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1.3: Serie Taylor y Maclaurin - Matemáticas


En las dos secciones anteriores discutimos cómo encontrar representaciones de series de potencias para ciertos tipos de funciones, específicamente, funciones relacionadas con series geométricas. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones se pueden representar mediante series de potencias y cómo encontramos tales representaciones? Si podemos encontrar una representación en serie de potencias para una función particular (f ) y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo probamos que la serie realmente converge a (f )?

Descripción general de la serie Taylor / Maclaurin

Considere una función (f ) que tiene una representación en serie de potencias en (x = a ). Entonces la serie tiene la forma

[ sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n = c_0 + c_1 (x − a) + c_2 (x − a) ^ 2 + dots. label {eq1} ]

¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos los problemas de convergencia, pero en cambio nos enfocamos en lo que debería ser la serie, si existe. Volvemos a discutir la convergencia más adelante en esta sección. Si la ecuación de la serie ref {eq1} es una representación de (f ) en (x = a ), ciertamente queremos que la serie sea igual a (f (a) ) en (x = a ) . Al evaluar la serie en (x = a ), vemos que

[ sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n = c_0 + c_1 (a − a) + c_2 (a − a) ^ 2 + dots = c_0. label {eq2} ]

Por tanto, la serie es igual a (f (a) ) si el coeficiente (c_0 = f (a) ). Además, nos gustaría que la primera derivada de la serie de potencias fuera igual a (f ′ (a) ) en (x = a ). Al diferenciar la ecuación ref {eq2} término por término, vemos que

[ dfrac {d} {dx} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = c_1 + 2c_2 (x − a) + 3c_3 (x − a) ^ 2+ puntos. Etiqueta {eq3} ]

Por lo tanto, en (x = a, ) la derivada es

[ dfrac {d} {dx} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = c_1 + 2c_2 (a − a) + 3c_3 (a − a) ^ 2+ dots = c_1. Label {eq4} ]

Por tanto, la derivada de la serie es igual a (f ′ (a) ) si el coeficiente (c_1 = f ′ (a). ) Continuando de esta forma, buscamos coeficientes (c_n ) tales que todos los derivadas de la serie de potencias La ecuación ref {eq4} concordará con todas las derivadas correspondientes de (f ) en (x = a ). La segunda y tercera derivadas de la ecuación ref {eq3} están dadas por

[ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 2c_2 + 3⋅2c_3 (x − a) +4 ⋅3c_4 (x − a) ^ 2 + dots label {eq5} ]

y

[ dfrac {d ^ 3} {dx ^ 3} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 3⋅2c_3 + 4⋅3⋅2c_4 (x− a) + 5⋅4⋅3c_5 (x − a) ^ 2 + ⋯. label {eq6} ]

Por lo tanto, en (x = a ), la segunda y tercera derivadas

[ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n) = 2c_2 + 3⋅2c_3 (a − a) + 4⋅3c_4 (a −a) ^ 2 + dots = 2c_2 label {eq7} ]

y

[ dfrac {d ^ 3} {dx ^ 3} left ( sum_ {n = 0} ^ ∞c_n (x − a) ^ n right) = 3⋅2c_3 + 4⋅3⋅2c_4 (a− a) + 5⋅4⋅3c_5 (a − a) ^ 2 + dots = 3⋅2c_3 label {eq8} ]

igual a (f '' (a) ) y (f '' '(a) ), respectivamente, si (c_2 = dfrac {f' '(a)} {2} ) y (c_3 = dfrac {f '' '(a)} {3} ⋅2 ). De manera más general, vemos que si (f ) tiene una representación en serie de potencias en (x = a ), entonces los coeficientes deberían estar dados por (c_n = dfrac {f ^ {(n)} (a) }{¡norte!}). Es decir, la serie debe ser

[ sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n = f (a) + f ′ (a) (x− a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + dfrac {f '' '(a)} {3!} (x − a) ^ 3 + ⋯ ]

Esta serie de potencias para (f ) se conoce como la serie de Taylor para (f ) en (a. ) Si (x = 0 ), entonces esta serie se conoce como la serie de Maclaurin para (f ).

Definición ( PageIndex {1} ): series de Maclaurin y Taylor

Si (f ) tiene derivadas de todos los órdenes en (x = a ), entonces elSerie de taylor para la función (f ) en (a ) es

[ sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n = f (a) + f ′ (a) (x− a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n + ⋯ ]

La serie de Taylor para (f ) en 0 se conoce como Serie Maclaurin para (f ).

Más adelante en esta sección, mostraremos ejemplos de cómo encontrar series de Taylor y discutiremos las condiciones bajo las cuales la serie de Taylor para una función convergerá a esa función. Aquí, expresamos un resultado importante. Recuerde que las representaciones de series de potencias son únicas. Por lo tanto, si una función (f ) tiene una serie de potencias en (a ), entonces debe ser la serie de Taylor para (f ) en (a ).

Singularidad de la serie Taylor

Si una función (f ) tiene una serie de potencias en a que converge a (f ) en algún intervalo abierto que contenga (a ), entonces esa serie de potencias es la serie de Taylor para (f ) en ( a).

La prueba se deriva directamente de lo discutido anteriormente.

Para determinar si una serie de Taylor converge, debemos observar su secuencia de sumas parciales. Estas sumas parciales son polinomios finitos, conocidos como Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor

Luegoth La suma parcial de la serie de Taylor para una función (f ) en (a ) se conoce como norteth Polinomio de Taylor. Por ejemplo, el 0th, 1S t, 2Dakota del Norte, y 3rd las sumas parciales de la serie de Taylor están dadas por

[ begin {align *} p_0 (x) & = f (a) [5pt] p_1 (x) & = f (a) + f ′ (a) (x − a) [5pt] p_2 (x) & = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 [5pt] p_3 ( x) & = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + dfrac {f '' '( a)} {3!} (x − a) ^ 3 end {align *} ]

respectivamente. Estas sumas parciales se conocen como 0th, 1S t, 2Dakota del Nortey 3rd Polinomios de Taylor de (f ) en (a ), respectivamente. Si (x = a ), entonces estos polinomios se conocen como Polinomios de Maclaurin para (f ). Ahora proporcionamos una definición formal de los polinomios de Taylor y Maclaurin para una función (f ).

Definición ( PageIndex {2} ): polinomio de Maclaurin

Si (f ) tiene norte derivadas en (x = a ), entonces el n-ésimo polinomio de Taylor para (f ) en (a ) es

[p_n (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + dfrac {f ' '' (a)} {3!} (x − a) ^ 3 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n. ]

El norteth El polinomio de Taylor para (f ) en 0 se conoce como nth Polinomio de Maclaurin para (f ).

Ahora mostramos cómo usar esta definición para encontrar varios polinomios de Taylor para (f (x) = ln x ) en (x = 1 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar polinomios de Taylor

Encuentra los polinomios de Taylor (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) para (f (x) = ln x ) en (x = 1 ). Utilice una herramienta gráfica para comparar la gráfica de (f ) con las gráficas de (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ).

Solución

Para encontrar estos polinomios de Taylor, necesitamos evaluar (f ) y sus primeras tres derivadas en (x = 1 ).

(f (x) = ln x ) (f (1) = 0 )

(f ′ (x) = dfrac {1} {x} ) (f ′ (1) = 1 )

(f '' (x) = - dfrac {1} {x ^ 2} ) (f '' (1) = - 1 )

(f '' '(x) = dfrac {2} {x ^ 3} ) (f' '' (1) = 2 )

Por lo tanto,

[ begin {align *} p_0 (x) & = f (1) = 0, [5pt] p_1 (x) & = f (1) + f ′ (1) (x − 1) = x− 1, [5pt] p_2 (x) & = f (1) + f ′ (1) (x − 1) + dfrac {f '' (1)} {2} (x − 1) ^ 2 = (x − 1) - dfrac {1} {2} (x − 1) ^ 2 [5pt] p_3 (x) & = f (1) + f ′ (1) (x − 1) + dfrac {f '' (1)} {2} (x − 1) ^ 2 + dfrac {f '' '(1)} {3!} (x − 1) ^ 3 = (x − 1) - dfrac {1} {2} (x − 1) ^ 2 + dfrac {1} {3} (x − 1) ^ 3 end {align *} ]

Las gráficas de (y = f (x) ) y los primeros tres polinomios de Taylor se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra los polinomios de Taylor (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) para (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ) en (x = 1 ).

Pista

Encuentra las tres primeras derivadas de (f ) y evalúalas en (x = 1. )

Respuesta

[p_0 (x) = 1 ]

[p_1 (x) = 1−2 (x − 1) ]

[p_2 (x) = 1−2 (x − 1) +3 (x − 1) ^ 2 ]

[p_3 (x) = 1−2 (x − 1) +3 (x − 1) ^ 2−4 (x − 1) ^ 3 ]

Ahora mostramos cómo encontrar polinomios de Maclaurin para (e ^ x, sin x, ) y ( cos x ). Como se indicó anteriormente, los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor centrados en cero.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): encontrar polinomios de Maclaurin

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre fórmulas para los polinomios de Maclaurin (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ). Encuentra una fórmula para norteel polinomio de Maclaurin y escríbalo usando notación sigma. Utilice una herramienta gráfica para comparar las gráficas de (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) con (f ).

  1. (f (x) = e ^ x )
  2. (f (x) = sin x )
  3. (f (x) = cos x )

Solución

Dado que (f (x) = e ^ x ), sabemos que (f (x) = f ′ (x) = f '' (x) = ⋯ = f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) para todos los enteros positivos norte. Por lo tanto,

[f (0) = f ′ (0) = f '' (0) = ⋯ = f ^ {(n)} (0) = 1 nonumber ]

para todos los enteros positivos norte. Por lo tanto, tenemos

(p_0 (x) = f (0) = 1, )

(p_1 (x) = f (0) + f ′ (0) x = 1 + x, )

(p_2 (x) = f (0) + f ′ (0) x + dfrac {f '' (0)} {2!} x ^ 2 = 1 + x + dfrac {1} {2} x ^ 2 ),

(p_3 (x) = f (0) + f ′ (0) x + dfrac {f '' (0)} {2} x ^ 2 + dfrac {f '' '(0)} {3!} x ^ 3 = 1 + x + dfrac {1} {2} x ^ 2 + dfrac {1} {3!} x ^ 3 ),

(p_n (x) = f (0) + f ′ (0) x + dfrac {f '' (0)} {2} x ^ 2 + dfrac {f '' '(0)} {3!} x ^ 3 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n = 1 + x + dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 3} {3!} + ⋯ + dfrac {x ^ n} {n!} = Sum_ {k = 0} ^ n dfrac {x ^ k} {k!} ).

La función y los primeros tres polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 2.

B. Para (f (x) = sin x ), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en (x = 0 ) se dan de la siguiente manera:

(f (x) = sin x ) (f (0) = 0 )

(f ′ (x) = cos x ) (f ′ (0) = 1 )

(f '' (x) = - sin x ) (f '' (0) = 0 )

(f '' '(x) = - cos x ) (f' '' (0) = - 1 )

(f ^ {(4)} (x) = sin x ) (f ^ {(4)} (0) = 0 ).

Dado que la cuarta derivada es ( sin x, ) el patrón se repite. Es decir, (f ^ {(2m)} (0) = 0 ) y (f ^ {(2m + 1)} (0) = (- 1) ^ m ) para (m≥0. ) Por lo tanto, tenemos

(p_0 (x) = 0, )

(p_1 (x) = 0 + x = x, )

(p_2 (x) = 0 + x + 0 = x, )

(p_3 (x) = 0 + x + 0− dfrac {1} {3!} x ^ 3 = x− dfrac {x ^ 3} {3!}, )

(p_4 (x) = 0 + x + 0− dfrac {1} {3!} x ^ 3 + 0 = x− dfrac {x ^ 3} {3!} ),

(p_5 (x) = 0 + x + 0− dfrac {1} {3!} x ^ 3 + 0 + dfrac {1} {5!} x ^ 5 = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + Dfrac {x ^ 5} {5!} ),

y para (m≥0 ),

(p_ {2m + 1} (x) = p_ {2m + 2} (x) = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} - ⋯ + (−1) ^ m dfrac {x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} = Sum_ {k = 0} ^ m (−1) ^ k dfrac {x ^ {2k + 1 }} {(2k + 1)!} ).

Los gráficos de la función y sus polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 3.

C. Para (f (x) = cos x ), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en (x = 0 ) se dan de la siguiente manera:

(f (x) = cos x ) (f (0) = 1 )

(f ′ (x) = - sin x ) (f ′ (0) = 0 )

(f '' (x) = - cos x ) (f '' (0) = - 1 )

(f '' '(x) = sin x ) (f' '' (0) = 0 )

(f ^ {(4)} (x) = cos x ) (f ^ {(4)} (0) = 1. )

Dado que la cuarta derivada es ( sin x ), el patrón se repite. En otras palabras, (f ^ {(2m)} (0) = (- 1) ^ m ) y (f ^ {(2m + 1)} = 0 ) para (m≥0 ). Por lo tanto,

(p_0 (x) = 1, )

(p_1 (x) = 1 + 0 = 1, )

(p_2 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} ),

(p_3 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 + 0 = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} ),

(p_4 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 + 0 + dfrac {1} {4!} x ^ 4 = 1− dfrac {x ^ 2} {2 !} + dfrac {x ^ 4} {4!} ),

(p_5 (x) = 1 + 0− dfrac {1} {2!} x ^ 2 + 0 + dfrac {1} {4!} x ^ 4 + 0 = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} + Dfrac {x ^ 4} {4!} ),

y para (n≥0 ),

(p_ {2m} (x) = p_ {2m + 1} (x) = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 4} {4!} - ⋯ + (- 1) ^ m dfrac {x ^ {2m}} {(2m)!} = Sum_ {k = 0} ^ m (−1) ^ k dfrac {x ^ {2k}} {(2k)!} ).

Los gráficos de la función y los polinomios de Maclaurin aparecen en la Figura 4.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre fórmulas para los polinomios de Maclaurin (p_0, p_1, p_2 ) y (p_3 ) para (f (x) = dfrac {1} {1 + x} ).

Encuentra una fórmula para norteel polinomio de Maclaurin. Escribe tu respuesta usando notación sigma.

Pista

Evalúa las primeras cuatro derivadas de (f ) y busca un patrón.

Respuesta

(p_0 (x) = 1; p_1 (x) = 1 − x; p_2 (x) = 1 − x + x ^ 2; p_3 (x) = 1 − x + x ^ 2 − x ^ 3; p_n ( x) = 1 − x + x ^ 2 − x ^ 3 + ⋯ + (- 1) ^ nx ^ n = _ {k = 0} ^ n (−1) ^ kx ^ k )

Teorema de Taylor con resto

Recuerde que el norteEl polinomio de Taylor para una función (f ) en a es la enésima suma parcial de la serie de Taylor para (f ) en a. Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge, necesitamos determinar si la secuencia de polinomios de Taylor ({p_n} ) converge. Sin embargo, no solo queremos saber si la secuencia de polinomios de Taylor converge, queremos saber si converge a (f ). Para responder a esta pregunta, definimos el resto (R_n (x) ) como

[R_n (x) = f (x) −p_n (x). ]

Para que la secuencia de polinomios de Taylor converja a (f ), necesitamos que el resto de (R_n ) converja a cero. Para determinar si (R_n ) converge a cero, introducimos Teorema de Taylor con resto. Este teorema no solo es útil para demostrar que una serie de Taylor converge a su función relacionada, sino que también nos permitirá cuantificar qué tan bien norteEl polinomio de Taylor aproxima la función.

Aquí buscamos un límite en (| R_n |. ) Considere el caso más simple: (n = 0 ). Sea (p_0 ) el 0th Polinomio de Taylor en a para una función (f ). El resto (R_0 ) satisface

(R_0 (x) = f (x) −p_0 (x) = f (x) −f (a). )

Si (f ) es diferenciable en un intervalo I que contiene (a ) y (x ), entonces, según el Teorema del valor medio, existe un número real C Entre a y X tal que (f (x) −f (a) = f ′ (c) (x − a) ). Por lo tanto,

[R_0 (x) = f ′ (c) (x − a). ]

Usando el teorema del valor medio en un argumento similar, podemos demostrar que si (f ) es norte tiempos diferenciables en un intervalo I conteniendo a y X, entonces la norteel resto (R_n ) satisface

[R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (X − a) ^ {n + 1} ]

por un número real C entre un y X. Es importante señalar que el valor C en el numerador de arriba no es el centro a, sino un valor c desconocido entre a y X. Esta fórmula nos permite obtener un límite en el resto (R_n ). Si sabemos que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣ ) está acotado por algún número real METRO en este intervalo I, luego

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ]

para todos X en el intervalo I.

Enunciamos ahora el teorema de Taylor, que proporciona la relación formal entre una función (f ) y su nortepolinomio de Taylor de grado (p_n (x) ). Este teorema nos permite acotar el error cuando se usa un polinomio de Taylor para aproximar el valor de una función, y será importante para demostrar que una serie de Taylor para (f ) converge a (f ).

Teorema de Taylor con resto

Sea (f ) una función que se puede diferenciar (n + 1 ) veces en un intervalo I que contiene el número real a. Sea (p_n ) el norteel polinomio de Taylor de (f ) en a y deja

[R_n (x) = f (x) −p_n (x) ]

ser el norteel resto. Entonces para cada X en el intervalo I, existe un numero real C Entre a yx tal que

[R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (X − a) ^ {n + 1} ].

Si existe un número real (M ) tal que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣≤M ) para todo (x∈I ), entonces

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ]

para todo (x ) en (I ).

Prueba

Fije un punto (x∈I ) e introduzca la función g tal que

[g (t) = f (x) −f (t) −f ′ (t) (x − t) - dfrac {f '' (t)} {2!} (x − t) ^ 2− ⋯ - dfrac {f ^ {(n)} (t)} {n!} (X − t) ^ n − R_n (x) dfrac {(x − t) ^ {n + 1}} {(x −a) ^ {n + 1}}. ]

Afirmamos que (g ) satisface los criterios del teorema de Rolle. Ya que (gramo) es una función polinomial (en t), es una función diferenciable. También, gramo es cero en (t = a ) y (t = x ) porque

[ begin {align} g (a) & = f (x) −f (a) −f ′ (a) (x − a) - dfrac {f '' (a)} {2!} (x −a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (X − a) ^ n − R_n (x) [5pt] & = f (x) - p_n (x) −R_n (x) [5pt] & = 0, [5pt] g (x) & = f (x) −f (x) −0− ⋯ −0 [5pt] & = 0. end {align} ]

Por lo tanto, gramo satisface el teorema de Rolle y, en consecuencia, existe C Entre a y X tal que (g ′ (c) = 0. ) Ahora calculamos (g ′ ). Usando la regla del producto, observamos que

[ dfrac {d} {dt} [ dfrac {f ^ {(n)} (t)} {n!} (x − t) ^ n] = - dfrac {f ^ {(n)} ( t)} {(n − 1)!} (x − t) ^ {n − 1} + dfrac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!} (x − t) ^ n . ]

Como consecuencia,

[g ′ (t) = - f ′ (t) + [f ′ (t) −f '' (t) (x − t)] + [f '' (t) (x − t) - dfrac {f '' '(t)} {2!} (x − t) ^ 2] + ⋯ + [ dfrac {f ^ {(n)} (t)} {(n − 1)!} (x− t) ^ {n − 1} - dfrac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!} (x − t) ^ n] + (n + 1) R_n (x) dfrac { (x − t) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} ].

Observe que hay un efecto telescópico. Por lo tanto,

[g ′ (t) = - dfrac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!} (x − t) ^ n + (n + 1) R_n (x) dfrac {(x −t) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} ].

Por el teorema de Rolle, llegamos a la conclusión de que existe un número C Entre a y X tal que (g ′ (c) = 0. ) Dado que

[g ′ (c) = - dfrac {f ^ {(n + 1}) (c)} {n!} (x − c) ^ n + (n + 1) R_n (x) dfrac {(x −c) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} ]

concluimos que

[- dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {n!} (X − c) ^ n + (n + 1) R_n (x) dfrac {(x − c) ^ n} {(x − a) ^ {n + 1}} = 0. ]

Sumando el primer término en el lado izquierdo a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados de la ecuación por (n + 1, ) llegamos a la conclusión de que

[R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (X − a) ^ {n + 1} ]

como se desee. De este hecho se deduce que si existe METRO tal que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣≤M ) para todos X en I, luego

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ].

El teorema de Taylor no solo nos permite probar que una serie de Taylor converge en una función, sino que también nos permite estimar la precisión de los polinomios de Taylor en la aproximación de valores de funciones. Comenzamos mirando aproximaciones lineales y cuadráticas de (f (x) = dfrac [3] {x} ) en (x = 8 ) y determinamos qué tan precisas son estas aproximaciones para estimar ( dfrac [3 ] {11} ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de aproximaciones lineales y cuadráticas para estimar valores de funciones

Considere la función (f (x) = sqrt [3] {x} ).

  1. Encuentra el primer y segundo polinomios de Taylor para (f ) en (x = 8 ). Utilice una herramienta gráfica para comparar estos polinomios con (f ) cerca de (x = 8. )
  2. Utilice estos dos polinomios para estimar ( sqrt [3] {11} ).
  3. Utilice el teorema de Taylor para acotar el error.

Solución:

un. Para (f (x) = sqrt [3] {x} ), los valores de la función y sus dos primeras derivadas en (x = 8 ) son los siguientes:

(f (x) = sqrt [3] {x} ) (f (8) = 2 )

(f ′ (x) = dfrac {1} {3x ^ {2/3}} ) (f ′ (8) = dfrac {1} {12} )

(f '' (x) = dfrac {−2} {9x ^ {5/3}} ) (f '' (8) = - dfrac {1} {144.} )

Por lo tanto, el primer y segundo polinomios de Taylor en (x = 8 ) están dados por

(p_1 (x) = f (8) + f ′ (8) (x − 8) )

(= 2+ dfrac {1} {12} (x − 8) )

(p_2 (x) = f (8) + f ′ (8) (x − 8) + dfrac {f '' (8)} {2!} (x − 8) ^ 2 )

(= 2+ dfrac {1} {12} (x − 8) - dfrac {1} {288} (x − 8) ^ 2 ).

La función y los polinomios de Taylor se muestran en la Figura 4.

B. Usando el primer polinomio de Taylor en (x = 8 ), podemos estimar

[ dfrac [3] {11} ≈p_1 (11) = 2 + dfrac {1} {12} (11−8) = 2.25. ]

Usando el segundo polinomio de Taylor en (x = 8 ), obtenemos

[ sqrt [3] {11} ≈p_2 (11) = 2 + dfrac {1} {12} (11−8) - dfrac {1} {288} (11−8) ^ 2 = 2.21875. ]

C. Por nota, existe un C en el intervalo ((8,11) ) tal que el resto cuando se aproxima ( sqrt [3] {11} ) por el primer polinomio de Taylor satisface

[R_1 (11) = dfrac {f '' (c)} {2!} (11−8) ^ 2. ]

No sabemos el valor exacto de C, entonces encontramos un límite superior en (R_1 (11) ) determinando el valor máximo de (f '' ) en el intervalo ((8,11) ). Dado que (f '' (x) = - dfrac {2} {9x ^ {5/3}} ), el valor más grande para (| f '' (x) | ) en ese intervalo ocurre en (x = 8 ). Usando el hecho de que (f '' (8) = - dfrac {1} {144} ), obtenemos

(| R_1 (11) | ≤ dfrac {1} {144⋅2!} (11−8) ^ 2 = 0.03125. )

De manera similar, para estimar (R_2 (11) ), usamos el hecho de que

(R_2 (11) = dfrac {f '' '(c)} {3!} (11−8) ^ 3 ).

Dado que (f '' '(x) = dfrac {10} {27x ^ {8/3}} ), el valor máximo de (f' '' ) en el intervalo ((8,11) ) es (f '' '(8) ≈0.0014468 ). Por lo tanto, tenemos

(| R_2 (11) | ≤ dfrac {0.0011468} {3!} (11−8) ^ 3≈0.0065104. )

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Encuentra el primer y segundo polinomios de Taylor para (f (x) = sqrt {x} ) en (x = 4 ). Utilice estos polinomios para estimar ( sqrt {6} ). Utilice el teorema de Taylor para acotar el error.

Pista

Evalúa (f (4), f ′ (4), ) y (f '' (4). )

Respuesta

(p_1 (x) = 2 + dfrac {1} {4} (x − 4); p_2 (x) = 2 + dfrac {1} {4} (x − 4) - dfrac {1} { 64} (x − 4) ^ 2; p_1 (6) = 2.5; p_2 (6) = 2.4375; )

(| R_1 (6) | ≤0.0625; | R_2 (6) | ≤0.015625 )

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Aproximación de ( sin x ) usando polinomios de Maclaurin

Del Ejemplo b., Los polinomios de Maclaurin para ( sin x ) están dados por

[p_ {2m + 1} (x) = p_ {2m + 2} (x) = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} - dfrac {x ^ 7} {7!} + ⋯ + (- 1) ^ m dfrac {x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} nonumber ]

para (m = 0,1,2,…. )

  1. Usa el quinto polinomio de Maclaurin para ( sin x ) para aproximar (sin ( dfrac {π} {18}) ) y acota el error.
  2. ¿Para qué valores de (x ) el quinto polinomio de Maclaurin se aproxima a ( sin x ) dentro de (0,0001 )?

Solución

un.

El quinto polinomio de Maclaurin es

[p_5 (x) = x− dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} ].

Usando este polinomio, podemos estimar de la siguiente manera:

[ sin ( dfrac {π} {18}) ≈p_5 ( dfrac {π} {18}) = dfrac {π} {18} - dfrac {1} {3!} ( dfrac {π } {18}) ^ 3+ dfrac {1} {5!} ( Dfrac {π} {18}) ^ 5≈0.173648. ]

Para estimar el error, use el hecho de que el sexto polinomio de Maclaurin es (p_6 (x) = p_5 (x) ) y calcule un límite en (R_6 ( dfrac {π} {18}) ). Por nota, el resto es

[R_6 ( dfrac {π} {18}) = dfrac {f ^ {(7)} (c)} {7!} ( Dfrac {π} {18}) ^ 7 ]

para algunos c entre 0 y ( dfrac {π} {18} ). Usando el hecho de que (∣f ^ {(7)} (x) ∣≤1 ) para todo (x ), encontramos que la magnitud del error es como máximo

[ dfrac {1} {7!} ⋅ ( dfrac {π} {18}) ^ 7≤9.8 × 10 ^ {- 10}. ]

B.

Necesitamos encontrar los valores de (x ) tales que

[ dfrac {1} {7}! | x | ^ 7≤0.0001. ]

Resolviendo esta desigualdad para (x ), tenemos que el quinto polinomio de Maclaurin da una estimación dentro de (0.0001 ) siempre que (| x | <0.907. )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Utilice el cuarto polinomio de Maclaurin para ( cos x ) para aproximar ( cos ( dfrac {π} {12}). )

Pista

El cuarto polinomio de Maclaurin es (p_4 (x) = 1− dfrac {x ^ 2} {2!} + Dfrac {x ^ 4} {4!} ).

Respuesta

0.96593

Ahora que podemos unir el resto (R_n (x) ), podemos usar este límite para demostrar que una serie de Taylor para (f ) en a converge a (f ).

Representación de funciones con series de Taylor y Maclaurin

Ahora discutimos cuestiones de convergencia para las series de Taylor. Comenzamos mostrando cómo encontrar una serie de Taylor para una función y cómo encontrar su intervalo de convergencia.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar una serie de Taylor

Encuentre la serie de Taylor para (f (x) = dfrac {1} {x} ) en (x = 1 ). Determine el intervalo de convergencia.

Solución

Para (f (x) = dfrac {1} {x}, ) los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en (x = 1 ) son

(f (x) = dfrac {1} {x} ) (f (1) = 1 )

(f ′ (x) = - dfrac {1} {x ^ 2} ) (f ′ (1) = - 1 )

(f '' (x) = dfrac {2} {x ^ 3} ) (f '' (1) = 2! )

(f '' '(x) = - dfrac {3⋅2} {x ^ 4} ) (f' '' (1) = - 3! )

(f ^ {(4)} (x) = dfrac {4⋅3⋅2} {x ^ 5} ) (f ^ {(4)} (1) = 4! ).

Es decir, tenemos (f ^ {(n)} (1) = (- 1) ^ nn! ) Para todo (n≥0 ). Por lo tanto, la serie de Taylor para (f ) en (x = 1 ) está dada por

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (1)} {n!} (x − 1) ^ n = sum_ {n = 0} ^ ∞ (- 1) ^ n (x − 1) ^ n ).

Para encontrar el intervalo de convergencia, usamos la prueba de razón. Encontramos eso

( dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = dfrac {∣ (−1) ^ {n + 1} (x − 1) n ^ {+ 1} ∣} {| ( −1) ^ n (x − 1) ^ n |} = | x − 1 | ).

Por lo tanto, la serie converge si (| x − 1 | <1. ) Es decir, la serie converge para (0

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n (2−1) ^ n = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n )

diverge por la prueba de divergencia. Del mismo modo, en (x = 0, )

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n (0−1) ^ n = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ {2n} = sum_ {n = 0} ^ ∞1 )

diverge. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es ((0,2) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentre la serie de Taylor para (f (x) = dfrac {1} {2} ) en (x = 2 ) y determine su intervalo de convergencia.

Pista

(f ^ {(n)} (2) = dfrac {(- 1) ^ nn!} {2 ^ {n + 1}} )

Respuesta

( dfrac {1} {2} Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ ( dfrac {2 − x} {2}) ^ n ). El intervalo de convergencia es ((0,4) ).

Sabemos que la serie de Taylor encontrada en este ejemplo converge en el intervalo ((0,2) ), pero ¿cómo sabemos que realmente converge a (f )? Consideramos esta pregunta con más generalidad en un momento, pero para este ejemplo, podemos responder esta pregunta escribiendo

[f (x) = dfrac {1} {x} = dfrac {1} {1− (1 − x)}. ]

Es decir, (f ) se puede representar mediante la serie geométrica ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (1 − x) ^ n ). Dado que esta es una serie geométrica, converge a ( dfrac {1} {x} ) siempre que (| 1 − x | <1. ) Por lo tanto, la serie de Taylor encontrada en el Ejemplo converge a ( f (x) = dfrac {1} {x} ) en ((0,2). )

Ahora consideramos la pregunta más general: si una serie de Taylor para una función (f ) converge en algún intervalo, ¿cómo podemos determinar si realmente converge a (f )? Para responder a esta pregunta, recuerde que una serie converge a un valor particular si y solo si su secuencia de sumas parciales converge a ese valor. Dada una serie de Taylor para (f ) en a, la n-ésima suma parcial está dada por el n-ésimo polinomio de Taylor pn. Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge a (f ), necesitamos determinar si

( Displaystyle lim_ {n → ∞} p_n (x) = f (x) ).

Dado que el resto (R_n (x) = f (x) −p_n (x) ), la serie de Taylor converge a (f ) si y solo si

( Displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0. )

Enunciamos ahora este teorema formalmente.

Convergencia de la serie Taylor

Suponga que (f ) tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo (I ) que contiene (a ). Entonces la serie de Taylor

[ sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n ]

converge a (f (x) ) para todo (x ) en (I ) si y solo si

[ lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0 ]

para todo (x ) en (I ).

Con este teorema, podemos probar que una serie de Taylor para (f ) en a converge a (f ) si podemos probar que el resto (R_n (x) → 0 ). Para demostrar que (R_n (x) → 0 ), normalmente usamos el límite

[| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | X − a | ^ {n + 1} ]

del teorema de Taylor con el resto.

En el siguiente ejemplo, encontramos la serie de Maclaurin para (e ^ x ) y ( sin x ) y mostramos que estas series convergen a las funciones correspondientes para todos los números reales al demostrar que los restos (R_n (x ) → 0 ) para todos los números reales (x ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): búsqueda de la serie Maclaurin

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre la serie de Maclaurin y su intervalo de convergencia. Utilice Nota para demostrar que la serie de Maclaurin para (f ) converge a (f ) en ese intervalo.

  1. (e ^ x )
  2. ( sin x )

Solución

un. Utilizando la norteEn el polinomio de Maclaurin para (e ^ x ) encontrado en el Ejemplo a., encontramos que la serie de Maclaurin para (e ^ x ) está dada por

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {x ^ n} {n!} ).

Para determinar el intervalo de convergencia, usamos la prueba de razón. Ya que

( dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1)!} ⋅ dfrac {n!} {| x | ^ n} = dfrac {| x |} {n + 1} ),

tenemos

( Displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = lim_ {n → ∞} dfrac {| x |} {n + 1} = 0 )

para todo (x ). Por lo tanto, la serie converge absolutamente para todo (x ) y, por lo tanto, el intervalo de convergencia es ((- ∞, ∞) ). Para mostrar que la serie converge a (e ^ x ) para todo (x ), usamos el hecho de que (f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) para todo (n ≥0 ) y (e ^ x ) es una función creciente en ((- ∞, ∞) ). Por lo tanto, para cualquier número real (b ), el valor máximo de (e ^ x ) para todo (| x | ≤b ) es (e ^ b ). Por lo tanto,

(| R_n (x) | ≤ dfrac {e ^ b} {(n + 1)!} | X | ^ {n + 1} ).

Ya que acabamos de mostrar eso

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {| x | ^ n} {n!} )

converge para todos X, por la prueba de divergencia, sabemos que

( Displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1)!} = 0 )

para cualquier número real X. Combinando este hecho con el teorema de la compresión, el resultado es ( lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0. )

B. Utilizando la norteEn el polinomio de Maclaurin para ( sin x ) encontrado en el Ejemplo b., encontramos que la serie de Maclaurin para ( sin x ) está dada por

( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n dfrac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} ).

Para aplicar la prueba de razón, considere

( dfrac {| a_ {n + 1} |} {| a_n |} = dfrac {| x | ^ {2n + 3}} {(2n + 3)!} ⋅ dfrac {(2n + 1) !} {| x | ^ {2n + 1}} = dfrac {| x | ^ 2} {(2n + 3) (2n + 2)} ).

Ya que

( Displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {| x | ^ 2} {(2n + 3) (2n + 2)} = 0 )

para todo (x ), obtenemos el intervalo de convergencia como ((- ∞, ∞). ) Para mostrar que la serie de Maclaurin converge a ( sin x ), observe (R_n (x) ). Para cada (x ) existe un número real (c ) entre (0 ) y (x ) tal que

(R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} X ^ {n + 1} ).

Dado que (∣f ^ {(n + 1)} (c) ∣≤1 ) para todos los enteros (n ) y todos los números reales (c ), tenemos

(| R_n (x) | ≤ dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1)!} )

para todos los números reales (x ). Usando la misma idea que en la parte a., El resultado es ( displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0 ) para todo (x ), y por lo tanto, la serie de Maclaurin para ( sin x ) converge a ( sin x ) para todo (x ) real.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre la serie de Maclaurin para (f (x) = cos x ). Utilice la prueba de razón para demostrar que el intervalo de convergencia es ((- ∞, ∞) ). Muestre que la serie de Maclaurin converge a ( cos x ) para todos los números reales (x ).

Pista

Usa los polinomios de Maclaurin para ( cos x. )

Respuesta

( sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {(2n)!} )

Por la prueba de razón, el intervalo de convergencia es ((- ∞, ∞). ) Dado que (| R_n (x) | ≤ dfrac {| x | ^ {n + 1}} {(n + 1) !} ), la serie converge a ( cos x ) para todo (x ) real.

Demostrando que mi es irracional

En este proyecto, usamos los polinomios de Maclaurin para (e ^ x ) para demostrar que e es irracional. La prueba se basa en suponer que e es racional y llega a una contradicción. Por lo tanto, en los siguientes pasos, suponemos (e = r / s ) para algunos enteros rys donde (s ≠ 0. )

  1. Escribe los polinomios de Maclaurin (p_0 (x), p_1 (x), p_2 (x), p_3 (x), p_4 (x) ) para (e ^ x ). Evalúe (p_0 (1), p_1 (1), p_2 (1), p_3 (1), p_4 (1) ) para estimar e.
  2. Deje que (R_n (x) ) denote el resto cuando use (p_n (x) ) para estimar (e ^ x ). Por lo tanto, (R_n (x) = e ^ x − p_n (x) ) y (R_n (1) = e − p_n (1) ). Suponiendo que (e = dfrac {r} {s} ) para los números enteros rys, evalúe (R_0 (1), R_1 (1), R_2 (1), R_3 (1), R_4 (1). )
  3. Usando los resultados de la parte 2, demuestre que para cada resto (R_0 (1), R_1 (1), R_2 (1), R_3 (1), R_4 (1), ) podemos encontrar un entero k tal que (kR_n (1) ) es un número entero para (n = 0,1,2,3,4. )
  4. Escriba la fórmula para el n-ésimo polinomio de Maclaurin (p_n (x) ) para (e ^ x ) y el resto correspondiente (R_n (x). ) Demuestre que (sn! R_n (1) ) es un número entero.
  5. Usa el teorema de Taylor para escribir una fórmula explícita para (R_n (1) ). Concluya que (R_n (1) ≠ 0 ), y por lo tanto, (sn! R_n (1) ≠ 0 ).
  6. Usa el teorema de Taylor para encontrar una estimación de (R_n (1) ). Use esta estimación combinada con el resultado de la parte 5 para mostrar que (| sn! R_n (1) | < dfrac {se} {n + 1} ). Concluya que si norte es lo suficientemente grande, entonces (| sn! R_n (1) | <1 ). Por lo tanto, (sn! R_n (1) ) es un número entero con magnitud menor que 1. Por lo tanto, (sn! R_n (1) = 0 ). Pero de la parte 5, sabemos que (sn! R_n (1) ≠ 0 ). Hemos llegado a una contradicción y, en consecuencia, la suposición original de que e es racional debe ser falsa.

Conceptos clave

  • Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor (x = a ). Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en (x = 0 ).
  • El norteLos polinomios de Taylor de grado t para una función (f ) son las sumas parciales de la serie de Taylor para (f ).
  • Si una función (f ) tiene una representación en serie de potencias en (x = a ), entonces está dada por su serie de Taylor en (x = a ).
  • Una serie de Taylor para (f ) converge a (f ) si y solo si ( displaystyle lim_ {n → ∞} R_n (x) = 0 ) donde (R_n (x) = f (x ) −p_n (x) ).
  • La serie de Taylor para (e ^ x, sin x ) y ( cos x ) convergen a las funciones respectivas para todo x real.

Ecuaciones clave

  • Serie de Taylor para la función (f ) en el punto (x = a )

( sum_ {n = 0} ^ ∞ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n = f (a) + f ′ (a) (x− a) + dfrac {f '' (a)} {2!} (x − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (x − a) ^ n + ⋯ )

Glosario

Polinomio de Maclaurin
un polinomio de Taylor centrado en 0; el n-ésimo polinomio de Taylor para (f ) en 0 es el n-ésimo polinomio de Maclaurin para (f )
Serie Maclaurin
una serie de Taylor para una función (f ) en (x = 0 ) se conoce como una serie de Maclaurin para (f )
Polinomios de Taylor
la norteEl polinomio de Taylor para (f ) en (x = a ) es (p_n (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + dfrac {f '' (a) } {2!} (X − a) ^ 2 + ⋯ + dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (X − a) ^ n )
Serie de taylor
una serie de potencias en a que converge a una función (f ) en algún intervalo abierto que contiene un
Teorema de Taylor con resto

para una función (f ) y el norteel polinomio de Taylor para (f ) en (x = a ), el resto (R_n (x) = f (x) −p_n (x) ) satisface (R_n (x) = dfrac {f ^ {(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (x − a) ^ {n + 1} )

para algunos C Entre X y a; si existe un intervalo I que contiene a y un número real METRO tal que (∣f ^ {(n + 1)} (x) ∣≤M ) para todos X en I, entonces (| R_n (x) | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} | x − a | ^ {n + 1} )

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


1.3: Serie Taylor y Maclaurin - Matemáticas

Descripción de la conferencia

Esta video conferencia, parte de la serie Vídeos de cálculo: series y secuencias por el Prof., actualmente no tiene una descripción detallada y el título de la videoconferencia. Si ha visto esta conferencia y sabe de qué se trata, en particular sobre los temas de matemáticas que se tratan, ayúdenos comentando este video con su descripción y título. Muchas gracias de,

- El equipo de CosmoLearning

Índice de cursos

  1. Secuencia: convergencia y divergencia (parte 1)
  2. Secuencias: convergentes o divergentes (parte 2)
  3. Serie: Serie geométrica y la prueba de divergencia
  4. Serie geométrica: representación de fracciones
  5. Ejemplos de series geométricas y la prueba de divergencia (Parte 1)
  6. Ejemplos de series geométricas y la prueba de divergencia (Parte 2)
  7. Serie telescópica
  8. Divergencias de series: uso de sumas parciales
  9. Prueba integral para serie
  10. Uso de la prueba integral para series: ejemplo 1
  11. Using the Integral Test for Series: Example 2
  12. Using the Integral Test for Series: Example 3
  13. Series: Limit and Direct Comparison Test
  14. Series: Limit and Direct Comparison Test Examples
  15. Series: Limit and Direct Comparison Test Examples (cont.)
  16. Alternating Series (Part 1)
  17. Alternating Series (Part 2)
  18. Alternating Series Estimation Theorem
  19. Ratio Test to Determine if a Series Converges (Ex. 1)
  20. Ratio Test to Determine if a Series Converges (Ex. 2)
  21. Root Test for Series
  22. Power Series Representation of Functions
  23. Power Series: Interval of Convergence
  24. Differentiating and Integrating Power Series
  25. Power Series: Multiplying and Dividing
  26. Taylor and MacLaurin Series (Ex. 1)
  27. Taylor and MacLaurin Series (Ex. 2)
  28. Taylor's Remainder Theorem or Taylor's Inequality
  29. The Binomial Series (Ex. 1)
  30. The Binomial Series (Ex. 2)

Course Description


In this course, Calculus Instructor Patrick gives 30 video lessons on Series and Sequences. Some of the Topics covered are: Convergence and Divergence, Geometric Series, Test for Divergence, Telescoping Series, Integral Test, Limit and Direct Comparison Test, Alternating Series, Alternating Series Estimation Theorem, Ratio Test, Power Series, Taylor and MacLaurin Series, Taylor's Remainder Theorem (Taylor's Inequality), Binomial Series, and many more.


Differences Between the Taylor and Maclaurin Series

Aside from flying cockroaches, here is another thing that most people detest – math. We are often stricken with fear when we are facing math. The numbers seem like they are rattling our head, and it seems that math is eating up all of our life force. No matter what we do, we can’t escape the clutches of math. From counting to complex equations, we are always dealing with math. Nevertheless, we have to deal with it. Face your fear and learn to handle it. We have to meet Taylor and Maclaurin. Who are these people? These are not people. These are mathematical series.

In the field of mathematics, a Taylor series is defined as the representation of a function as an infinite sum of terms that are calculated from the values of the function’s derivatives at a single point. The Taylor series got its name from Brook Taylor. Brook Taylor was an English mathematician in 1715. It is all right to approximate the value of a function through utilizing the finite number of terms in the Taylor series. Approximating the value is already a common practice. In this approximation process, the Taylor series can yield quantitative estimates on the error. A Taylor polynomial is the term used to represent the finite number of the Taylor series’ initial function terms.

According to wikipedia.org, there are other uses of the Taylor series for determining analytic functions. The Taylor series can be used in obtaining the partial sums or the Taylor polynomials through using approximation techniques in the entire function. Another usage of the Taylor series is the differentiation and integration of the power series which can be done with each term. The Taylor series can also provide a complex analysis through integrating the analytic function with a holomorphic function in a complex plane. It can also be used to obtain and compute values numerically in a truncated series. This is done by applying the Chebyshev formula and Clenshaw algorithm. Another thing is that you can use the Taylor series in algebraic operations. An example of this is applying the Euler’s formula connecting with the Taylor series for the expansion of trigonometric and exponential functions. This can be used in the field of harmonic analysis. You can also use the Taylor series in the field of physics.

A Taylor series becomes a Maclaurin series if the Taylor series is centered at the point of zero. The Maclaurin series is named after Colin Maclaurin. Colin Maclaurin was a Scottish mathematician who had greatly used the Taylor series during the 18th century. A Maclaurin series is the expansion of the Taylor series of a function about zero. According to mathworld.wolfram.com, the Maclaurin series is a type of series expansion in which all terms are non-negative integer powers of the variable. Other more general types of series include the Laurent series and the Puiseux series. The Taylor and Maclaurin series have many uses in the mathematical field including the sciences.

In the field of mathematics, a Taylor series is defined as the representation of a function as an infinite sum of terms that are calculated from the values of the function’s derivatives at a single point.

A Taylor series becomes a Maclaurin series if the Taylor series is centered at the point of zero. A Maclaurin series is the expansion of the Taylor series of a function about zero.

The Taylor series got its name from Brook Taylor. Brook Taylor was an English mathematician in 1715. The Maclaurin series is named after Colin Maclaurin. Colin Maclaurin was a Scottish mathematician who had greatly used the Taylor series during the 18th century.


Maclaurin series of $sin x $ and $cos x $

Let $f(x) = sin x $. Then $f(0) = 0$. Going through the derivatives

$ begin f'(x) &= cos x Rightarrow f'(0) = 1 f''(x) &= -sin x Rightarrow f''(0) = 0 f'''(x) &= -cos x Rightarrow f'''(0) = -1 end $

And so on. The formula for a Maclaurin series is

Therefore the Maclaurin series of $sin x $ is

By similar reasoning the Maclaurin series of $cos x $ is

Here's a graph showing truncated version of the Maclaurin series compared to the actual $sin x $ graph.

  • $y=sin x $ is in blue
  • $y=x$ is in red
  • $y=x - frac<3!>$ is in orange
  • $y=x - frac<3!>+ frac<5!>$ is in purple
  • $y=x - frac<3!>+ frac<5!>- frac<7!>$ is in green

See how each progressively longer truncation gets closer to the $sin x $ graph.

Maclaurin series for trigonometric functions are particularly useful because many of them are periodic over $x$, and longer truncations provide extremely close approximations for relatively small $x$.


How do you find the maclaurin series expansion of #1/(x+3)#?

Another way of finding the Maclaurin series is basically to write it out term by term as follows.

If the Maclaurin series for #1/(x+3)# is #sum_(n=0)^oo a_n x^n# , then #1 = (3+x)sum_(n=0)^oo a_n x^n#

So examining each power of #x# in turn, we can start writing:

since we require #a_0 = 1/3# in order that the constant term (i.e. the term in #x^0# ) is #1# when multiplied by #(3+x)# .

Note that this will result in an unwanted term #x * 1/3# . So to cancel that out, the next term must be #-x/9# to give #-x/3# when multiplied by #3# . So our product looks like this:

This will result in an unwanted term #-x^2/9# . To cancel that out, the next term must be #x^2/27# .

Repeating, it soon becomes clear that the series we want is a geometric series with common ratio #-x/3# , looking like this:


1.3: Taylor and Maclaurin Series - Mathematics

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Mathematical Expression Editor

We find the Maclaurin series representation of a function.

Maclaurin Series

Maclaurin series are a special case of Taylor series with center . In this section we will develop the Maclaurin series for and and use these to create Maclaurin series of other, related functions.

Recall the formula for the coefficients of a Taylor series centered at is . Substituting , we get the formula for the coefficients of a Maclaurin series: We now use this to create the Maclaurin series for .

We now turn to two examples of finding Maclauirin series by making modifications to the previous example.

We can now write the Maclaurin series representation as This can be writtien in summation notation as The ratio test can be used to verify that this representation is valid on the interval .

We now consider an example of a Maclaurin series obtained by making modifications to the previous example.

We now consider an example of a Maclaurin series obtained by making modifications to the previous example.

We will use the Maclaurin series for with replacing and then multiply the result by . This gives This representation is valid in the interval .


The Basic Idea

Ok, so how do we come up with a power series to represent a function? In other words, start with the following (just using the general form of a power series: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( x − a ) n f(x)=sum_^ c_n(x−a)^n f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ ​ c n ​ ( x − a ) n

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Ejemplo 1

Reprove that if $f(x) = sum_^ a_n(x - c)^n$ on the interval $(c - R, c + R)$ then $a_n = frac(c)>$ for each $n = 0, 1, 2, . $ .

Suppose that $f(x) = sum_^ a_n(x - c)^n$ on $(c - R, c + R)$ . Then we have that:

Plugging in $x = c$ and we have that $a_0 = frac(c)> <0!>= f(c)$ .

If we differentiate the equation from above, we have that:

Plugging in $x = c$ once again and we have that $a_1 = frac(c)> <1!>= f'(c)$ .

If we differentiate the equative above yet again, then we have that:

Plugging in $x = c$ and we see that $2a_2 = f^<(2)>(c)$ and so $a_2 = frac(c)><2!>$ . We can repeat this process inductive and have that for $n = 0, 1, 2, . $ :


Section 3.7 Taylor and Maclaurin Series ¶ permalink

In this section we will derive a way to represent any smooth (infinitely differentiable) function by a power series.

Suppose that a function (f(x)) can be represented by a power series centered on (a ext<,>) i.e. assume (f(x)) can be written as power series egin f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + c_4(x-a)^4 + cdots label ag <3.7.1>end where the coefficients, (c_n) are to be determined. We know from theorem <<thm-differentiating-and-integrating-power-series>> that power series are differentiable term by term, thus upon differentiating serveral times we get: egin f'(x) & = 1 c_1 + 2 c_2(x-a) + 3 c_3(x-a)^2 + 4 c_4(x-a)^3 + 5 c_5(x-a)^4 + cdots f''(x) & = (2cdot 1) c_2 + (3cdot 2) c_3(x-a) + (4cdot 3) c_4(x-a)^2 + (5cdot 4) c_5(x-a)^3 + cdots f'''(x) & = (3 cdot 2cdot 1) c_3 + (4cdot 3cdot 2) c_4(x-a) + (5cdot 4 cdot 3) c_5(x-a)^2 + (6cdot 5 cdot 4) c_6(x-a)^3 + cdots & , vdots f^<(n)>(x) & = n! c_n + frac<(n+1)!> <1!>c_(x-a) + frac<(n+2)!> <2!>c_(x-a)^2 +cdots end

Evaluating (f(x)) and its derivatives at (x=a) yields: egin f(a) & = c_0 f'(a) & = 1cdot c_1 f''(a) & = 2cdot 1cdot c_2 f'''(a) & = 3cdot 2cdot 1 cdot c_3 & : , vdots f^<(n)>(a) & = n! c_n end The final line above allows us to determine the needed coefficients. comenzar oxed(a)>> label ag <3.7.2>end Where we define (0! equiv 1) and (f^<(0)>(x) equiv f(x) ext<.>)

Theorem 3.7.1 Taylor Series Representation of a Function

If (f(x)) has a power series representation (expansion) at (a ext<,>) i.e. if egin f(x) = sum_^ c_n(x-a)^n qquad abs lt R, end then the coefficients, (c_n ext<,>) are egin c_n = frac(a)> fin

When the point that we center on, (a ext<,>) is zero, then we call the series a Maclaurin series. Let's compute the Maclaurin series for an especially important function (f(x) = e^x ext<.>) Since, ( fracleft( e^x ight) = e^x ext<,>) we have egin f(x) = f'(x) = f''(x) = cdots = f^<(n)>(x) = e^x, end and therefore egin f(0) = f'(0) = f''(0) = cdots = f^<(n)>(0) = 1. end Thus egin f(x) & = c_0 x^0 + c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3 + cdots f(x) & = frac <0!>x^0 + frac <1!>x^1 + frac<2!>x^2 + frac<3!>x^3 + cdots e^x & = 1 + x + frac<1><2!>x^2 + frac<1><3!>x^3 + frac<1><4!>x^4 + cdots end

Definition 3.7.2 Taylor Polynomial

El degree (n) Taylor polynomial for the function (f(x)) is given by: egin T_n(x) = sum_^ c_k (x-a)^k qquad c_k = frac(a)> label ag <3.7.3>end

Example 3.7.3 Taylor Polynomial

Here we will compute the Taylor polynomial of degree 3 for the function (f(x) = sin 2x) centered on (a = pi/2 ext<.>)

comenzar f(x) & = sin 2x & f(pi/2) &= 0 f'(x) & = 2cos 2x & f'(pi/2) &= -2 f''(x) & = -4sin 2x & f''(pi/2) &= 0 f'''(x) & = -8cos 2x & f'''(pi/2) &= 8 end comenzar c_0 = frac <0!>= 0 quad c_1 = frac <1!>= -2 quad c_2 = frac <2!>= 0 quad c_3 = frac <3!>= frac<8> <6>= frac<4> <3>end Thus the degree three Taylor polynomial which approximates (f(x) = sin 2x) near (pi/2) is: egin T_3(x) = -2 left( x- frac <2> ight) + frac<4> <3>left( x- frac <2> ight)^3 end

The preceding work can be checked with Sage.

The degree 3 Taylor polynomial, (T_3(x) ext<,>) as well as several other Taylor polynomials for the function (sin 2x) are plotted in figure 3.7.4.

Figure 3.7.4 Taylor polynomials for (sin 2x) centered on (pi/2 ext<.>)

Example 3.7.5 Maclaurin Series for (cos x) and (sin x)

The table below summarizes the condition that a function must satisfy in order to be even or odd.

Even: (f(-x) = f(x)) for all (x)
Odd: (f(-x) = -f(x)) for all (x)

The function (f(x) = cos(x)) is even because (cos(-x) = cos(x)) for all (x ext<.>) When a function is even its Maclaurin series will only contain even powers of (x ext<.>) Similarly, when a function is odd, its Maclaurin series will only contain odd powers of (x ext<.>) In this example we will compute the Maclaurin series for (cos x) to demonstrate this phenomenon.

Next we compute the Maclaurin series for (g(x) = sin x) which is and odd function because (sin(-x) = -sin(x)) for all (x ext<.>) egin g(x) &= sin x & g(0) & = 0 g'(x) &= cos x & g'(0) & = 1 g''(x) &= -sin x & g''(0) & = 0 g'''(x) &= -cos x & g'''(0) & = -1 g^<(4)>(x) &= sin x & g^<(4)>(0) & = 0 g^<(5)>(x) &= cos x & g^<(5)>(0) & = 1 end Thus the Maclaurin series for (g(x)=sin x) is: egin g(x) = x - frac <3!>+ frac <5!>- frac <7!>+ cdots = sum_^ (-1)^n frac> <(2n+1)!> ext <.>end


Ver el vídeo: Taylor Series and Maclaurin Series - Calculus 2 (Enero 2022).