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4.7: Productos binomiales especiales


Tres productos binomiales ocurren con tanta frecuencia en álgebra que los designamos como productos binomiales especiales. Los hemos visto antes, pero los volveremos a estudiar por su importancia como dispositivos para ahorrar tiempo y para resolver ecuaciones (que estudiaremos en un capítulo posterior).

Estos productos especiales se pueden mostrar como cuadrados de un binomio

((a + b) ^ 2 ) y (a-b) ^ 2 )

y como el suma y diferencia de dos términos.

((a + b) (a-b) )

Hay dos reglas simples que nos permiten expandir (multiplicar) fácilmente estos binomios. Vale la pena memorizarlos, ya que ahorrarán mucho tiempo en el futuro.

Expandiendo ((a + b) ^ 2 ) y ((a − b) ^ 2 )

Cuadrar un binomio

Para cuadrar un binomio:

1. Cuadre el primer término.

2. Tome el producto de los dos términos y duplíquelo.

3. Cuadre el último término.

4. Suma los tres resultados

((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 )

((a-b) ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Expandiendo (a + b) (a − b)

Suma y diferencia de dos términos.

Para expandir la suma y la diferencia de dos términos: †

  1. Cuadre el primer término y cuadre el segundo término.
  2. Reste el cuadrado del segundo término del cuadrado del primer término.

((a + b) (a-b) = a ^ 2 - b ^ 2 )

Conjunto de muestra A

Ejemplo ( PageIndex {1} )

(
(x + 4) ^ {2}
)
Cuadre el primer término: (x ^ {2} ).
El producto de ambos términos es (4x ). Duplicarlo: (8x ).
Cuadre el último término: 16.

Súmalos juntos: (x ^ {2} + 8x + 16 )

((x + 4) ^ {2} = x ^ {2} +8 x + 16 )

Tenga en cuenta que ((x + 4) ^ {2} neq x ^ {2} + 4 ^ {2} ). ¡Falta el término (8x )!

Ejemplo ( PageIndex {2} )

(
(a-8) ^ {2}
)
Cuadre el primer término: (a ^ {2} ).
El producto de ambos términos es (- 8a ). Duplicarlo: (- 16a ).
Cuadre el último término: 64.

Súmelos: (a ^ 2 + (-16a) + 64 )

((a-8) ^ 2 = a ^ 2 - 16a + 64 )

Observe que el signo del último término de esta expresión es " (+ )". Esto siempre sucederá ya que el último término resulta de un número al cuadrado. Cualquier número distinto de cero multiplicado por sí mismo siempre es positivo.

((+) (+) = + ) y ((-) (-) = + )

El signo del segundo término en el trinomio será siempre el signo que ocurre dentro los paréntesis.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

(
(y-1) ^ {2}
)
Cuadre el primer término: (y ^ {2} ).
El producto de ambos términos es (- y ). Doblarlo: (- 2y ).
Cuadre el último término: +1.

Súmalos: (y ^ 2 + (-2y) + 1 )

Ejemplo ( PageIndex {4} )

(
(5x + 3) ^ {2}
)
Cuadre el primer término: (25x ^ {2} ).
El producto de ambos términos es (15x ). Duplicarlo: (30x ).
Cuadre el último término: 9.

Súmalos juntos: (25x ^ 2 + 30x + 9 )

Ejemplo ( PageIndex {5} )

(
(7b-2) ^ {2}
)
Cuadre el primer término: (49b ^ {2} ).
El producto de ambos términos es (- 14b ). Duplicarlo: (- 28b ).
Cuadre el último término: 4.

Súmalos: (49b ^ 2 + (-28b) + 4 )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

(
(x + 6) (x-6)
)
Eleva al cuadrado el primer término: (x ^ 2 ).
Reste el cuadrado del segundo término ( (36 )) del cuadrado del primer término: (x ^ 2 - 36 )

((x + 6) (x-6) = x ^ 2 - 36 )

Ejemplo ( PageIndex {7} )

(
(4a − 12) (4a + 12)
)
Eleva al cuadrado el primer término: (16a ^ 2 ).
Reste el cuadrado del segundo término ( (144 )) del cuadrado del primer término: (16a ^ 2-144 )

((4a-12) (4a + 12) = 16a ^ 2-144 )

Ejemplo ( PageIndex {8} )

(
(6x + 8 años) (6x − 8 años)
)
Eleva al cuadrado el primer término: (36x ^ 2 ).
Reste el cuadrado del segundo término ( (64y ^ 2 )) del cuadrado del primer término: (36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

((6x + 8y) (6x-8y) = 36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

Conjunto de práctica A

Encuentra los siguientes productos.

Problema de práctica ( PageIndex {1} )

((x + 5) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + 10x + 25 )

Problema de práctica ( PageIndex {2} )

((x + 7) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + 14x + 49 )

Problema de práctica ( PageIndex {3} )

((y-6) ^ 2 )

Respuesta

(y ^ 2 - 12y + 36 )

Problema de práctica ( PageIndex {4} )

((3a + b) ^ 2 )

Respuesta

(9a ^ 2 + 6ab + b ^ 2 )

Problema de práctica ( PageIndex {5} )

((9m-n) ^ 2 )

Respuesta

(81m ^ 2 - 18mn + n ^ 2 )

Problema de práctica ( PageIndex {6} )

((10x - 2 años) ^ 2 )

Respuesta

(100x ^ 2 - 40xy + 4y ^ 2 )

Problema de práctica ( PageIndex {7} )

((12a - 7b) ^ 2 )

Respuesta

(144a ^ 2 - 168ab + 49b ^ 2 )

Problema de práctica ( PageIndex {8} )

((5h - 15k) ^ 2 )

Respuesta

(25h ^ 2 - 150hk + 225k ^ 2 )

Ejercicios

Para los siguientes problemas, busque los productos.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

((x + 3) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + 6x + 9 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

((x + 5) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

((x + 8) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + 16x + 64 )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

((x + 6) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

((y + 9) ^ 2 )

Respuesta

(y ^ 2 + 18y + 81 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

((y + 1) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

((a-4) ^ 2 )

Respuesta

(a ^ 2 - 8a + 16 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

((a-6) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

((a-7) ^ 2 )

Respuesta

(a ^ 2 - 14a + 49 )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

((b + 10) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

((b + 15) ^ 2 )

Respuesta

(b ^ 2 + 30b + 225 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

((a-10) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

((x-12) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 - 24x + 144 )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

((x + 20) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

((y-20) ^ 2 )

Respuesta

(y ^ 2 - 40y + 400 )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

((3x + 5) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

((4x + 2) ^ 2 )

Respuesta

(16x ^ 2 + 16x + 4 )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

((6x - 2) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

((7x - 2) ^ 2 )

Respuesta

(49x ^ 2 - 28x + 4 )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

((5a - 6) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

((3a - 9) ^ 2 )

Respuesta

(9a ^ 2 - 54a + 81 )

Ejercicio ( PageIndex {22} )

((3w - 2z) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

((5a - 3b) ^ 2 )

Respuesta

(25a ^ 2 - 30ab + 9b ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {24} )

((6t - 7s) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {25} )

((2h - 8k) ^ 2 )

Respuesta

(4 h ^ 2 - 32 hk + 64 k ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {26} )

((a + dfrac {1} {2}) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

((a + dfrac {1} {3}) ^ 2 )

Respuesta

(a ^ 2 + dfrac {2} {3} a + dfrac {1} {9} )

Ejercicio ( PageIndex {28} )

((x + dfrac {3} {4}) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {29} )

((x + dfrac {2} {5}) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + dfrac {4} {5} x + dfrac {4} {25} )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

((x - dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {31} )

((y- dfrac {5} {6}) ^ 2 )

Respuesta

(y ^ 2 - dfrac {5} {3} y + dfrac {25} {36} )

Ejercicio ( PageIndex {32} )

((y + dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {33} )

((x + 1.3) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 + 2.6x + 1.69 )

Ejercicio ( PageIndex {34} )

((x + 5.2) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {35} )

((a + 0.5) ^ 2 )

Respuesta

(a ^ 2 + a + 0.25 )

Ejercicio ( PageIndex {36} )

((a + 0.08) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {37} )

((x - 3,1) ^ 2 )

Respuesta

(x ^ 2 - 6.2x + 9.61 )

Ejercicio ( PageIndex {38} )

((y - 7.2) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {39} )

((b - 0.04) ^ 2 )

Respuesta

(b ^ 2 - 0.08b + 0.0016 )

Ejercicio ( PageIndex {40} )

((f - 1.006) ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {41} )

((x + 5) (x - 5) )

Respuesta

(x ^ 2 - 25 )

Ejercicio ( PageIndex {42} )

((x + 6) (x-6) )

Ejercicio ( PageIndex {43} )

((x + 1) (x − 1) )

Respuesta

(x ^ 2 - 1 )

Ejercicio ( PageIndex {44} )

((t − 1) (t + 1) )

Ejercicio ( PageIndex {45} )

((f + 9) (f − 9) )

Respuesta

(f ^ 2 - 81 )

Ejercicio ( PageIndex {46} )

((y − 7) (y + 7) )

Ejercicio ( PageIndex {47} )

((2y + 3) (2y − 3) )

Respuesta

(4 años ^ 2 - 9 )

Ejercicio ( PageIndex {48} )

((5x + 6) (5x − 6) )

Ejercicio ( PageIndex {49} )

((2a − 7b) (2a + 7b) )

Respuesta

(4a ^ 2 - 49b ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {50} )

((7x + 3t) (7x − 3t) )

Ejercicio ( PageIndex {51} )

((5h − 2k) (5h + 2k) )

Respuesta

(25 h ^ 2 - 4k ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {52} )

((x + dfrac {1} {3}) (x - dfrac {1} {3}) )

Ejercicio ( PageIndex {53} )

((a + dfrac {2} {9}) (a - dfrac {2} {9}) )

Respuesta

(a ^ 2 - dfrac {4} {81} )

Ejercicio ( PageIndex {54} )

((x + dfrac {7} {3}) (x - dfrac {7} {3}) )

Ejercicio ( PageIndex {55} )

((2b + dfrac {6} {7}) (2b - dfrac {6} {7}) )

Respuesta

(4b ^ 2 - dfrac {36} {49} )

Ejercicio ( PageIndex {56} )

Expande ((a + b) ^ 2 ) para demostrar que es igual a (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {57} )

Expande ((a-b) ^ 2 ) para demostrar que es igual a (a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 ).

Respuesta

((a-b) (a-b) = a ^ 2 - ab - ab + b ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {58} )

Expande ((a + b) (a-b) ) para demostrar que es igual a (a ^ 2-b ^ 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {59} )

Complete la etiqueta que falta en la siguiente ecuación.

Respuesta

Primer término al cuadrado

Ejercicio ( PageIndex {60} )

Rotula las partes de la siguiente ecuación.

Ejercicio ( PageIndex {61} )

Rotula las partes de la siguiente ecuación.

Respuesta

a) Cuadre el primer término.

b) Eleve al cuadrado el segundo término y réstelo del primer término.

Ejercicios de repaso

Ejercicio ( PageIndex {62} )

Simplifica ((x ^ 3y ^ 0z ^ 4) ^ 5 ).

Ejercicio ( PageIndex {63} )

Encuentra el valor de (10 ​​^ {- 1} cdot 2 ^ {- 3} )

Respuesta

( dfrac {1} {80} )

Ejercicio ( PageIndex {64} )

Encuentra el producto.

((x + 6) (x-7) ).

Ejercicio ( PageIndex {65} )

Encuentra el producto.

((5m - 3) (2m + 3) )

Respuesta

(10m ^ 2 + 9m - 9 )

Ejercicio ( PageIndex {66} )

Encuentra el producto.

((a + 4) (a ^ 2 - 2a + 3) )


Echemos un vistazo a una regla especial que nos permitirá encontrar el producto sin utilizar el método FOIL.

El cuadrado de un binomio es la suma de: el cuadrado de los primeros términos, el doble del producto de los dos términos y el cuadrado del último término.

Sé que esto suena confuso, así que échale un vistazo ...

Si puede recordar esta fórmula, podrá evaluar cuadrados polinomiales sin tener que utilizar el método FOIL. Requerirá práctica.

Ahora echemos un vistazo al Ejemplo 1 y busquemos el producto usando nuestra regla especial.


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Preguntas

& lta href = & # 8221 / intervalalgebraberg / back-matter / answer-key-6-6 / & # 8221 & gt Clave de respuesta 6.6


Calculadora FOIL: multiplicación de binomios

Esta calculadora binomial calcula el producto de un binomio elevado a la 2ª potencia o la 3ª potencia utilizando el método FOIL. El producto de la expresión binomial se obtiene, como con todos los productos, al multiplicar dos expresiones binomiales.

Para usar esta calculadora anterior, seguimos el formato (ax + b) n. Un usuario simplemente ingresa a y B valores. También puede cambiar el signo y el exponente al que se eleva el binomio. De forma predeterminada, el signo y el exponente son "+" y "2". Sin embargo, el usuario puede cambiar el signo a "-" y el exponente a "3". Por lo tanto, la calculadora permite la entrada dinámica.

Una vez que el usuario haga clic en "Calcular", la respuesta se calculará automáticamente.

Multiplicar diferentes binomios

Esta calculadora binomial calcula el producto de dos binomios que pueden ser iguales o diferentes. Si son iguales, puede usar la primera calculadora, pero si son diferentes, entonces debe usar esta.

Nuevamente, esto calcula el producto de los binomios por el método FOIL, los pasos que se explican a continuación.

Explicación de FOIL

A continuación se muestra una referencia visual de cómo funciona FOIL:

El FOIL es un método de cálculo de producto binomial que utiliza los siguientes pasos que se muestran a continuación:

Digamos que tenemos el siguiente binomio que se muestra arriba.

Si lo expandimos sin usar el exponente, se verá así a continuación:

Usando FOIL, calcularemos este producto binomial mediante los siguientes pasos:

Primero- Tomamos el primer término de cada binomio y los multiplicamos. Con la expresión binomial (ax + b) (ax + b), los primeros términos son hacha y hacha. Esto da como resultado el producto a 2 x 2.

Exterior- A continuación, tomamos los términos externos o externos de los dos binomios. Con la expresión binomial (ax + b) (ax + b), los términos externos son hacha y B. Esto produce el producto abx.

Interno- A continuación, tomamos los términos internos o internos de los dos binomios. Con la expresión binomial (ax + b) (ax + b), los términos internos son B y hacha. Esto produce el producto abx. Ahora podemos combinar los términos externos e internos, ya que son términos semejantes. Por lo tanto, simplemente se suman para dar el término 2abx.

Último- A continuación, tomamos los últimos términos de los dos binomios. Con la expresión binomial (ax + b) (ax + b), los últimos términos son B y B. Esto produce el producto b 2 .

Entonces, en total, una vez que sumamos todos los términos, a partir de esta expresión binomial, obtenemos el producto final de a 2 x 2 + 2abx + b 2.

FRUSTRAR
Primero- (3x) (3x) = 9x 2
Exterior- (3 veces) (4) = 12 veces
Interno- (4) (3 veces) = 12 veces
Último- (4)(4)=16

Total de términos sumados: 9x 2 + 12x + 12x +16 = 9x 2 + 24x + 16

FRUSTRAR
Primero- (2x) (5x) = 10x 2
Exterior- (2x) (- 7) = -14x
Interno- (3) (5 veces) = 15 veces
Último- (3)(-7)= -21


Bain y Cinven compran Lonza Specialty Ingredients en un acuerdo de $ 4.7 mil millones

ZURICH (Reuters) - Bain Capital y Cinven están adquiriendo la división de Ingredientes Especiales de Lonza en un acuerdo por valor de 4.700 millones de dólares, dijo el lunes el fabricante de medicamentos por contrato suizo, mientras se concentra en su unidad de crecimiento más rápido que abastece a compañías farmacéuticas y biotecnológicas.

El consorcio Bain-Cinven había sido incluido con Lanxess de Alemania y los grupos de compra Advent, Carlyle y otros como postores de la unidad que fabrica ingredientes para champús anticaspa, suplementos nutricionales para cerdos y controles microbianos para madera y productos de higiene.

Lonza, que dijo que el valor empresarial de la transacción es de 4.200 millones de francos suizos (4.700 millones de dólares), está duplicando su creciente negocio de drogas. Entre sus clientes se encuentran Moderna, que Lonza suministra con ingredientes para su vacuna COVID-19, y AstraZeneca, que contrató a la empresa suiza para ayudar a realizar su tratamiento con anticuerpos COVID-19.

“La venta del negocio de Ingredientes especiales permitirá a Lonza concentrarse en su posición como socio líder en la industria de la salud”, dijo el presidente Albert Baehny en un comunicado.

“Los flujos de caja libres resultantes de la venta nos permitirán acelerar nuestras prioridades estratégicas”, agregó.

Las acciones de Lonza subieron más del 60% el año pasado, ya que se expandió en medicamentos y se preparó para descargar Ingredientes especiales.

La unidad, una vez el pilar de Lonza antes de que la división ascendente de medicamentos y biotecnología la relegara a un segundo plano, vio caer sus ingresos un 2,1% el año pasado a 1.700 millones de francos el año pasado.

Por el contrario, los ingresos por medicamentos, biotecnología y nutrición de Lonza aumentaron un 7,2% a 4.500 millones de francos a medida que Lonza avanzaba con una gran expansión, incluida la construcción de cuatro nuevas líneas de producción para la vacuna Moderna contra el nuevo coronavirus en Estados Unidos y Suiza.


Lane ORCCA (2020-2021): Recursos abiertos para álgebra de colegios comunitarios

Dado que ahora podemos multiplicar polinomios juntos, veremos algunos casos especiales de multiplicación de polinomios.

Subsección 6.6.1 Cuadrar un binomio

Ejemplo 6.6.1.

“Cuadrar un binomio” es tomar un binomio y multiplicarlo por sí mismo. Sabemos que la notación exponente significa que (4 ^ 2 = 4 cdot 4 text <.> ) Aplicando esto a un binomio, veremos que ((x + 4) ^ 2 = (x + 4) (x + 4) text <.> ) Para expandir esta expresión, simplemente distribuiremos ((x + 4) ) en ((x + 4) text <:> )

De manera similar, para expandir ((y-7) ^ 2 text <,> ) tendremos:

Estos dos ejemplos pueden parecerse a cualquier otro ejemplo de multiplicación de binomios, pero al mirar de cerca podemos ver que algo muy específico (o especial) sucedió. Centrándonos en la expresión original y la simplificada, podemos ver que ocurrió un patrón específico en cada una:

comenzar left (y-7 right) ^ 2 amp = y ^ 2 - resaltar <7> y - resaltar <7> y + resaltar <7 cdot 7> left (y- resaltar < 7> derecha) ^ 2 amp = y ^ 2 -2 ( resaltar <7> y) + resaltar <7> ^ 2 end

Observe que los dos términos intermedios no solo son iguales, también son exactamente el producto de los dos términos en el binomio. Además, el último término es el cuadrado del segundo término en cada binomio original.

Lo que estamos viendo es un patrón que se relaciona con dos frases importantes: el proceso se llama y el resultado se llama. La primera frase es una descripción de lo que estamos haciendo, literalmente estamos elevando al cuadrado un binomio. La segunda frase es una descripción de lo que acaba con usted. Este segundo nombre cobrará importancia en un capítulo futuro.

Ejemplo 6.6.2.

La forma general en que se presenta este patrón es elevando al cuadrado los dos binomios más generales posibles, ((a + b) ) y ((ab) text <.> ) Estableceremos el patrón para ((a + b) ^ 2 ) y ((ab) ^ 2 text <.> ) Una vez que lo hayamos hecho, podremos sustituir cualquier cosa en lugar de (a ) y (b ) y confiar sobre el patrón general para simplificar binomios cuadrados.

Primero debemos expandir ((a + b) ^ 2 ) como ((a + b) (a + b) ) y luego podemos multiplicar esos binomios:

Observe que el paso final de simplificación fue agregar (ab + ba text <.> ) Como estos son términos semejantes, podemos combinarlos en (2ab text <.> )

De manera similar, podemos encontrar una fórmula general para ((a-b) ^ 2 text <:> )

Hecho 6.6.3. Cuadrado de fórmulas binomiales.

Si (a ) y (b ) son números reales o expresiones variables, entonces tenemos las siguientes fórmulas:

Estas fórmulas nos permitirán multiplicar más rápidamente este tipo de producto especial.

Observación 6.6.4.

Observe que cuando tanto ((a + b) ^ 2 ) como ((a-b) ^ 2 ) se expanden en el ejemplo 6.6.2, el último término fue un positivo (b ^ 2 ) en ambos. Esto se debe a que cualquier número o expresión, independientemente de su signo, es positivo después de elevarlo al cuadrado.

Subsección 6.6.2 Otros ejemplos de cuadratura de binomios

Ejemplo 6.6.5.

Expande ((2x-3) ^ 2 ) usando la fórmula binomial para elevar al cuadrado.

Para este ejemplo, debemos reconocer que para aplicar la fórmula ((ab) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 ) en esta situación, (a = 2x ) y (b = 3 text <.> ) Ampliando esto, tenemos:

Observación 6.6.6.

Si bien confiamos en la fórmula para elevar al cuadrado un binomio en el ejemplo 6.6.5, a menudo omitiremos el paso de escribir formalmente la fórmula y saltaremos a la simplificación de esta manera:

Ejemplo 6.6.7.

Multiplica lo siguiente usando la fórmula binomial para elevar al cuadrado:

( Displaystyle begin[t] (5xy + 1) ^ 2 amp = (5xy) ^ 2 + 2 (5xy) (1) + 1 ^ 2 amp = 25x ^ 2y ^ 2 + 10xy + 1 end )

Con esta expresión, primero notaremos que el factor de (4 ) es fuera de la parte de la expresión que se eleva al cuadrado. Usando el orden de las operaciones, primero expandiremos ((3x-7) ^ 2 ) y luego multiplicaremos esa expresión por (4 text <:> )

Ejemplo 6.6.8.

El área de un círculo se puede calcular mediante la fórmula

donde (A ) representa el área y (r ) representa el radio. Si el radio de cierto círculo se puede modelar por (x-5 ) pies, use un polinomio expandido para modelar el área del círculo.

El área del círculo sería:

El área del círculo se puede modelar por ( pi x ^ 2-10 pi x + 25 pi ) pies cuadrados.

Punto de control 6.6.9.

Subsección 6.6.3 El producto de la suma y la diferencia de dos términos

Para identificar el siguiente "caso especial" para multiplicar polinomios, veremos un par de ejemplos.

Ejemplo 6.6.10.

Multiplica los siguientes binomios:

( Displaystyle begin[t] (x + 5) (x-5) amp = x ^ 2-5x + 5x-25 amp = x ^ 2-25 end )

( Displaystyle begin[t] (y + 8) (y-8) amp = y ^ 2-8y + 8y-4 amp = y ^ 2-64 end )

Observe que para cada uno de estos productos, multiplicamos la suma de dos términos por la diferencia de mismo dos términos. Observe también en estos tres ejemplos que una vez que estas expresiones se multiplicaron, los dos términos intermedios fueron opuestos y por lo tanto se cancelaron a cero.

Estos pares, generalmente escritos como ((a + b) ) y ((a-b) text <,> ) se conocen como. Si multiplicamos ((a + b) (a-b) text <,> ) podemos ver este patrón general más claramente:

Como en el caso especial anterior, este también tiene dos nombres. Esto se puede llamar porque este patrón se basa en la multiplicación de dos binomios que tienen los mismos dos términos, excepto que un binomio es una suma y el otro binomio es una diferencia. El segundo nombre es a, porque el resultado final de la multiplicación es un binomio que es la diferencia de dos cuadrados perfectos. Como antes, el segundo nombre será útil en un capítulo futuro cuando sea pertinente utilizar exactamente la técnica descrita en esta sección.

Hecho 6.6.11. El producto de la fórmula de la suma y la diferencia de dos términos.

Si (a ) y (b ) son números reales o expresiones variables, entonces tenemos la siguiente fórmula:


Domingo, 22 de octubre de 2006

Polinomios: operaciones 4.7

4.7 OPERACIONES CON POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES
un. Evaluar un polinomio en varias variables para valores dados de las variables.
B. Identifica los coeficientes y los grados de los términos de un polinomio y el grado de un polinomio.
C. Recopila términos de un polinomio.
D. Suma polinomios.
mi. Resta polinomios.
F. Multiplica polinomios.

Objetivo a
Evaluar un polinomio en varias variables para valores dados de las variables.


Objetivo b
Identifica los coeficientes y los grados de los términos de un polinomio y el grado de un polinomio.

C objetivo
Recopila términos de un polinomio.

Ejemplo C Combinar términos semejantes.

Objetivo d
Suma polinomios.

Objetivo e
Resta polinomios.

Objetivo f
Multiplica polinomios.



Polinomios: operaciones 4.6

4.6 PRODUCTOS ESPECIALES
un. Multiplica dos binomios mentalmente usando el método FOIL.
B. Multiplica mentalmente la suma y la diferencia de dos términos.
C. Cuadra mentalmente un binomio.
D. Encuentre productos especiales cuando se mezclan productos polinomiales.

Objetivo a
Multiplica dos binomios mentalmente usando el método FOIL.


Objetivo b
Multiplica mentalmente la suma y la diferencia de dos términos.


C objetivo
Cuadra mentalmente un binomio.


Objetivo d
Encuentre productos especiales cuando se mezclan productos polinomiales.



Polinomios: Operaciones 4.5

4.5 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
un. Multiplica los monomios.
B. Multiplica un monomio y cualquier polinomio.
C. Multiplica dos binomios.
D. Multiplica dos polinomios cualesquiera.


Conceptos básicos del modelo de fijación de precios de opciones binomiales

Con los modelos binomiales de precios de opciones, los supuestos son que hay dos resultados posibles, de ahí la parte binomial del modelo. Con un modelo de precios, los dos resultados son un movimiento hacia arriba o hacia abajo. La principal ventaja de un modelo binomial de fijación de precios de opciones es que son matemáticamente simples. Sin embargo, estos modelos pueden volverse complejos en un modelo de períodos múltiples.

A diferencia del modelo Black-Scholes, que proporciona un resultado numérico basado en entradas, el modelo binomial permite el cálculo del activo y la opción para múltiples períodos junto con el rango de resultados posibles para cada período (ver más abajo).

La ventaja de esta vista de períodos múltiples es que el usuario puede visualizar el cambio en el precio de los activos de un período a otro y evaluar la opción en función de las decisiones tomadas en diferentes momentos. Para una opción basada en EE. UU., Que puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, el modelo binomial puede proporcionar información sobre cuándo puede ser aconsejable ejercer la opción y cuándo debe mantenerse durante períodos más prolongados.

Al observar el árbol binomial de valores, un comerciante puede determinar de antemano cuándo puede tomar una decisión sobre un ejercicio. Si la opción tiene un valor positivo, existe la posibilidad de ejercicio, mientras que, si la opción tiene un valor menor que cero, debe mantenerse por períodos más largos.


(x + 2) 2 & # xa0 tiene la forma de (a + b) 2

Comparando & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 y (x + 2) 2, obtenemos

Escribe la fórmula / expansión para & # xa0 (a + b) 2.

Sustituye x por ay 2 por b. & # Xa0

Entonces, la expansión de & # xa0 (x + 2) 2 & # xa0 es

(x - 5) 2 & # xa0 tiene la forma de (a - b) 2

Comparando & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 y (x - 5) 2, obtenemos

Escribe la fórmula / expansión para & # xa0 (a - b) 2.

Sustituye x por ay 5 por b. & # Xa0

Entonces, la expansión de & # xa0 (x - 5) 2 & # xa0 es

(5x + 3) 2 & # xa0 tiene la forma de (a + b) 2

Comparando & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 y (5x + 3) 2, obtenemos

Escribe la expansión para & # xa0 (a + b) 2.

Sustituye 5x por ay 3 por b. & # Xa0

(5x + 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0 + 2 (5x) (3) + 3 2

Entonces, la expansión de & # xa0 (5x + 3) 2 & # xa0 es

(5x - 3) 2 & # xa0 tiene la forma de (a - b) 2

Comparando & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 y (5x - 3) 2, obtenemos

Escribe la expansión para & # xa0 (a - b) 2.

Sustituye 5x por ay 3 por b. & # Xa0

(5x - 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0- 2 (5x) (3) + 3 2

Entonces, la expansión de & # xa0 (5x - 3) 2 & # xa0 es

Si a + b & # xa0 = & # xa0 7 y a 2 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, entonces encuentre el valor de ab. & # xa0

Para obtener el valor de ab, podemos usar la fórmula o expansión de & # xa0 (a + b) 2.

Escribe la fórmula / expansión para & # xa0 (a + b) 2.

Sustituye 7 por (a + b) & # xa0 y 29 por & # xa0 (a 2 + b 2).

Reste 29 de cada lado. & # Xa0

Si a - b & # xa0 = & # xa0 3 y a 2 & # xa0 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, entonces encuentre el valor de ab. & # xa0

Para obtener el valor de ab, podemos usar la fórmula o expansión de & # xa0 (a - b) 2.

Escribe la fórmula / expansión para & # xa0 (a - b) 2.

Sustituya 3 por (a - b) & # xa0 y 29 por & # xa0 (a 2 & # xa0 + b 2).

Reste 29 de cada lado. & # Xa0

& # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 & # xa0 tiene la forma de (a + b) 2

Comparando & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 y & # xa0 (√2 + (1 / √2) 2, obtenemos

Escribe la expansión para & # xa0 (a + b) 2.

Sustituya & # xa0 √2 & # xa0 por ay 1 / √2 & # xa0 por b. & # Xa0

Entonces, el valor de & # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 es

& # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 tiene la forma de (a - b) 2

Comparando & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 y & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2, obtenemos

Escribe la fórmula / expansión para & # xa0 (a - b) 2.

Sustituya & # xa0 √2 & # xa0 por ay 1 / √2 & # xa0 por b. & # Xa0

Entonces, el valor de & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 es

En lugar de multiplicar 105 por 105 para obtener el valor de (105) 2, podemos usar la fórmula algebraica para (a + b) 2 y encontrar el valor de (105) 2 & # xa0 fácilmente.

Escribe & # xa0 (105) 2 & # xa0 en la forma de (a + b) 2.

Escribe la expansión para & # xa0 (a + b) 2.

Sustituya 100 & # xa0 por ay 5 & # xa0 por b. & # Xa0

(100 & # xa0 + 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0 + 2 (100) (5) + (5) 2

Entonces, el valor de & # xa0 (10 5) 2 & # xa0 es

En lugar de multiplicar 95 por 95 para obtener el valor de (9 5) 2, podemos usar la fórmula algebraica para (a - b) 2 & # xa0 y encontrar el valor de (95) 2 & # xa0 fácilmente.

Escriba & # xa0 (95) 2 & # xa0 en la forma de (a - b) 2.

Escribe la fórmula / expansión para & # xa0 (a - b) 2.

Sustituya 100 & # xa0 por ay 5 & # xa0 por b. & # Xa0

(100 & # xa0- 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0- 2 (100) (5) + (5) 2

Entonces, el valor de & # xa0 (9 5) 2 & # xa0 es

Después de haber repasado lo anterior, esperamos que los estudiantes hayan entendido la fórmula o la expansión de (a + b) 2 y los problemas de ejemplo sobre la expansión de (a + b) 2. & # xa0

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