c² = 8² + 14²
x² = 64 + 196
x² = 260
x = 2√65
sin E = ( frac <14> <2√65> )
∠E = 59,3
sin D = ( frac <8> <2√65> )
∠D = 29,7

Pregunta 15.

Respuesta:

Pregunta 16.

Respuesta:
HJ = 2√15, ∠G = 28,9, ∠J = 61

Explicación:
c² = a² + b²
16² = 14² + x²
x² = 256 & # 8211 196
x² = 60
x = 2√15
sin G = ( frac <2√15> <16> )
∠G = 28,9
pecado J = ( frac <14> <16> )
∠J = 61

Pregunta 17.

Respuesta:

Pregunta 18.

Respuesta:
RT = 17,8, RS = 9,68, ∠T = 32,8

Explicación:
sin 57 = ( frac <15> )
0,838 = ( frac <15> )
x = 17,899
RT = 17,8
cos 57 = ( frac <17,8> )
0.544 = ( frac <17.8> )
x = 9,68
RS = 9,68
sin T = ( frac <9.68> <17.8> )
∠T = 32,8

Pregunta 19.
ANÁLISIS DE ERRORES
Describe y corrige el error al usar una razón trigonométrica inversa.

Respuesta:

Pregunta 20.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para descargar la arcilla fácilmente. el cuerpo de un camión volquete debe elevarse por lo menos a 45 ° El cuerpo de un camión volquete de 14 pies de largo se ha elevado 8 pies. ¿La arcilla se derramará fácilmente? Explica tu razonamiento.

Respuesta:
Ángulo de elevación: sin x = ( frac <8> <14> )
x = seno inverso de ( frac <8> <14> ) = 34,9
La arcilla no se derramará fácilmente.

Pregunta 21.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Estás parado en un puente peatonal que está a 12 pies sobre un lago. Miras hacia abajo y ves un pato en el agua. El pato está a dos metros de la pasarela. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde el pato hasta ti?

Respuesta:

Pregunta 22.
¿CÓMO LO VES?
Escribe tres expresiones que se puedan usar para aproximar la medida de ∠A. ¿Qué expresión elegirías? Explica tu elección.

Respuesta:
Tres expresiones son ∠A = tan inverso de ( ( frac <15> <22> )) = 34.2 °
∠A = seno inverso de ( ( frac <15> ))
∠A = cos inverso de ( ( frac <22> ))

Pregunta 23.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Los Estándares Federales Uniformes de Accesibilidad especifican que una rampa para sillas de ruedas no puede tener una inclinación superior a 4.76. Quieres construir una rampa con una elevación vertical de 8 pulgadas. desea minimizar la distancia horizontal ocupada por la rampa. Dibuja un diagrama que muestre las dimensiones aproximadas de tu rampa.
Respuesta:

Pregunta 24.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
La parte horizontal de un escalón se llama huella. La parte vertical se llama contrahuella. La relación recomendada entre la banda de rodadura y la banda de rodadura # 8211 y # 8211 es de 7 pulgadas: 11 pulgadas.

un. Encuentre el valor de x para las escaleras construidas con la relación de contrahuella y peldaño recomendada.

B. desea construir escaleras que sean menos empinadas que las escaleras del inciso a). Dé un ejemplo de una relación de banda de rodadura & # 8211 a & # 8211 que podría utilizar. Calcula el valor de x para tus escaleras.
Respuesta:

Pregunta 25.
UTILIZAR HERRAMIENTAS
Encuentra la medida de ∠R sin usar un transportador. Justifica tu técnica.

Respuesta:

Pregunta 26.
ARGUMENTAR
Tu amigo afirma que tan -1 x = ( frac <1> < tan x> ). ¿Tu amigo tiene razón? Explica tu razonamiento.

Respuesta:
No
Por ejemplo
bronceado -1 (√3) = 60
( frac <1> < tan √3> ) = 33.1

USANDO LA ESTRUCTURA
En los Ejercicios 27 y 28, resuelve cada triángulo.

Pregunta 27.
∆JKM y ∆LKM

Respuesta:

Pregunta 28.
∆TUS y ∆VTW

Respuesta:
TS = 8.2, UT = 7.3, ∠T = 28.6
TV = 13.2, TW = 9.6, ∠V = 46, ∠T = 42.84

Explicación:
tan 64 = ( frac <4> )
TS = 2,05 x 4
TS = 8.2
sin 64 = ( frac <8.2> )
0.898 = ( frac <8.2> )
UT = 7.3
sin T = ( frac <4> <8.2> )
∠T = 28,6
TV = TS + SV
TV = 8,2 + 5 = 13,2
13,2² = TW² + 9²
TW² = 174,24 y # 8211 81
TW = 9,6
sin V = ( frac <9.6> <13.2> )
∠V = 46
sin T = ( frac <9> <13.2> )
∠T = 42,84

Pregunta 29.
CONEXIONES MATEMÁTICAS
Escribe una expresión que pueda usarse para encontrar la medida del ángulo agudo formado por cada línea y el eje x. Luego, aproxima la medida del ángulo a la décima de grado más cercana.
un. y = 3x
B. y = ( frac <4> <3> ) x + 4
Respuesta:

Pregunta 30.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Simplifica cada expresión. Justifica tu respuesta.
un. sin -1 (sin x)

Pregunta 31.
RAZONAMIENTO
Explica por qué la expresión sin -1 (1.2) no tiene sentido.
Respuesta:

Pregunta 32.
USANDO LA ESTRUCTURA
El perímetro del rectángulo ABCD es de 16 centímetros. y la razón de su ancho a su largo es 1: 3. El segmento BD divide el rectángulo en dos triángulos congruentes. Calcula las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de estos dos triángulos.

Respuesta:
El perímetro del rectángulo ABCD es de 16 centímetros
2 (l + b) = 16
l + b = 8
b: l = 1: 3
4x = 8
x = 2
l = 6, b = 2
BD = √ (6² + 2²) = √40 = 2√10
sin B = ( frac ) = ( frac <2> <2√10> )
∠ABD = 18,4
∠CBD = 71,6
sin D = ( frac ) = ( frac <6> <2√10> )
∠ADB = 71
∠CDB = 19

Mantener el dominio de las matemáticas

Pregunta 33.
( frac <12>= frac <3> <2> )
Respuesta:

Pregunta 35.
( frac<2.1> = frac <4.1> <3.5> )
Respuesta:

9.7 Ley de los senos y ley de los cosenos

Exploración 1

Descubriendo la ley de los senos

un. Copia y completa la tabla del triángulo que se muestra. ¿Qué puedes concluir?


Respuesta:

B. Utilice un software de geometría dinámica para dibujar otros dos triángulos. Copia y completa la tabla del inciso a) para cada triángulo. Usa tus resultados para escribir una conjetura sobre la relación entre los senos de los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo.
UTILIZAR HERRAMIENTAS ESTRATÉGICAMENTE
Para dominar las matemáticas, debe utilizar la tecnología para comparar predicciones con datos.
Respuesta:

Exploración 2

Descubriendo la ley de los cosenos

un. Copia y completa la tabla del triángulo en la Exploración 1 (a). ¿Qué puedes concluir?

Respuesta:

B. Utilice un software de geometría dinámica para dibujar otros dos triángulos. Copia y completa la tabla del inciso a) para cada triángulo. Usa tus resultados para escribir una conjetura sobre lo que observas en las tablas completadas.
Respuesta:

Pregunta 3.
¿Qué son la ley de los senos y la ley de los cosenos?
Respuesta:

Pregunta 4.
¿Cuándo usarías la ley de los senos para resolver un triángulo? ¿Cuándo usarías la Ley de los cosenos para resolver un triángulo?
Respuesta:

Lección 9.7 Ley de senos y ley de cosenos

Seguimiento del progreso

Usa una calculadora para encontrar la razón trigonométrica. Redondea tu respuesta a cuatro lugares decimales.

Encuentre el área de ∆ABC con las longitudes de los lados dados y el ángulo incluido. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Pregunta 4.
metro ∠ B = 60 °, a = 19, c = 14

Explicación:
Área = ( frac <1> <2> ) ac sin B
= ( frac <1> <2> ) (19 x 14) sin 60 °
= 133 x 0,866
= 155.18

Pregunta 5.
metro ∠ C = 29 °, a = 38, b = 31

Explicación:
Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C
= ( frac <1> <2> ) (38 x 31) sin 29
= 598 x 0,48
= 282.72

Resuelve el triángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 6.

Respuesta:
∠C = 46,6, ∠B = 82,4, AC = 23,57

Pregunta 7.

Respuesta:
∠B = 31,3, ∠C = 108,7, c = 23,6

Resuelve el triángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 8.

Respuesta:
∠C = 66, a = 4,36, c = 8,27

Pregunta 9.

Respuesta:
∠A = 29, b = 19,37, c = 20,41

Pregunta 10.
¿Y SI?
En el ejemplo 5, ¿cuál sería la longitud de un puente desde el área de picnic sur hasta el área de picnic este?

Respuesta:
La longitud de un puente desde el área de picnic sur hasta el área de picnic este es de 188 m.

Resuelve el triángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 11.

Respuesta:
b = 61,3, ∠A = 46, ∠C = 46

Explicación:
b² = a² + c² - 2ac cos B
b² = 45² + 43² & # 8211 2 (45) (43) cos 88
b² = 2025 + 1849 & # 8211 3870 x 0.03 = 3757.9
b = 61,3
( frac
) = ( frac )
( frac <45> ) = ( frac <61,3> )
sin A = 0,72
∠A = 46
∠A + ∠B + ∠C = 180
46 + 88 + ∠C = 180
∠C = 46

Pregunta 12.

Respuesta:
a = 41,1, ∠C = 35,6, ∠B = 30,4

Explicación:
a² = b² + c² - 2bc cos A
a² = 23² + 26² & # 8211 2 (23) (26) cos 114
a² = 529 + 676 & # 8211 1196 x -0,406
a² = 1690,5
a = 41,1
( frac <41.1> ) = ( frac <23> )
0.02 = ( frac <23> )
sin B = 0,507
∠B = 30,4
∠A + ∠B + ∠C = 180
114 + 30,4 + ∠C = 180
∠C = 35,6

Pregunta 13.

Respuesta:
∠A = 41,4, ∠B = 81,8, ∠C = 56,8

Explicación:
a² = b² + c² - 2bc cos A
4² = 6² + 5² & # 8211 2 (6) (5) cos A
16 = 36 + 25 & # 8211 60 cos A
-45 = & # 8211 60 cos A
cos A = 0,75
∠A = 41,4
( frac <4> ) = ( frac <6> )
0.165 = ( frac <6> )
sin B = 0,99
∠B = 81,8
∠A + ∠B + ∠C = 180
41,4 + 81,8 + ∠C = 180
∠C = 56,8

Pregunta 14.

Respuesta:
∠B = 81,8, ∠A = 58,6, ∠C = 39,6

Explicación:
a² = b² + c² - 2bc cos A
23² = 27² + 16² & # 8211 2 (27) (16) cos A
529 = 729 + 256 & # 8211 864 cos A
456 = 864 cos A
cos A = 0,52
∠A = 58,6
( frac <23> ) = ( frac <27> )
0.03 = ( frac <27> )
sin B = 0,99
∠B = 81,8
∠A + ∠B + ∠C = 180
58,6 + 81,8 + ∠C = 180
∠C = 39,6

Ejercicio 9.7 Ley de senos y ley de cosenos

Verificación de vocabulario y conceptos básicos

Pregunta 1.
ESCRIBIENDO
¿Qué tipo de triángulo usarías la Ley de los senos o la Ley de los cosenos para resolver?
Respuesta:

Pregunta 2.
VOCABULARIO
¿Qué información necesitas para utilizar la Ley de los senos?

Monitoreo del progreso y modelado con matemáticas

En los Ejercicios 3 y # 8211 8, usa una calculadora para encontrar la razón trigonométrica. Redondea tu respuesta a cuatro lugares decimales.

Pregunta 3.
pecado 127 °
Respuesta:

Pregunta 5.
cos 139 °
Respuesta:

Pregunta 7.
bronceado 165 °
Respuesta:

En los Ejercicios 9 y # 8211 12, encuentra el área del triángulo. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Pregunta 9.

Respuesta:

Pregunta 10.

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) bc sin A
Área = ( frac <1> <2> ) (28) (24) sin83
Área = 332.64

Pregunta 11.

Respuesta:

Pregunta 12.

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C
Área = ( frac <1> <2> ) (15) (7) sin 96
Área = 51,9

En los Ejercicios 13 y # 8211 18. resuelve el triángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 13.

Respuesta:

Pregunta 14.

Respuesta:
∠B = 38,3, ∠A = 37,7, a = 15,7

Explicación:
( frac <16> ) = ( frac <25> )
sin B = 0,62
∠B = 38,3
∠A + ∠B + ∠C = 180
∠A + 38,3 + 104 = 180
∠A = 37,7
( frac
) = ( frac <25> )
( frac <0.61>
) = 0.0388
a = 15,7

Pregunta 15.

Respuesta:

Pregunta 16.

Respuesta:
∠B = 65, b = 33.55, a = 24.4

Pregunta 17.

Respuesta:

Pregunta 18.

Respuesta:
∠C = 90, b = 39,56, a = 17,6

En los Ejercicios 19 y # 8211 24, resuelve el triángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 19.

Respuesta:

Pregunta 20.

Respuesta:
b = 29,9, ∠A = 26,1, ∠C = 15,07

Pregunta 21.

Respuesta:

Pregunta 22.

Respuesta:
∠A = 107,3, ∠B = 51,6, ∠C = 21,1

Explicación:
b² = a² + c² & # 8211 2ac cos B
28² = 18² + 13² & # 8211 2 (18) (13) cos B
784 = 324 + 169 & # 8211 468 cos B
291 = 468 cos B
cos B = 0,62
∠B = 51,6
( frac ) = ( frac )
( frac <13> ) = ( frac <28> )
sin C = 0.36
∠C = 21,1
∠A + ∠B + ∠C = 180
51,6 + 21,1 + ∠A = 180
∠A = 107,3

Pregunta 23.

Respuesta:

Pregunta 24.

Respuesta:
∠A = 23, ∠B = 132,1, ∠C = 24,9

Explicación:
b² = a² + c² & # 8211 2ac cos B
5² = 12² + 13² & # 8211 2 (12) (13) cos B
25 = 144 + 169 & # 8211312 cos B
288 = 312 cos B
cos B = 0,92
∠B = 23
( frac ) = ( frac )
( frac <13> ) = ( frac <5> )
sin C = 1.014
∠C = 24,9
∠A + ∠B + ∠C = 180
23 + 24,9 + ∠B = 180
∠B = 132,1

Pregunta 25.
ANÁLISIS DE ERRORES
Describe y corrige el error al encontrar m ∠ C.

Respuesta:

Pregunta 26.
ANÁLISIS DE ERRORES
Describe y corrige el error al encontrar m ∠ A en ∆ABC cuando a = 19, b = 21 y c = 11.

Respuesta:
a² = b² + c² & # 8211 2bc cos A
19² = 21² + 11² & # 8211 2 (21) (11) cos A
361 = 441 + 121 & # 8211 462 cosA
201 = 462 cosA
cos A = 0,43
∠A = 64,5

MÉTODOS DE COMPARACIÓN

En el ejercicio 27 & # 8211 32, diga si usaría la Ley de los senos, la Ley de los cosenos. o el Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1) y razones trigonométricas para resolver el triángulo con la información dada. Explica tu razonamiento. Luego resuelve el triángulo.

Pregunta 27.
metro ∠ A = 72 °, metro ∠ B = 44 °, segundo = 14
Respuesta:

Pregunta 28.
metro ∠ B = 98 °, metro ∠ C = 37 °, a = 18

Respuesta:
∠A = 45, b = 25,38, c = 15,38

Pregunta 29.
metro ∠ C = 65 °, a = 12, b = 21
Respuesta:

Pregunta 30.
metro ∠ B = 90 °, a = 15, c = 6

Respuesta:
b = 3√29, ∠A = 66,9, ∠C = 23,1

Explicación:
b² = a² + c²- 2ac cos B
b² = 15² + 6² & # 8211 2 (15) (6) cos 90
= 225 + 36 – 180(0)
b² = 261
b = 3√29
( frac ) = ( frac
)
( frac <3√29> ) = ( frac <15> )
sin A = 0,92
∠A = 66,9
∠A + ∠B + ∠C = 180
66,9 + 90 + ∠C = 180
∠C = 23,1

Pregunta 31.
metro ∠ C = 40 °, b = 27, c = 36
Respuesta:

Pregunta 32.
a = 34, b = 19, c = 27

Respuesta:
∠B = 33,9, ∠A = 78,5, ∠C = 67,6

Explicación:
b² = a² + c²- 2ac cos B
19² = 34² + 27²- 2 (34) (27) cos B
361 = 1156 + 729 & # 8211 1836 cos B
cos B = 0,83
∠B = 33,9
( frac <19> ) = ( frac <34> )
sin A = 0,98
∠A = 78,5
∠A + ∠B + ∠C = 180
78,5 + 33,9 + ∠C = 180
∠C = 67,6

Pregunta 33.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Tú y tu amigo están parados en la línea de fondo de una cancha de baloncesto. Le rebotas una pelota de baloncesto a tu amigo, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la distancia entre tú y tu amigo?

Respuesta:

Pregunta 34.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Se construye una tirolina a través de un valle, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el ancho w del valle?

Explicación:
w² = 25² + 84² & # 8211 2 (25) (84) cos 102
w² = 7681 & # 8211 4200 cos 102
w = 92,5 pies

Pregunta 35.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Estás en la plataforma de observación del Empire State Building mirando el Chrysler Building. Cuando gira 145 ° en el sentido de las agujas del reloj, verá la Estatua de la Libertad. Usted sabe que el edificio Chrysler y el edificio Empire Slate están separados por un arco de aproximadamente 0,6 millas y que el edificio Chrysler y la Estatua de la Libertad están a aproximadamente 5,6 millas de distancia. Estima la distancia entre el Empire State Building y la Estatua de la Libertad.
Respuesta:

Pregunta 36.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
La Torre Inclinada de Pisa en Italia tiene una altura de 183 pies y está a 4 ° de la vertical. Encuentre la distancia horizontal d a la que la parte superior de la torre no está vertical.

Pregunta 37.
ARGUMENTAR
Tu amigo dice que la Ley de los senos se puede utilizar para encontrar a JK. Tu primo dice que la Ley de los cosenos se puede usar para encontrar a JK. ¿Quién tiene razón? Explica tu razonamiento.

Respuesta:

Pregunta 38.
RAZONAMIENTO
Utilice ∆XYZ

un. ¿Puedes usar la ley de los senos para resolver ∆XYZ? Explica tu razonamiento.
Respuesta:

B. ¿Puedes usar otro método para resolver ∆XYZ? Explica tu razonamiento.
Respuesta:

Pregunta 39.
ARGUMENTAR
Tu amigo calcula el área del triángulo usando la fórmula A = ( frac <1> <2> ) qr sin S y dice que el área es de aproximadamente 208.6 unidades cuadradas. ¿Tu amigo tiene razón? Explica tu razonamiento.

Respuesta:

Pregunta 40.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Estás fertilizando un jardín triangular. Un lado del jardín mide 62 pies de largo y el otro lado mide 54 pies de largo. El ángulo opuesto al lado de 62 pies es de 58 °.
un. Dibuja un diagrama para representar esta situación.
B. Usa la ley de los senos para resolver el triángulo del inciso a).
C. Una bolsa de fertilizante cubre un área de 200 pies cuadrados. ¿Cuántas bolsas de fertilizante necesitarás para cubrir todo el jardín?

Respuesta:
C = 47,6, A = 74,4, a = 70,4
9 bolsas de fertilizante.

Pregunta 41.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS
Un golfista realiza un drive de 260 yardas en un hoyo de 400 yardas de largo. El disparo se desvía 15 °.

un. ¿Cuál es la distancia x desde la pelota del golfista al hoyo?
B. Suponga que el golfista puede golpear la pelota con precisión a la distancia calculada en el inciso a). ¿Cuál es el ángulo máximo θ (theta) por el cual la bola puede desviarse del objetivo para aterrizar a no más de 10 yardas del hoyo?
Respuesta:

Pregunta 42.
MÉTODOS DE COMPARACIÓN
Se construye un edificio sobre un acantilado de 300 metros de altura. Una persona parada en terreno llano debajo del acantilado observa que el ángulo de elevación a la parte superior del edificio es de 72 ° y el ángulo de elevación a la parte superior del acantilado es de 63 °.
un. ¿Qué tan lejos está la persona de la base del acantilado?

Respuesta:

B. Describe dos métodos diferentes que puedes usar para encontrar la altura del edificio. Utilice uno de estos métodos para encontrar la altura del edificio.

Respuesta:
Considere △ SYZ y evalúe d usando la función tangente
tan SYZ = ( frac <300> )
d = ( frac <300> )
d = 152,86
La persona se encuentra a 152,86 m de la base del acantilado.
Considere △ XYS y evalúe h + 300
tan XYZ = ( frac )
h = 152,86 x bronceado 72 & # 8211300
h = 170,45
El edificio tiene 170,45 m de altura.

Pregunta 43.
CONEXIONES MATEMÁTICAS
Encuentra los valores de x e y.

Respuesta:

Pregunta 44.
¿CÓMO LO VES?
¿Usarías la ley de los senos o la ley de los cosenos para resolver el triángulo?
Respuesta:

Pregunta 45.
REESCRIBIR UNA FÓRMULA
A Simplifique la ley de los cosenos para cuando el ángulo dado es un ángulo recto.
Respuesta:

Pregunta 46.
ESTIMULAR EL PENSAMIENTO
Considere cualquier triángulo con longitudes de lados de a, by c. Calcula el valor de s, que es la mitad del perímetro del triángulo. ¿Qué medida del triángulo está representada por ( sqrt ?)
Respuesta:

Pregunta 47.
ANALIZAR LAS RELACIONES
El caso ambiguo de la Ley de los senos ocurre cuando se le da la medida de un ángulo agudo. la longitud de un lado adyacente, y la longitud del lado opuesto a ese ángulo, que es menor que la longitud del lado adyacente. Esto da como resultado dos posibles triángulos. Usando la información dada, encuentre dos posibles soluciones para ∆ABC
Dibuja un diagrama para cada triángulo.
(Sugerencia: la función de seno inverso solo proporciona medidas de ángulos agudos. Por lo tanto, considere el ángulo agudo y su suplemento para ∠B).

un. metro ∠ A = 40 °, a = 13, b = 16
B. metro ∠ A = 21 °, a = 17, b = 32
Respuesta:


Pregunta 48.
RAZONAMIENTO ABSTRACTO
Usa la ley de los cosenos para demostrar que la medida de cada ángulo de un triángulo equilátero es 60 °. Explica tu razonamiento.

Respuesta:
a² = b² + c²- 2bc cos A
a² = a² + a² & # 8211 2 aa cos A
a² = 2a² coas A
cos A = 1/2
∠A = 60

Pregunta 49.
PENSAMIENTO CRÍTICO
Un avión vuela 55 ° al este del norte de la ciudad A a la ciudad B. una distancia de 470 millas. Otro avión vuela 7 ° al noreste de la ciudad A a la ciudad C. una distancia de 890 millas. ¿Cuál es la distancia entre las ciudades B y C?
Respuesta:

Pregunta 50.
REESCRIBIR UNA FÓRMULA
Siga los pasos para derivar la fórmula del área de un triángulo.
Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C.

un. Dibuja la altitud desde el vértice B hasta ( overline
). Rotula la altitud como h. Escribe una fórmula para el área del triángulo usando h.
Respuesta:

B. Escribe una ecuación para el pecado C
Respuesta:

C. Usa los resultados de las partes (a) y (b) para escribir una fórmula para el área de un triángulo que no incluye h.
Respuesta:

Pregunta 51.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Siga los pasos para usar la fórmula del área de un triángulo para demostrar la Ley de los senos (Teorema 9.9).

un. Usa la derivación del Ejercicio 50 para explicar cómo derivar las tres fórmulas relacionadas para el área de un triángulo.
Área = ( frac <1> <2> ) bc sin A,
Área = ( frac <1> <2> ) ac sin B,
Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C
B. ¿Por qué puedes usar las fórmulas del inciso a) para escribir el siguiente enunciado?
( frac <1> <2> ) bc sin A = ( frac <1> <2> ) ac sin B = ( frac <1> <2> ) ab sin C
C. Muestre cómo reescribir el enunciado del inciso b) para demostrar la ley de los senos. Justifica cada paso.
Respuesta:

Pregunta 52.
DEMOSTRAR UN TEOREMA
Utilice la información proporcionada para completar las dos & # 8211 columnas de prueba de la Ley de los cosenos (Teorema 9.10).

Dado ( overline) es una altitud de ∆ABC.
Demuestre que a 2 = b 2 + c 2 & # 8211 2bc cos A

Declaraciones Razones
1. ( overline) es una altitud de ∆ABC. 1. Dado
2. ∆ADB y ∆CDB son triángulos rectángulos. 2. _______________________
3. a 2 = (b & # 8211 x) 2 + h 2 3. _______________________
4. _______________________ 4. Expanda binomio.
5. x 2 + h 2 = c 2 5. _______________________
6. _______________________ 6. Propiedad de sustitución de la igualdad
7. cos A = ( frac) 7. _______________________
8. x = c cos A 8. _______________________
9. a 2 = b 2 + c 2 & # 8211 2bc Cos A 9. _______________________

Mantener el dominio de las matemáticas

Calcula el radio y el diámetro del círculo.

Pregunta 53.

Respuesta:

Pregunta 54.

Respuesta:
El radio es de 10 pulgadas y el diámetro es de 20 pulgadas.

Pregunta 55.

Respuesta:

Pregunta 56.

Respuesta:
El radio es de 50 pulgadas y el diámetro es de 100 pulgadas.

Revisión de triángulos rectángulos y trigonometría

9.1 El teorema de Pitágoras

Encuentra el valor de x. Luego, di si las longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Pregunta 1.

Respuesta:
x = 2√34
Los lados no formarán un triple pitagórico.

Explicación:
x² = 6² + 10²
x² = 36 + 100
x = 2√34

Pregunta 2.

Respuesta:
x = 12
Los lados forman un triple pitagórico.

Explicación:
20² = 16² + x²
400 = 256 + x²
x² = 144
x = 12

Pregunta 3.

Respuesta:
x = 2√30
Los lados no formarán un triple pitagórico.

Explicación:
13² = 7² + x²
169 = 49 + x²
x = 2√30

Verifica que las longitudes de los segmentos formen un triángulo. ¿El triángulo es agudo, recto u obtuso?

Respuesta:
9² = 81
6² + 8² = 36 + 64 = 100
9² & lt 6² + 8²
Entonces, el triángulo es agudo

Respuesta:
10² = 100
(2√2)² + (6√3)² = 8 + 108 = 116
Entonces, el triángulo es agudo.

Respuesta:
18² = 324
13² + (3√55)² = 169 + 495 = 664
Entonces, el triángulo es agudo.

9.2 Triángulos rectángulos especiales

Encuentra el valor de x. Escribe tu respuesta en la forma más simple.

Pregunta 7.

Respuesta:
hipotenusa = pierna • √2
x = 6√2

Pregunta 8.

Respuesta:
pierna más larga = pierna más corta • √3
14 = x • √3
x = 8,08

Pregunta 9.

Respuesta:
pierna más larga = pierna más corta • √3
x = 8√3 • √3
x = 24

9.3 Triángulos rectángulos similares

Identifica los triángulos semejantes. Luego, calcula el valor de x.

Pregunta 10.

Pregunta 11.

Pregunta 12.

Pregunta 13.

Calcula la media geométrica de los dos números.

Respuesta:
media = √ (36 x 48)
= 24√3

Respuesta:
media = √ (12 x 42)
= 6√14

9.4 La relación de tangente

Encuentra las tangentes de los ángulos agudos en el triángulo rectángulo. Escribe cada respuesta como una fracción y como un decimal redondeado a cuatro lugares decimales.

Pregunta 17.

Pregunta 18.

Pregunta 19.

Encuentra el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Pregunta 20.

Respuesta:
tan 54 = ( frac <32> )
1,37 = ( frac <32> )
x = 43,8

Pregunta 21.

Respuesta:
bronceado 25 = ( frac <20> )
0,46 x 20 = x
x = 9,2

Pregunta 22.

Respuesta:
bronceado 38 = ( frac <10> )
x = 12,82

Pregunta 23.
El ángulo entre la parte inferior de una cerca y la copa de un árbol es de 75 °. El árbol está a 4 metros de la valla. ¿Qué tan alto es el árbol? Redondea tu respuesta al pie más cercano.

Respuesta:
tan 75 = ( frac <4> )
x = 14,92

9.5 Las razones de seno y coseno

Encuentra sen X, sen Z, cos X y cos Z. Escribe cada respuesta como una fracción y como un decimal redondeado a cuatro lugares decimales.

Pregunta 24.

Respuesta:
sin X = ( frac <3> <5> )
sin Z = ( frac <4> <5> )
cos X = ( frac <4> <5> )
cos Z = ( frac <3> <5> )

Pregunta 25.

Pregunta 26.

Encuentra el valor de cada variable usando seno y coseno. Redondea tus respuestas a la décima más cercana.

Pregunta 27.

Respuesta:
pecado 23 = ( frac <34> )
t = 13,26
cos 23 = ( frac <34> )
s = 31,28

Pregunta 28.

Respuesta:
pecado 36 = ( frac <5> )
s = 2,9
cos 36 = ( frac <5> )
r = 4

Pregunta 29.

Respuesta:
pecado 70 = ( frac <10> )
v = 9,39
cos 70 = ( frac <10> )
w = 3,42

Pregunta 30.
Escribe el pecado 72 ° en términos de coseno.

Respuesta:
sin 72 = cos (90 & # 8211 72)
= cos 18 = 0,95

Pregunta 31.
Escribe cos 29 ° en términos de seno.

Respuesta:
sin 29 = cos (90 & # 8211 29)
= cos 61 = 0,48

9.6 Resolver triángulos rectángulos

Sea ∠Q un ángulo agudo. Usa una calculadora para aproximar la medida de ∠Q a la décima de grado más cercana.

Respuesta:
cos Q = 0,32
∠Q = cos inverso de .32
∠Q = 71,3

Respuesta:
sin Q = 0.91
∠Q = pecado inverso de 0.91
∠Q = 65,5

Respuesta:
tan Q = 0.04
∠Q = tan inverso de 0.04
∠Q = 2,29

Resuelve el triángulo rectángulo. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 35.

Respuesta:
a = 5√5, ∠A = 47,7, ∠B = 42,3

Explicación:
c² = a² + b²
15² = a² + 10²
a² = 125
a = 5√5
sin A = ( frac <5√5> <15> ) = 0,74
∠A = 47,7
∠A + ∠B + ∠C = 180
47,7 + ∠B + 90 = 180
∠B = 42,3

Pregunta 36.

Respuesta:
NL = 7.59, ∠L = 53, ML = 4.55

Explicación:
cos 37 = ( frac <6> )
NL = 7,59
∠N + ∠M + ∠L = 180
37 + 90 + ∠L = 180
∠L = 53
sin 37 = ( frac <7.59> )
ML = 4,55

Pregunta 37.

Respuesta:
XY = 17,34, ∠X = 46, ∠Z = 44

Explicación:
c² = a² + b²
25² = 18² + b²
b² = 301
b = 17,34
pecado X = ( frac <18> <25> )
∠X = 46
suma de ángulos = 180
46 + 90 + ∠Z = 180
∠Z = 44

9.7 Ley de los senos y ley de los cosenos

Encuentre el área de ∆ABC con las longitudes de los lados dados y el ángulo incluido.

Pregunta 38.
metro ∠ B = 124 °, a = 9, c = 11

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) ac sin B
= ( frac <1> <2> ) (9 x 11) sin 124
= 40.59

Pregunta 39.
metro ∠ A = 68 °, b = 13, c = 7

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) bc sin A
= ( frac <1> <2> ) (13 x 7) sin 68
= 41.86

Pregunta 40.
metro ∠ C = 79 °, a = 25 b = 17

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) ab sin C
= ( frac <1> <2> ) (25 x 17) sin 79
= 208.25

Resuelve ∆ABC. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 41.
metro ∠ A = 112 °, a = 9, b = 4

Respuesta:
∠B = 24, ∠C = 44, c = 6.76

Explicación:
( frac ) = ( frac
)
( frac <4> ) = ( frac <9> )
sin B = 0.408
∠B = 24
∠A + ∠B + ∠C = 180
112 + 24 + ∠C = 180
∠C = 44
( frac <9> ) = ( frac )
c = 6,76

Pregunta 42.
metro ∠ 4 = 28 °, metro ∠ B = 64 °, c = 55

Respuesta:
∠C = 88, b = 49,4, a = 25,5

Pregunta 43.
metro ∠ C = 48 °, b = 20, c = 28

Respuesta:
∠B = 31,3, ∠A = 100,7, a = 37,6

Pregunta 44.
metro ∠ B = 25 °, a = 8, c = 3

Respuesta:
b = 5,45, ∠A = 37,5, ∠C = 117,5

Explicación:
b² = a² + c²- 2ac cos B
b² = 8² + 3² & # 8211 2 (8 x 3) cos 25 = 73 & # 8211 43,2 = 29,8
b = 5,45
( frac <8> ) = ( frac <5.45> )
sin A = 0,61
∠A = 37,5
∠A + ∠B + ∠C = 180
37,5 + 25 + ∠C = 180
∠C = 117,5

Pregunta 45.
metro ∠ B = 102 °, metro ∠ C = 43 °, b = 21

Respuesta:
∠A = 35, c = 14,72, a = 12,3

Pregunta 46.
a = 10, b = 3, c = 12

Respuesta:
∠B = 11,7, ∠C = 125,19, ∠A = 43,11

Explicación:
b² = a² + c²- 2ac cos B
3² = 10² + 12²- 2 (10 x 12) cos B
9 = 100 + 144 & # 8211 240 cos B
cos B = 0,979
∠B = 11,7
a² = b² + c²- 2bc cos A
100 = 9 + 144 & # 8211 72 cos A
cos A = 0,73
∠A = 43,11
∠A + ∠B + ∠C = 180
43,11 + 11,7 + ∠C = 180
∠C = 125,19

Prueba de triángulos rectángulos y trigonometría

Encuentra el valor de cada variable. Redondea tus respuestas a la décima más cercana.

Pregunta 1.

Respuesta:
pecado 25 = ( frac <18> )
t = 7.5
cos 25 = ( frac <18> )
s = 16,2

Pregunta 2.

Respuesta:
pecado 22 = ( frac <6> )
x = 16,21
cos 22 = ( frac <16,21> )
y = 14,91

Pregunta 3.

Respuesta:
tan 40 = ( frac <10> )
k = 8,3
cos 40 = ( frac <10> )
j = 13,15

Verifique que las longitudes de los segmentos formen un triángulo. ¿El triángulo es agudo, recto u obtuso?

Respuesta:
34²= 16² + 30²
Entonces, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Respuesta:
9² = 81
4² + (√67)² = 83
Entonces el triangulo es agudo

Respuesta:
5.5² = 30.25
√5² + 5² = 30
Entonces el triangulo es obtuso

Resuelve ∆ABC. Redondea las respuestas decimales a la décima más cercana.

Pregunta 7.

Respuesta:
c = 12,08, ∠A = 24,22, ∠C = 65,78

Explicación:
bronceado A = ( frac <5> <11> )
∠A = 24,22
c² = 11² + 5²
c = 12,08
24,22 + 90 + ∠C = 180
∠C = 65,78

Pregunta 8.

Respuesta:
∠B = 35,4, ∠C = 71,6, c = 17,9

Pregunta 9.

Respuesta:
BC = 4.54, ∠B = 59.3, ∠A = 30.7

Explicación:
9.2² = 8² + x²
x = 4,54
( frac <9.2> ) = ( frac <8> )
sin B = 0.86
∠B = 59,3
∠A + 59,3 + 90 = 180
∠A = 30,7

Pregunta 10.
metro ∠ A = 103 °, b = 12, c = 24

Explicación:
a² = b² + c²- 2bc cos A
a² = 144 + 24² & # 8211 2 (12 x 24) cos 103
a = 29
( frac <12> ) = ( frac <29> )
∠B = 23,5
∠C = 180 & # 8211 (103 + 23.5) = 53.5

Pregunta 11.
metro ∠ A = 26 °, metro ∠ C = 35 °, b = 13

Respuesta:
∠B = 119, a = 6,42, c = 8,5

Pregunta 12.
a = 38, b = 31, c = 35

Explicación:
b² = a² + c²- 2ac cos B
31² = 38² + 35²- 2 (35 x 38) cos B
cos B = 0,64
∠B = 50,2
a² = b² + c²- 2bc cos A
38² = 31² + 35²- 2 (31 x 35) cos A
cos A = 0,341
∠A = 70
∠C = 59,8

Pregunta 13.
Escribe cos 53 ° en términos de seno.

Respuesta:
cos 53 ° = sin (90 & # 8211 53) = sin 37

Encuentra el valor de cada variable. Escriba sus respuestas en la forma más simple.

Pregunta 14.

Respuesta:
sin 45 = ( frac <16> )
q = 22,6
cos 45 = ( frac )
r = 16

Pregunta 15.

Respuesta:

Pregunta 16.

Respuesta:
pecado 30 = ( frac <9.2> )
f = 4,6
cos 30 = ( frac <8> )
h = 9,2

Pregunta 17.
En ∆QRS, m ∠ R = 57 °, q = 9 y s = 5. Halla el área de ∆QRS.

Respuesta:
Área = ( frac <1> <2> ) qs sin R
= ( frac <1> <2> ) (9 x 5) sin 57 = 18,675

Pregunta 18.
Se le dan las medidas de ambos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. ¿Puedes determinar las longitudes de los lados? Explicar.

Pregunta 19.
Estás en un desfile mirando un gran globo flotando directamente sobre la calle. Estás a 60 pies de un punto en la calle directamente debajo del globo. Para ver la parte superior del globo, mira hacia arriba en un ángulo de 53 °. Para ver la parte inferior del globo, mira hacia arriba en un ángulo de 29 °. Estima la altura h del globo.

Pregunta 20.
Advierte que se tome una foto de una estatua en la Isla de Pascua, llamada moai. El moai mide unos 13 pies de altura. Su cámara está en un trípode de 5 pies de alto. El ángulo de visión vertical de su cámara se establece en 90 °. ¿A qué distancia del moai debes pararte para que toda la altura del moai quede perfectamente enmarcada en la foto?

Triángulos rectángulos y evaluación acumulativa de trigonometría

Pregunta 1.
El tamaño de la pantalla de una computadora portátil se mide por la longitud de su diagonal. desea comprar una computadora portátil con la pantalla más grande posible. ¿Qué portátil deberías comprar?
(A)

(B)

(C)

(D)

Respuesta:
(B)

Explicación:
(a) d = √9² + 12² = 15
(b) d = √11.25² + 20² = 22.94
(c) d = √12² + 6.75² = 13.76
(d) d = √8² + 6² = 10

Pregunta 2.
En ∆PQR y ∆SQT, S está entre P y Q, T está entre R y Q, y () ¿Qué debe ser cierto acerca de ( overline) y ( overline

)? Seleccione todas las que correspondan.
( overline) ⊥ ( overline

) ( overline) || ( overline

) ST = PR ST = ( frac <1> <2> ) PR
Respuesta:

Pregunta 3.
En el diagrama, ∆JKL

∆QRS. Elija el símbolo que hace que cada afirmación sea verdadera.

& lt = & gt
sin J ___________ sin Q sin L ___________ cos J ​​cos L ___________ tan Q
cos S ___________ cos J ​​cos J ​​___________ sin S tan J ___________ tan Q
tan L ___________ tan Q tan S ___________ cos Q sin Q ___________ cos L
Respuesta:
sin J = sin Q sin L = cos J ​​cos L = tan Q
cos S & gt cos J ​​cos J ​​& gt sin S tan J = tan Q
tan L & lt tan Q tan S & gt cos Q sen Q = cos L

Pregunta 4.
Un topógrafo realiza las medidas que se muestran. ¿Cuál es el ancho del río?

Respuesta:
tan 34 = ( frac <84> )
AB = 56,28

Pregunta 5.
Cree tantas ecuaciones verdaderas como sea posible.

sin X cos X tan x ( frac) ( frac)

Sin Z cos Z tan Z ( frac) ( frac)

Respuesta:
sin X = ( frac) = cos Z
cos X = ( frac) = sin Z
tan x = ( frac)
tan Z = ( frac)

Pregunta 6.
Demuestre que el cuadrilátero DEFG es una cometa.
Dado ( overline cong overline), ( overline) ⊥ ( overline)
Demuestra ( overline cong overline), ( overline cong overline)

Respuesta:

Pregunta 7.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen de ∆QRS después de mostrar la composición de transformaciones?

(A) Q & # 8217 (1, 2), R '(5, 4), S' (4, -1)
(B) Q '(- 1, & # 8211 2), R & # 8217 (- 5, & # 8211 4), S & # 8217 (- 4, 1)
(C) Q '(3, & # 8211 2), R & # 8217 (- 1, & # 8211 4), S & # 8217 (0, 1)
(D) Q & # 8217 (-2, 1), R '(- 4, 5), S' (1, 4)
Respuesta:

Pregunta 8.
La Pirámide Roja de Egipto tiene una base cuadrada. Cada lado de la base mide 722 pies. La altura de la pirámide es de 343 céntimos.

un. Usa la longitud del lado de la base, la altura de la pirámide y el Teorema de Pitágoras para encontrar la altura inclinada, AB, de la pirámide.

Respuesta:
343² = h² + 722²
h = 635,3

C. Nombra tres formas posibles de hallar m ∠ 1. Luego, encuentra m ∠ 1.
Respuesta:
Tres posibles formas son sin 1, cos 1 y tan 1
bronceado 1 = ( frac <722> <635,3> )
∠1 = 48


PROBLEMAS SOBRE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para las medidas en la figura que se muestra a continuación, calcule las relaciones de seno, coseno y tangente del ángulo θ.

En el triángulo rectángulo dado, observe que para el ángulo dado θ, PR es el lado "opuesto" y PQ es el lado "adyacente".

tan & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 lado opuesto / lado adyacente & # xa0 = & # xa0 PR / PQ & # xa0 = & # xa0 35/12

Encuentra las seis razones trigonométricas del ángulo θ usando el diagrama que se muestra a continuación. & # Xa0

En el triángulo rectángulo dado, observe que para el ángulo dado θ, AC es el lado "opuesto" y AB es el lado "adyacente".

Y tampoco se da la longitud del lado adyacente 'AB'. & # Xa0

Reste 49 de cada lado. & # Xa0

tan & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 lado opuesto / lado adyacente & # xa0 = & # xa0 AC / AB & # xa0 = & # xa0 7/24

Si tan A & # xa0 = & # xa0 2/3, entonces encuentre todas las demás razones trigonométricas. & # Xa0

tan A & # xa0 = & # xa0 lado opuesto / lado adyacente & # xa0 = & # xa0 2/3

sin A & # xa0 = & # xa0 lado opuesto / hipotenusa & # xa0 = & # xa0 & # xa0BC / AC & # xa0 = & # xa0 2 / √ 13

Si sec θ & # xa0 = & # xa0 2/3, entonces encuentre el valor de

(2sin θ - 3cos θ) / (4sin θ - 9cos θ) & # xa0

sec & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 hipotenusa / lado adyacente & # xa0 = & # xa0 13/5

Reste 25 de cada lado. & # Xa0

(2sin θ - 3cos θ) / (4sin θ - 9cos θ): & # xa0

= & # xa0 (24/13 - 1 5/13) / (48/13 - 45/13)

(2sin θ - 3cos θ) / (4sin θ - 9cos θ) & # xa0 & # xa0 = & # xa0 3

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Hacer las paces con los conceptos básicos de la trigonometría

Hace seis meses, odiaba la trigonometría.

De hecho, cuando mi hija perdió una semana de clases, anunció en su primer día de regreso: "Alguien tiene que enseñarme trigonometría porque me perdí todo". Su padre intervino: "Ese seré yo. Tu madre odia la trigonometría ".

Al menos eso solía ser cierto. Desde entonces he hecho las paces con mi tema menos favorito, en gran parte debido a mis experiencias con el curso de geometría matemática ilustrativa. Permítanme decirles las formas en las que el curso de Geometría IM ha ayudado.

La unidad de trigonometría del curso IM Geometría (Unidad 4: Trigonometría de triángulo rectángulo) dedica varias lecciones a desarrollar los conceptos de coseno, seno y tangente a través de triángulos similares. Tiene todo lo que amo de la mensajería instantánea.

  • Uso de la tecnología para mejorar el acceso: un subprograma de Geogebra permite a los estudiantes dibujar rápidamente triángulos similares para que los valores no se pierdan en el tedio de dibujar todo a mano.
  • Ideas generadas por los estudiantes: una vez que los socios han identificado proporciones consistentes dentro de sus triángulos asignados, se unen para ingresar los datos en una tabla de clase y crear un recurso de clase. Observan que para todos los triángulos rectángulos similares con ángulos de 10 grados, 80 grados y 90 grados, la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa era de aproximadamente 0,985. Y los triángulos 10-80-90 no son especiales: todas estas familias de triángulos similares tienen sus propias proporciones consistentes.
  • Note and Wonder: Usando una rutina de instrucción, los estudiantes infieren patrones más grandes y estiman valores para ángulos que no se enumeran. No solo aprenden que cada familia de triángulos rectángulos tiene su propio conjunto especial de razones de longitudes de lados, que se pueden usar para resolver problemas, sino que ven patrones en las familias. ¿Qué patrones observa en la siguiente tabla?
  • Desarrollo del lenguaje: como suele ser el caso, los estudiantes primero construyen el concepto, examinando las proporciones y las relaciones con los ángulos, desarrollando la necesidad de identificarlos con los nombres coseno, seno y tangente.

También me gusta cómo la tabla en esta lección se construye en incrementos de 10 grados y no solo se enfoca en triángulos "especiales", que pueden hacer que los estudiantes vean los mismos números (2,? 2,? 3) de una manera que puede hacer es más difícil ver patrones.

desde Geometría IM & # 8211 Unidad 4, Lección 4Próximamente, en breve, pronto!

El subprograma geogebra está disponible aquí.

Me encanta especialmente cuánto tiempo se dedica a trabajar con la mesa y no con la calculadora. Me gusta la forma en que se les pide a los estudiantes que trabajen hacia adelante y hacia atrás con los valores de la tabla y se infieren de la tabla. Por ejemplo, se pide a los estudiantes que usen la tabla para calcular la longitud del cateto adyacente en un triángulo rectángulo con ángulos de 10 grados, 80 grados y 90 grados si la hipotenusa del triángulo es de 10 unidades. ¿Qué fila y columna te ayudarían a responder esa pregunta? ¿Por qué? Los estudiantes también trabajan hacia atrás y con datos que no están en la tabla. Por ejemplo, si la razón de un cateto a la hipotenusa es 0.431, ¿cuál sería una buena estimación para los ángulos adyacentes a ese cateto? ¿Frente a esa pierna? ¿Qué filas o columnas te ayudaron a responder eso? ¿Por qué?

Cuando enseñé esta lección antes, siempre pasé directamente de proporciones similares a la calculadora. Bien podría haber estado usando un generador de números aleatorios, por lo que todos mis estudiantes sabían. Queremos que los estudiantes tengan habilidades para entender ("Te pregunté la velocidad del automóvil, ¿y no sospechabas que la calculadora decía 10,000 millas por hora?"), Pero cuando se trataba de valores trigonométricos, ni siquiera estaba dando ellos una oportunidad. A través de esta unidad, los estudiantes pasan suficiente tiempo trabajando en la mesa para desarrollar su propio sentido de una respuesta razonable antes de que se les entregue un dispositivo. Ven que las razones trigonométricas provienen de medir triángulos reales, notan patrones y tendencias en los valores, y son ellos los que se dan cuenta de que pueden usar estos patrones para ayudar a responder preguntas sin tener que hacer más mediciones: un concepto muy poderoso que les ayuda a sentirse cómodos haciendo cálculos con los valores que les dan sus calculadoras.

Una cosa más que me encanta de esta unidad es un pequeño pero importante detalle. Déjame hacerte una pregunta: en la primera línea del tercer párrafo, ¿tu cerebro dio un traspié cuando dije “coseno, seno, tangente” en ese orden? ¿Querías corregirme? ¿Te diste cuenta siquiera? Ese orden fue intencional y aparece en todas las tablas que crean los estudiantes a medida que avanzan en la unidad. "¿Por qué?" ¿usted pregunta? Porque en cursos posteriores, colocarán (cos A, pecado A) en el círculo unitario y si tienen el hábito de decir coseno, seno, tangente, no perderán el ritmo. Desearía poder recuperar la cantidad de tiempo que he pasado en mi vida recordándome a mí mismo que el (X,y) no están en el orden "intuitivo", y ahora me doy cuenta de que solo es "intuitivo" porque así es como me enseñaron. Nuestros estudiantes no notarán la diferencia y, con suerte, les resultará más fácil mantener las cosas claras.

Debo admitir que puedo imaginarme hordas de padres gesticulando salvajemente, "¿Qué quieres decir con que no aprendiste SOHCAHTOA?" pero, ¿realmente hemos hecho algún daño al omitirlo? Me ha costado un poco de práctica decir "coseno, seno, tangente", pero si les dejamos construir la comprensión conceptual, dejémosles esperar para tomar la calculadora y luego dejar que inventen sus propios mnemónicos, lo harán Estará mucho mejor a largo plazo ... y tal vez no les lleve años decidir que la trigonometría no es su tema menos favorito.


Trigonometría de triángulos rectángulos

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